Teoria i Wzory
Fundamenty ciągu arytmetycznego
Ciąg liczbowy nazywamy arytmetycznym, jeśli różnica między dowolnym wyrazem (poza pierwszym) a wyrazem go poprzedzającym jest stała.
1. Definicja i Różnica (\( r \))
\[ a_{n+1} - a_n = r \]
Gdzie \( r \) to różnica ciągu. Jeśli ją znasz, możesz "skakać" po ciągu:
- \( r > 0 \) → ciąg jest rosnący
- \( r < 0 \) → ciąg jest malejący
- \( r = 0 \) → ciąg jest stały
2. Wzór na n-ty wyraz
Pozwala znaleźć dowolny wyraz bez wypisywania wszystkich poprzednich:
\[ a_n = a_1 + (n-1)\,r \]
oraz (wersja „od dowolnego wyrazu”):
\[ a_n = a_k + (n-k)\,r \]
3. Własność trzech wyrazów (średnia arytmetyczna)
Jeśli liczby \(a, b, c\) w tej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to:
\[ b=\frac{a+c}{2} \]
W szczególności dla trzech sąsiednich wyrazów ciągu:
\[ a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \]
4. Suma n-początkowych wyrazów (\( S_n \))
Najszybszy sposób na dodanie do siebie wielu wyrazów:
\[ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \]
5. Wzór na n-ty wyraz z sumy
Jeśli znasz wzór na \(S_n\), to wyraz ciągu wyliczysz tak:
\[ a_n=S_n-S_{n-1} \]
6. Jak wykazać, że ciąg jest arytmetyczny?
Najpewniejsza metoda (z definicji): policz różnicę i sprawdź, czy jest stała:
\[ a_{n+1}-a_n=\text{(stała)} \quad \Rightarrow \quad \text{ciąg arytmetyczny}. \]
W praktyce:
- oblicz \(a_{n+1}\),
- odejmij \(a_n\),
- uprość wynik – jeśli nie zależy od \(n\), masz stałe \(r\).
Maraton Zadaniowy
Zbiór 30 zadań z rozwiązaniami
Kategoria I: Podstawy, Wyrazy i Różnica
1 Znajdź 15. wyraz ciągu, jeśli \( a_1 = 7 \) i \( r = 4 \).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_{15} = a_1 + 14r = 7 + 14 \cdot 4 = 7 + 56 = \mathbf{63} \]
2 Znajdź różnicę ciągu, w którym \( a_1 = 12 \) i \( a_{11} = 52 \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_{11} = a_1 + 10r \implies 52 = 12 + 10r \implies 40 = 10r \implies \mathbf{r = 4} \)
3 Oblicz pierwszy wyraz, mając dane: \( a_{20} = 100 \) i \( r = 5 \).
🔍 Rozwiązanie
\( 100 = a_1 + 19 \cdot 5 \implies 100 = a_1 + 95 \implies \mathbf{a_1 = 5} \)
4 Ciąg dany jest wzorem \( a_n = 5 - 2n \). Oblicz \( a_8 \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_8 = 5 - 2 \cdot 8 = 5 - 16 = \mathbf{-11} \)
5 Wyznacz różnicę ciągu \( a_n = 3n + 10 \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 13, a_2 = 16 \implies r = a_2 - a_1 = \mathbf{3} \) (Wskazówka: w ciągach postaci \( an+b \), \( r \) to zawsze współczynnik przy \( n \)).Kategoria II: Badanie Ciągu i Dowodzenie
6 Wykaż, że ciąg \( a_n = 7n - 2 \) jest arytmetyczny.
\( a_{n+1} = 7(n+1) - 2 = 7n + 5 \)
\( a_{n+1} - a_n = (7n + 5) - (7n - 2) = \mathbf{7} \).
Różnica jest stała (\(r=7\)), więc ciąg jest arytmetyczny.
🔍 Rozwiązanie
Liczymy różnicę kolejnych wyrazów (to najpewniejszy test):\( a_{n+1} = 7(n+1) - 2 = 7n + 5 \)
\( a_{n+1} - a_n = (7n + 5) - (7n - 2) = \mathbf{7} \).
Różnica jest stała (\(r=7\)), więc ciąg jest arytmetyczny.
7 Sprawdź, czy ciąg \( a_n = n^2 + 1 \) jest arytmetyczny.
\( a_2 - a_1 = 3 \), ale \( a_3 - a_2 = 5 \). Różnice nie są stałe. Nie jest arytmetyczny.
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 10 \).\( a_2 - a_1 = 3 \), ale \( a_3 - a_2 = 5 \). Różnice nie są stałe. Nie jest arytmetyczny.
8 Czy liczba 45 jest wyrazem ciągu \( a_n = 4n + 1 \)?
🔍 Rozwiązanie
\( 45 = 4n + 1 \implies 44 = 4n \implies n = 11 \). Tak, jest to 11. wyraz.
9 Dla jakich wartości \( x \) ciąg \( 2, x, 12 \) jest arytmetyczny?
🔍 Rozwiązanie
Z własności średniej: \( x = \frac{2 + 12}{2} = \mathbf{7} \).
10 Wyznacz \( x \), jeśli liczby \( x-3, 2x, 4x-1 \) tworzą ciąg arytmetyczny.
🔍 Rozwiązanie
\( 2x = \frac{(x-3) + (4x-1)}{2} \implies 4x = 5x - 4 \implies \mathbf{x = 4} \).Kategoria III: Sumy i Liczba Wyrazów
11 Oblicz sumę 20 pierwszych wyrazów ciągu: \( 2, 5, 8, ... \)
\( a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 59 \).
\( S_{20} = \frac{2 + 59}{2} \cdot 20 = 61 \cdot 10 = \mathbf{610} \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 2, r = 3, n = 20 \).\( a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 59 \).
\( S_{20} = \frac{2 + 59}{2} \cdot 20 = 61 \cdot 10 = \mathbf{610} \).
12 Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych.
Liczba wyrazów: \( 98 = 10 + (n-1)2 \implies 88 = 2n-2 \implies n=45 \).
\( S_{45} = \frac{10+98}{2} \cdot 45 = 54 \cdot 45 = \mathbf{2430} \).
🔍 Rozwiązanie
Ciąg: \( 10, 12, ..., 98 \). \( a_1=10, r=2, a_n=98 \).Liczba wyrazów: \( 98 = 10 + (n-1)2 \implies 88 = 2n-2 \implies n=45 \).
\( S_{45} = \frac{10+98}{2} \cdot 45 = 54 \cdot 45 = \mathbf{2430} \).
13 Ile wyrazów ciągu \( 5, 9, 13, ... \) należy dodać, by otrzymać 190?
\( 190 = 2n^2 + 3n \implies 2n^2 + 3n - 190 = 0 \).
\( \Delta = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-190) = 1529 \implies \sqrt{\Delta} = 39 \).
\( n = \frac{-3 + 39}{4} = \mathbf{9} \).
🔍 Rozwiązanie
\( 190 = \frac{2 \cdot 5 + (n-1)4}{2} \cdot n \implies 190 = (5 + 2n - 2) \cdot n \)\( 190 = 2n^2 + 3n \implies 2n^2 + 3n - 190 = 0 \).
\( \Delta = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-190) = 1529 \implies \sqrt{\Delta} = 39 \).
\( n = \frac{-3 + 39}{4} = \mathbf{9} \).
14 Wyznacz sumę \( 1 + 2 + 3 + ... + 100 \).
🔍 Rozwiązanie
\( S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 50 = \mathbf{5050} \).
15 W ciągu arytmetycznym \( a_1 = -5, S_{10} = 85 \). Znajdź \( r \).
\( 17 = -10 + 9r \implies 27 = 9r \implies \mathbf{r = 3} \).
🔍 Rozwiązanie
\( 85 = \frac{2(-5) + 9r}{2} \cdot 10 \implies 85 = (-10 + 9r) \cdot 5 \)\( 17 = -10 + 9r \implies 27 = 9r \implies \mathbf{r = 3} \).
Kategoria IV: Zadania Tekstowe i Praktyczne
16 W kinie w pierwszym rzędzie jest 15 miejsc, a w każdym kolejnym o 2 więcej. Ile jest miejsc w 20. rzędzie?
\( a_{20} = 15 + 19 \cdot 2 = 15 + 38 = \mathbf{53} \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 15, r = 2, n = 20 \).\( a_{20} = 15 + 19 \cdot 2 = 15 + 38 = \mathbf{53} \).
17 Student odkładał pieniądze: w styczniu 100 zł, a w każdym kolejnym miesiącu o 20 zł więcej niż w poprzednim. Ile odłożył przez rok?
\( S_{12} = \frac{2 \cdot 100 + 11 \cdot 20}{2} \cdot 12 = (100 + 110) \cdot 12 = 210 \cdot 12 = \mathbf{2520 \text{ zł}} \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 100, r = 20, n = 12 \).\( S_{12} = \frac{2 \cdot 100 + 11 \cdot 20}{2} \cdot 12 = (100 + 110) \cdot 12 = 210 \cdot 12 = \mathbf{2520 \text{ zł}} \).
18 Drabina ma 10 szczebli. Najniższy ma 60 cm, a najwyższy 42 cm. Długości zmieniają się arytmetycznie. Oblicz długość 5. szczebla.
\( 42 = 60 + 9r \implies -18 = 9r \implies r = -2 \).
\( a_5 = 60 + 4(-2) = \mathbf{52 \text{ cm}} \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 60, a_{10} = 42, n = 10 \).\( 42 = 60 + 9r \implies -18 = 9r \implies r = -2 \).
\( a_5 = 60 + 4(-2) = \mathbf{52 \text{ cm}} \).
19 Kopanie studni: pierwszy metr kosztuje 50 zł, każdy kolejny o 10 zł drożej. Ile zapłacisz za studnię o głębokości 15 metrów?
\( S_{15} = \frac{2 \cdot 50 + 14 \cdot 10}{2} \cdot 15 = (50 + 70) \cdot 15 = 120 \cdot 15 = \mathbf{1800 \text{ zł}} \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 50, r = 10, n = 15 \).\( S_{15} = \frac{2 \cdot 50 + 14 \cdot 10}{2} \cdot 15 = (50 + 70) \cdot 15 = 120 \cdot 15 = \mathbf{1800 \text{ zł}} \).
20 Amplituda drgań wahadła maleje o tę samą wartość. Pierwsze wychylenie to 15 cm, szóste to 10 cm. Które wychylenie będzie równe zero?
\( 0 = 15 + (n-1)(-1) \implies 0 = 15 - n + 1 \implies \mathbf{n = 16} \).
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 15, a_6 = 10 \implies 10 = 15 + 5r \implies r = -1 \).\( 0 = 15 + (n-1)(-1) \implies 0 = 15 - n + 1 \implies \mathbf{n = 16} \).
Kategoria V: Zadania Zaawansowane
21 Wyznacz \( a_1 \) i \( r \), wiedząc, że \( a_2 + a_5 = 22 \) i \( a_3 + a_8 = 36 \).
1. \( (a_1+r) + (a_1+4r) = 22 \implies 2a_1 + 5r = 22 \)
2. \( (a_1+2r) + (a_1+7r) = 36 \implies 2a_1 + 9r = 36 \)
Odejmując (1) od (2): \( 4r = 14 \implies \mathbf{r = 3,5} \).
Podstawiając: \( 2a_1 + 17,5 = 22 \implies 2a_1 = 4,5 \implies \mathbf{a_1 = 2,25} \).
🔍 Rozwiązanie
Układ równań:1. \( (a_1+r) + (a_1+4r) = 22 \implies 2a_1 + 5r = 22 \)
2. \( (a_1+2r) + (a_1+7r) = 36 \implies 2a_1 + 9r = 36 \)
Odejmując (1) od (2): \( 4r = 14 \implies \mathbf{r = 3,5} \).
Podstawiając: \( 2a_1 + 17,5 = 22 \implies 2a_1 = 4,5 \implies \mathbf{a_1 = 2,25} \).
22 Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 15, a ich iloczyn 80. Znajdź te liczby.
Suma: \( 3a = 15 \implies a = 5 \).
Iloczyn: \( (5-r) \cdot 5 \cdot (5+r) = 80 \implies 25 - r^2 = 16 \implies r^2 = 9 \implies r=3 \).
Liczby: 2, 5, 8.
🔍 Rozwiązanie
Liczby: \( a-r, a, a+r \).Suma: \( 3a = 15 \implies a = 5 \).
Iloczyn: \( (5-r) \cdot 5 \cdot (5+r) = 80 \implies 25 - r^2 = 16 \implies r^2 = 9 \implies r=3 \).
Liczby: 2, 5, 8.
23 Dla jakiego \( x \) liczby \( \log 2, \log(2^x-1), \log(2^x+3) \) są wyrazami ciągu arytmetycznego?
Niech \( t = 2^x \): \( (t-1)^2 = 2t + 6 \implies t^2 - 4t - 5 = 0 \).
\( (t-5)(t+1) = 0 \implies t=5 \) (bo \( 2^x > 0 \)).
\( 2^x = 5 \implies \mathbf{x = \log_2 5} \).
🔍 Rozwiązanie
\( 2\log(2^x-1) = \log 2 + \log(2^x+3) \implies (2^x-1)^2 = 2(2^x+3) \).Niech \( t = 2^x \): \( (t-1)^2 = 2t + 6 \implies t^2 - 4t - 5 = 0 \).
\( (t-5)(t+1) = 0 \implies t=5 \) (bo \( 2^x > 0 \)).
\( 2^x = 5 \implies \mathbf{x = \log_2 5} \).
24 Wyznacz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 200, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1.
\( 199 = 1 + (n-1)3 \implies 198 = 3n - 3 \implies 201 = 3n \implies n=67 \).
\( S_{67} = \frac{1+199}{2} \cdot 67 = 100 \cdot 67 = \mathbf{6700} \).
🔍 Rozwiązanie
Ciąg: \( 1, 4, 7, ..., 199 \). \( a_1=1, r=3, a_n=199 \).\( 199 = 1 + (n-1)3 \implies 198 = 3n - 3 \implies 201 = 3n \implies n=67 \).
\( S_{67} = \frac{1+199}{2} \cdot 67 = 100 \cdot 67 = \mathbf{6700} \).
25 Dane jest \( S_n = 3n^2 - 2n \). Znajdź \( a_n \).
\( a_n = (3n^2 - 2n) - [3(n-1)^2 - 2(n-1)] \)
\( = 3n^2 - 2n - (3n^2 - 6n + 3 - 2n + 2) \)
\( = 3n^2 - 2n - 3n^2 + 8n - 5 = \mathbf{6n - 5} \).
🔍 Rozwiązanie
Korzystamy z wzoru \( a_n = S_n - S_{n-1} \):\( a_n = (3n^2 - 2n) - [3(n-1)^2 - 2(n-1)] \)
\( = 3n^2 - 2n - (3n^2 - 6n + 3 - 2n + 2) \)
\( = 3n^2 - 2n - 3n^2 + 8n - 5 = \mathbf{6n - 5} \).
26 Wykaż, że jeśli \( a, b, c \) są ciągiem arytmetycznym, to \( a^2 + 8bc = (2b+c)^2 \).
L = \( (2b-c)^2 + 8bc = 4b^2 - 4bc + c^2 + 8bc = 4b^2 + 4bc + c^2 \).
P = \( (2b+c)^2 = 4b^2 + 4bc + c^2 \).
L = P. Co należało wykazać.
🔍 Rozwiązanie
Skoro \( a, b, c \) arytmetyczny, to \( b = \frac{a+c}{2} \implies a = 2b - c \).L = \( (2b-c)^2 + 8bc = 4b^2 - 4bc + c^2 + 8bc = 4b^2 + 4bc + c^2 \).
P = \( (2b+c)^2 = 4b^2 + 4bc + c^2 \).
L = P. Co należało wykazać.
27 Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź te kąty.
Suma: \( \alpha + (\alpha+r) + 90 = 180 \implies 2\alpha + r = 90 \).
Warunek arytmetyczności (środkowy jest średnią):
\( \alpha+r = \frac{\alpha+90}{2} \implies 2\alpha + 2r = \alpha + 90 \implies \alpha + 2r = 90 \).
Odejmujemy: \( ( \alpha + 2r ) - ( 2\alpha + r ) = 90 - 90 \implies r = \alpha \).
Z \( 2\alpha + r = 90 \) mamy \( 3\alpha = 90 \implies \alpha = 30^\circ \).
Kąty: 30°, 60°, 90°.
🔍 Rozwiązanie
Kąty: \( \alpha, \alpha+r, 90^\circ \).Suma: \( \alpha + (\alpha+r) + 90 = 180 \implies 2\alpha + r = 90 \).
Warunek arytmetyczności (środkowy jest średnią):
\( \alpha+r = \frac{\alpha+90}{2} \implies 2\alpha + 2r = \alpha + 90 \implies \alpha + 2r = 90 \).
Odejmujemy: \( ( \alpha + 2r ) - ( 2\alpha + r ) = 90 - 90 \implies r = \alpha \).
Z \( 2\alpha + r = 90 \) mamy \( 3\alpha = 90 \implies \alpha = 30^\circ \).
Kąty: 30°, 60°, 90°.
28 Między liczby 4 i 22 wstaw pięć liczb tak, by tworzyły ciąg arytmetyczny.
\( 22 = 4 + 6r \implies 18 = 6r \implies r = 3 \).
Liczby: 7, 10, 13, 16, 19.
🔍 Rozwiązanie
\( a_1 = 4, a_7 = 22 \) (bo wstawiamy 5 liczb + 2 skrajne = 7 wyrazów).\( 22 = 4 + 6r \implies 18 = 6r \implies r = 3 \).
Liczby: 7, 10, 13, 16, 19.
29 Oblicz sumę \( S_n \), jeśli \( a_1=2, a_n=20, r=2 \).
\( S_{10} = \frac{2+20}{2} \cdot 10 = \mathbf{110} \).
🔍 Rozwiązanie
\( 20 = 2 + (n-1)2 \implies 18 = 2n - 2 \implies n = 10 \).\( S_{10} = \frac{2+20}{2} \cdot 10 = \mathbf{110} \).
30 Dane jest \( S_n = n^2 \). Wyznacz \( a_n \) i wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny.
\( a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 \)
\( = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = \mathbf{2n - 1} \).
Teraz sprawdzamy arytmetyczność (stała różnica):
\( a_{n+1} - a_n = [2(n+1)-1] - (2n-1) = (2n+1) - (2n-1) = \mathbf{2} \).
Różnica jest stała (\(r=2\)), więc ciąg \( a_n \) jest arytmetyczny.
🔍 Rozwiązanie
Najpierw wyznaczamy wyraz ogólny z sumy:\( a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 \)
\( = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = \mathbf{2n - 1} \).
Teraz sprawdzamy arytmetyczność (stała różnica):
\( a_{n+1} - a_n = [2(n+1)-1] - (2n-1) = (2n+1) - (2n-1) = \mathbf{2} \).
Różnica jest stała (\(r=2\)), więc ciąg \( a_n \) jest arytmetyczny.
