Teoria
Co to jest ciąg?
Ciąg liczbowy to funkcja, która każdej liczbie naturalnej dodatniej \( n \in \{1, 2, 3, ...\} \) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą. Krótko mówiąc: to ponumerowana lista liczb.
Metody opisu
Sposoby opisywania ciągów
1. Opis słowny
Polega na sformułowaniu reguły tworzenia kolejnych wyrazów za pomocą zdań.
Przykład: "Ciąg kolejnych liczb nieparzystych większych od 10".
Wyrazy: \( 11, 13, 15, 17, ... \)
Przykład: "Ciąg kolejnych liczb nieparzystych większych od 10".
Wyrazy: \( 11, 13, 15, 17, ... \)
2. Wypisanie kilku początkowych wyrazów
Podajemy początek ciągu, zazwyczaj tak, aby reguła była widoczna na pierwszy rzut oka.
Przykład: \( (a_n) = (2, 4, 8, 16, 32, ...) \)
Reguła: Każdy kolejny wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego.
Przykład: \( (a_n) = (2, 4, 8, 16, 32, ...) \)
Reguła: Każdy kolejny wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego.
3. Wzór ogólny (\( a_n \))
Najczęstszy sposób. Pozwala obliczyć dowolny wyraz bez znajomości poprzednich.
Przykład: \( a_n = n^2 + 1 \)
Dla \( n=5 \): \( a_5 = 5^2 + 1 = 26 \).
Przykład: \( a_n = n^2 + 1 \)
Dla \( n=5 \): \( a_5 = 5^2 + 1 = 26 \).
4. Wzór rekurencyjny
Określa pierwszy wyraz (lub kilka pierwszych) oraz zależność między wyrazem \( a_{n+1} \) a wyrazem \( a_n \).
Przykład: \( a_1 = 3 \), \( a_{n+1} = a_n + 5 \).
Kolejne wyrazy: \( a_1=3 \), \( a_2=3+5=8 \), \( a_3=8+5=13 \).
Przykład: \( a_1 = 3 \), \( a_{n+1} = a_n + 5 \).
Kolejne wyrazy: \( a_1=3 \), \( a_2=3+5=8 \), \( a_3=8+5=13 \).
5. Wykres ciągu
Wykresem ciągu są izolowane punkty o współrzędnych \( (n, a_n) \) w układzie współrzędnych.
Ważne: Punktów tych nigdy nie łączymy linią ciągłą, ponieważ dziedziną są tylko liczby naturalne!
Ważne: Punktów tych nigdy nie łączymy linią ciągłą, ponieważ dziedziną są tylko liczby naturalne!
Zadania
Zadania treningowe
1 Oblicz \( a_5 \) dla ciągu określonego wzorem \( a_n = \frac{2n-3}{n+1} \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Podstawiamy \( n = 5 \):
\[ a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 3}{5 + 1} = \frac{10 - 3}{6} = \mathbf{\frac{7}{6}} \]
\[ a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 3}{5 + 1} = \frac{10 - 3}{6} = \mathbf{\frac{7}{6}} \]
2 Wypisz 4 początkowe wyrazy ciągu rekurencyjnego: \( a_1 = 2 \), \( a_{n+1} = (a_n)^2 - 1 \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( a_1 = \mathbf{2} \)
\( a_2 = 2^2 - 1 = \mathbf{3} \)
\( a_3 = 3^2 - 1 = \mathbf{8} \)
\( a_4 = 8^2 - 1 = \mathbf{63} \)
\( a_2 = 2^2 - 1 = \mathbf{3} \)
\( a_3 = 3^2 - 1 = \mathbf{8} \)
\( a_4 = 8^2 - 1 = \mathbf{63} \)
3 Którym wyrazem ciągu \( a_n = n^2 - 4 \) jest liczba 21?
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( n^2 - 4 = 21 \)
\( n^2 = 25 \)
\( n = 5 \) (pamiętamy, że \( n > 0 \)).
Odp: Liczba 21 jest piątym wyrazem ciągu.
\( n^2 = 25 \)
\( n = 5 \) (pamiętamy, że \( n > 0 \)).
Odp: Liczba 21 jest piątym wyrazem ciągu.
4 Sprawdź, czy liczba 13 jest wyrazem ciągu \( a_n = 3n + 2 \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( 3n + 2 = 13 \)
\( 3n = 11 \implies n = 3\frac{2}{3} \).
Wynik nie jest liczbą naturalną, więc liczba 13 nie jest wyrazem tego ciągu.
\( 3n = 11 \implies n = 3\frac{2}{3} \).
Wynik nie jest liczbą naturalną, więc liczba 13 nie jest wyrazem tego ciągu.
5 Ile ujemnych wyrazów ma ciąg \( a_n = 2n - 15 \)?
🔍 Zobacz rozwiązanie
Szukamy \( n \), dla których \( 2n - 15 < 0 \):
\( 2n < 15 \implies n < 7,5 \).
Zatem \( n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \).
Odp: Ciąg ma 7 ujemnych wyrazów.
\( 2n < 15 \implies n < 7,5 \).
Zatem \( n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \).
Odp: Ciąg ma 7 ujemnych wyrazów.
6 Oblicz różnicę \( a_{n+1} - a_n \) dla ciągu \( a_n = 5n + 2 \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( a_{n+1} = 5(n+1) + 2 = 5n + 7 \).
\( a_{n+1} - a_n = (5n + 7) - (5n + 2) = 7 - 2 = \mathbf{5} \).
\( a_{n+1} - a_n = (5n + 7) - (5n + 2) = 7 - 2 = \mathbf{5} \).
7 Oblicz trzeci wyraz ciągu \( a_n = \sin(n \cdot \frac{\pi}{2}) \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( a_3 = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = \mathbf{-1} \).
8 Ciąg dany jest opisem: "Kolejne liczby pierwsze". Podaj \( a_4 \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11...
Czwartą liczbą pierwszą jest 7. Zatem \( a_4 = 7 \).
Czwartą liczbą pierwszą jest 7. Zatem \( a_4 = 7 \).
9 Dla jakiego \( n \) zachodzi \( a_n = a_{n+1} \) w ciągu \( a_n = (n-4)^2 \)?
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( (n-4)^2 = (n+1-4)^2 \)
\( (n-4)^2 = (n-3)^2 \)
\( n^2 - 8n + 16 = n^2 - 6n + 9 \)
\( -2n = -7 \implies n = 3,5 \).
Odp: Ponieważ wynik nie jest całkowity, w tym ciągu nie istnieją dwa sąsiednie równe wyrazy.
\( (n-4)^2 = (n-3)^2 \)
\( n^2 - 8n + 16 = n^2 - 6n + 9 \)
\( -2n = -7 \implies n = 3,5 \).
Odp: Ponieważ wynik nie jest całkowity, w tym ciągu nie istnieją dwa sąsiednie równe wyrazy.
10 Ile wyrazów ciągu \( a_n = \frac{10}{n} \) jest większych od 3?
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( \frac{10}{n} > 3 \)
\( 10 > 3n \implies n < 3\frac{1}{3} \).
Zatem \( n \in \{1, 2, 3\} \).
Odp: Są 3 takie wyrazy.
\( 10 > 3n \implies n < 3\frac{1}{3} \).
Zatem \( n \in \{1, 2, 3\} \).
Odp: Są 3 takie wyrazy.
