Teoria
Monotoniczność ciągów - wprowadzenie
Badanie monotoniczności ciągu polega na określeniu, czy wraz ze wzrostem numeru wyrazu (\(n\)), wartości tych wyrazów rosną, maleją, czy pozostają stałe. Ponieważ dziedziną ciągów są liczby naturalne dodatnie, sprawdzamy zależność między wyrazem następnym (\(a_{n+1}\)) a wyrazem poprzednim (\(a_n\)).
Definicje podstawowe
- Ciąg rosnący: gdy dla każdego \(n\in\mathbb{N}_+\) zachodzi \( a_{n+1} > a_n \).
- Ciąg malejący: gdy dla każdego \(n\in\mathbb{N}_+\) zachodzi \( a_{n+1} < a_n \).
- Ciąg stały: gdy dla każdego \(n\in\mathbb{N}_+\) zachodzi \( a_{n+1} = a_n \).
- Ciąg niemalejący: gdy \( a_{n+1} \ge a_n \).
- Ciąg nierosnący: gdy \( a_{n+1} \le a_n \).
Metoda badania: Badanie znaku różnicy
Najpopularniejszym sposobem jest obliczenie różnicy wyrazu następnego i poprzedniego:
\[ L = a_{n+1} - a_n \]
Jeśli otrzymany wynik \(L\) jest:
- dodatni (\(>0\)) – ciąg jest rosnący.
- ujemny (\(<0\)) – ciąg jest malejący.
- zerowy (\(=0\)) – ciąg jest stały.
Zadania treningowe
Przykłady z rozwiązaniami krok po kroku
1 Zbadaj monotoniczność ciągu o wzorze ogólnym \( a_n = 5n - 8 \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Wyznaczamy wyraz \( a_{n+1} \):
\( a_{n+1} = 5(n+1) - 8 = 5n + 5 - 8 = 5n - 3 \)
Krok 2: Obliczamy różnicę \( a_{n+1} - a_n \):
\( (5n - 3) - (5n - 8) = 5n - 3 - 5n + 8 = \mathbf{5} \)
Krok 3: Interpretacja wyniku:
Różnica wynosi 5. Ponieważ \( 5 > 0 \), ciąg jest rosnący.
\( a_{n+1} = 5(n+1) - 8 = 5n + 5 - 8 = 5n - 3 \)
Krok 2: Obliczamy różnicę \( a_{n+1} - a_n \):
\( (5n - 3) - (5n - 8) = 5n - 3 - 5n + 8 = \mathbf{5} \)
Krok 3: Interpretacja wyniku:
Różnica wynosi 5. Ponieważ \( 5 > 0 \), ciąg jest rosnący.
2 Zbadaj monotoniczność ciągu \( a_n = 20 - 3n \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Wyznaczamy wyraz \( a_{n+1} \):
\( a_{n+1} = 20 - 3(n+1) = 20 - 3n - 3 = 17 - 3n \)
Krok 2: Obliczamy różnicę:
\( (17 - 3n) - (20 - 3n) = 17 - 3n - 20 + 3n = \mathbf{-3} \)
Krok 3: Ponieważ \( -3 < 0 \), ciąg jest malejący.
\( a_{n+1} = 20 - 3(n+1) = 20 - 3n - 3 = 17 - 3n \)
Krok 2: Obliczamy różnicę:
\( (17 - 3n) - (20 - 3n) = 17 - 3n - 20 + 3n = \mathbf{-3} \)
Krok 3: Ponieważ \( -3 < 0 \), ciąg jest malejący.
3 Wykaż, że ciąg \( a_n = \frac{n+2}{n+5} \) jest rosnący.
🔍 Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Wyznaczamy \( a_{n+1} \):
\( a_{n+1} = \frac{(n+1)+2}{(n+1)+5} = \frac{n+3}{n+6} \)
Krok 2: Obliczamy różnicę \( a_{n+1} - a_n \):
\( \frac{n+3}{n+6} - \frac{n+2}{n+5} = \frac{(n+3)(n+5) - (n+2)(n+6)}{(n+6)(n+5)} \)
Krok 3: Upraszczamy licznik:
\( (n^2+8n+15) - (n^2+8n+12) = 15 - 12 = \mathbf{3} \)
Krok 4: Badamy znak wyrażenia:
\( \frac{3}{(n+6)(n+5)} \). Mianownik jest dodatni dla każdego \( n \ge 1 \), licznik również. Wyrażenie jest dodatnie (\(>0\)), więc ciąg jest rosnący.
\( a_{n+1} = \frac{(n+1)+2}{(n+1)+5} = \frac{n+3}{n+6} \)
Krok 2: Obliczamy różnicę \( a_{n+1} - a_n \):
\( \frac{n+3}{n+6} - \frac{n+2}{n+5} = \frac{(n+3)(n+5) - (n+2)(n+6)}{(n+6)(n+5)} \)
Krok 3: Upraszczamy licznik:
\( (n^2+8n+15) - (n^2+8n+12) = 15 - 12 = \mathbf{3} \)
Krok 4: Badamy znak wyrażenia:
\( \frac{3}{(n+6)(n+5)} \). Mianownik jest dodatni dla każdego \( n \ge 1 \), licznik również. Wyrażenie jest dodatnie (\(>0\)), więc ciąg jest rosnący.
4 Zbadaj monotoniczność ciągu \( a_n = \frac{4}{n+1} \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( a_{n+1} - a_n = \frac{4}{n+2} - \frac{4}{n+1} = \frac{4(n+1) - 4(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{4n+4 - 4n-8}{(n+2)(n+1)} = \mathbf{\frac{-4}{(n+2)(n+1)}} \)
Wynik jest zawsze ujemny dla \( n \in \mathbb{N}_+ \), zatem ciąg jest malejący.
Wynik jest zawsze ujemny dla \( n \in \mathbb{N}_+ \), zatem ciąg jest malejący.
5 Zbadaj monotoniczność ciągu \( a_n = n^2 + 2n \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( a_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 = n^2 + 4n + 3 \)
Różnica: \( (n^2 + 4n + 3) - (n^2 + 2n) = \mathbf{2n + 3} \)
Ponieważ \( n \ge 1 \), to wyrażenie \( 2n+3 \) jest zawsze większe od zera. Ciąg jest rosnący.
Różnica: \( (n^2 + 4n + 3) - (n^2 + 2n) = \mathbf{2n + 3} \)
Ponieważ \( n \ge 1 \), to wyrażenie \( 2n+3 \) jest zawsze większe od zera. Ciąg jest rosnący.
6 Wykaż, że ciąg \( a_n = \frac{3n-1}{n} \) jest rosnący.
🔍 Zobacz rozwiązanie
Uprośćmy wzór: \( a_n = \frac{3n}{n} - \frac{1}{n} = 3 - \frac{1}{n} \).
\( a_{n+1} - a_n = (3 - \frac{1}{n+1}) - (3 - \frac{1}{n}) = -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n} = \frac{-n + (n+1)}{n(n+1)} = \mathbf{\frac{1}{n(n+1)}} \)
Wynik jest dodatni, ciąg jest rosnący.
\( a_{n+1} - a_n = (3 - \frac{1}{n+1}) - (3 - \frac{1}{n}) = -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n} = \frac{-n + (n+1)}{n(n+1)} = \mathbf{\frac{1}{n(n+1)}} \)
Wynik jest dodatni, ciąg jest rosnący.
7 Zbadaj monotoniczność ciągu \( a_n = n^2 - 16n \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Różnica \( a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - 16(n+1) - (n^2 - 16n) = n^2 + 2n + 1 - 16n - 16 - n^2 + 16n = \mathbf{2n - 15} \).
Zauważmy, że znak różnicy zależy od \(n\):
- Dla \( n \le 7 \) różnica jest ujemna.
- Dla \( n \ge 8 \) różnica jest dodatnia.
Odp: Ciąg nie jest monotoniczny w całej dziedzinie.
Zauważmy, że znak różnicy zależy od \(n\):
- Dla \( n \le 7 \) różnica jest ujemna.
- Dla \( n \ge 8 \) różnica jest dodatnia.
Odp: Ciąg nie jest monotoniczny w całej dziedzinie.
8 Czy ciąg \( a_n = \frac{n^2}{n+1} \) jest rosnący?
🔍 Zobacz rozwiązanie
Po obliczeniu różnicy \( a_{n+1} - a_n \) i sprowadzeniu do mianownika \( (n+2)(n+1) \), w liczniku otrzymamy wyrażenie \( n^2 + 3n + 1 \).
Ponieważ \( n \ge 1 \), licznik i mianownik są dodatnie. Ciąg jest rosnący.
Ponieważ \( n \ge 1 \), licznik i mianownik są dodatnie. Ciąg jest rosnący.
9 Zbadaj monotoniczność ciągu \( a_n = \frac{3^n}{n!} \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Dla ciągów o wyrazach dodatnich z potęgami i silniami wygodniej badać iloraz \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):
\[ \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3^n \cdot 3 \cdot n!}{(n+1) \cdot n! \cdot 3^n} = \frac{3}{n+1} \]
- Dla \( n=1 \) iloraz \( = 1.5 > 1 \).
- Dla \( n=2 \) iloraz \( = 1 \).
- Dla \( n > 2 \) iloraz \( < 1 \).
Odp: Ciąg nie jest monotoniczny globalnie, od trzeciego wyrazu jest malejący.
\[ \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3^n \cdot 3 \cdot n!}{(n+1) \cdot n! \cdot 3^n} = \frac{3}{n+1} \]
- Dla \( n=1 \) iloraz \( = 1.5 > 1 \).
- Dla \( n=2 \) iloraz \( = 1 \).
- Dla \( n > 2 \) iloraz \( < 1 \).
Odp: Ciąg nie jest monotoniczny globalnie, od trzeciego wyrazu jest malejący.
10 Zbadaj monotoniczność ciągu \( a_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Używamy sprzężenia:
\[ a_n = \frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} \]
Mianownik rośnie wraz z \(n\), więc wartość ułamka maleje. Ciąg jest malejący.
\[ a_n = \frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} \]
Mianownik rośnie wraz z \(n\), więc wartość ułamka maleje. Ciąg jest malejący.
