Metoda: o zachowaniu wielomianu przy \(n\to\infty\) decyduje wyraz wiodący (najwyższa potęga \(n\) wraz ze współczynnikiem).
\[
\lim_{n\to\infty}\bigl(n^2-7n^5+2n^3-1\bigr)
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
n^2-7n^5+2n^3-1=-7n^5+2n^3+n^2-1
\]
Wyraz wiodący to \(-7n^5\).
Krok 2
\[
-7n^5\to -\infty \quad\Rightarrow\quad n^2-7n^5+2n^3-1\to -\infty
\]
Wynik
\[
\boxed{\lim_{n\to\infty}\bigl(n^2-7n^5+2n^3-1\bigr)=-\infty.}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\bigl(6n^4+2n^3+n+4\bigr)
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
Wyraz wiodący to \(6n^4\).
Krok 2
\[
6n^4\to +\infty \quad\Rightarrow\quad 6n^4+2n^3+n+4\to +\infty
\]
Wynik
\[
\boxed{\lim_{n\to\infty}\bigl(6n^4+2n^3+n+4\bigr)=+\infty.}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}(n+3)^2
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
(n+3)^2=n^2+6n+9
\]
Krok 2
\[
n^2+6n+9\to +\infty
\]
Wynik
\[
\boxed{\lim_{n\to\infty}(n+3)^2=+\infty.}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}(n+3)^2
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
(n+3)^2=n^2+6n+9
\]
Krok 2
\[
n^2+6n+9\to +\infty
\]
Wynik
\[
\boxed{\lim_{n\to\infty}(n+3)^2=+\infty.}
\]
Metoda: wyłączamy przed nawias najwyższą potęgę \(n\) w liczniku i w mianowniku, skracamy wspólny czynnik,
a następnie korzystamy z faktu, że \(\frac{1}{n}\to 0\), \(\frac{1}{n^2}\to 0\), itd.
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{2n^5+3n^3-1}{5n^5-3n^3}
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
2n^5+3n^3-1=n^5\left(2+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^5}\right),\quad
5n^5-3n^3=n^5\left(5-\frac{3}{n^2}\right)
\]
Krok 2
\[
\frac{2n^5+3n^3-1}{5n^5-3n^3}
=
\frac{2+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^5}}{5-\frac{3}{n^2}}
\]
Krok 3
\[
\frac{3}{n^2}\to 0,\ \frac{1}{n^5}\to 0
\Rightarrow
\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^5}}{5-\frac{3}{n^2}}=\frac{2}{5}
\]
Wynik
\[
\boxed{\frac{2}{5}}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n^3-4}{n^4-2n^3}
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
3n^2+2n^3-4=n^3\left(2+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^3}\right),\quad
n^4-2n^3=n^4\left(1-\frac{2}{n}\right)
\]
Krok 2
\[
\frac{3n^2+2n^3-4}{n^4-2n^3}
=
\frac{n^3\left(2+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^3}\right)}{n^4\left(1-\frac{2}{n}\right)}
=
\frac{1}{n}\cdot\frac{2+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^3}}{1-\frac{2}{n}}
\]
Krok 3
\[
\frac{1}{n}\to 0,\quad
\frac{2+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^3}}{1-\frac{2}{n}}\to 2
\Rightarrow
\boxed{0}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{-2n^4+3n^3}{5n^2+7n^3-4}
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
-2n^4+3n^3=n^4\left(-2+\frac{3}{n}\right),\quad
5n^2+7n^3-4=n^3\left(7+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}\right)
\]
Krok 2
\[
\frac{-2n^4+3n^3}{5n^2+7n^3-4}
=
n\cdot\frac{-2+\frac{3}{n}}{7+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}}
\]
Krok 3
\[
\frac{-2+\frac{3}{n}}{7+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}}\to \frac{-2}{7}<0,\quad n\to\infty
\Rightarrow
\boxed{-\infty}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{2n^3-1}{50n^3-3n^2}}
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
\frac{2n^3-1}{50n^3-3n^2}
=
\frac{n^3\left(2-\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(50-\frac{3}{n}\right)}
=
\frac{2-\frac{1}{n^3}}{50-\frac{3}{n}}
\]
Krok 2
\[
\frac{2-\frac{1}{n^3}}{50-\frac{3}{n}}\to \frac{2}{50}=\frac{1}{25}
\Rightarrow
\sqrt{\frac{2n^3-1}{50n^3-3n^2}}\to \sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}
\]
Wynik
\[
\boxed{\frac{1}{5}}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)(n+2)}{n^2-2n}
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
\frac{(n-1)(n+2)}{n^2-2n}
=
\frac{n^2+n-2}{n^2-2n}
\]
Krok 2
\[
n^2+n-2=n^2\left(1+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}\right),\quad
n^2-2n=n^2\left(1-\frac{2}{n}\right)
\]
Krok 3
\[
\frac{n^2+n-2}{n^2-2n}
=
\frac{1+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}{1-\frac{2}{n}}
\to \frac{1}{1}=1
\Rightarrow
\boxed{1}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n^4+3n^2}}{5n^2+7n-4}
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
\sqrt{4n^4+3n^2}
=
\sqrt{n^4\left(4+\frac{3}{n^2}\right)}
=
n^2\sqrt{4+\frac{3}{n^2}}
\]
Krok 2
\[
5n^2+7n-4=n^2\left(5+\frac{7}{n}-\frac{4}{n^2}\right)
\]
Krok 3
\[
\frac{\sqrt{4n^4+3n^2}}{5n^2+7n-4}
=
\frac{n^2\sqrt{4+\frac{3}{n^2}}}{n^2\left(5+\frac{7}{n}-\frac{4}{n^2}\right)}
=
\frac{\sqrt{4+\frac{3}{n^2}}}{5+\frac{7}{n}-\frac{4}{n^2}}
\to \frac{\sqrt{4}}{5}=\frac{2}{5}
\Rightarrow
\boxed{\frac{2}{5}}
\]
Metoda: wyłączamy dominującą potęgę w liczniku i mianowniku, skracamy, a następnie korzystamy z faktu,
że \(\left(\frac{a}{b}\right)^n\to 0\) dla \(\left|\frac{a}{b}\right|<1\).
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{7\cdot 2^n}{3\cdot 2^n+4^n}
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
3\cdot 2^n+4^n=4^n\left(\frac{3\cdot 2^n}{4^n}+1\right)
=4^n\left(3\left(\frac{1}{2}\right)^n+1\right)
\]
Krok 2
\[
\frac{7\cdot 2^n}{3\cdot 2^n+4^n}
=
\frac{7\cdot 2^n}{4^n\left(1+3\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}
=
\frac{7\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1+3\left(\frac{1}{2}\right)^n}
\]
Krok 3
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0 \Rightarrow \boxed{0}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{4^n+7\cdot 3^n}{7\cdot 2^{2n}+2^{2n-2}}
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
7\cdot 2^{2n}+2^{2n-2}
=
2^{2n}\left(7+\frac{1}{4}\right)
=
2^{2n}\cdot\frac{29}{4}
\]
Krok 2
\[
2^{2n}=4^n
\Rightarrow
\frac{4^n+7\cdot 3^n}{7\cdot 2^{2n}+2^{2n-2}}
=
\frac{4^n+7\cdot 3^n}{4^n\cdot\frac{29}{4}}
=
\frac{4}{29}\left(1+7\left(\frac{3}{4}\right)^n\right)
\]
Krok 3
\[
\left(\frac{3}{4}\right)^n\to 0 \Rightarrow \boxed{\frac{4}{29}}
\]
Metoda: usuwanie niewymierności przez mnożenie przez sprzężenie.
\[
\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{9n^2+1}-3n\bigr)
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
\sqrt{9n^2+1}-3n
=
\frac{(\sqrt{9n^2+1}-3n)(\sqrt{9n^2+1}+3n)}{\sqrt{9n^2+1}+3n}
=
\frac{(9n^2+1)-9n^2}{\sqrt{9n^2+1}+3n}
=
\frac{1}{\sqrt{9n^2+1}+3n}
\]
Krok 2
\[
\sqrt{9n^2+1}+3n\to\infty \Rightarrow \boxed{0}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\sqrt{n^2+9n}-\sqrt{n^2+3n-2}\Bigr)
\]
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
\sqrt{n^2+9n}-\sqrt{n^2+3n-2}
=
\frac{(n^2+9n)-(n^2+3n-2)}{\sqrt{n^2+9n}+\sqrt{n^2+3n-2}}
=
\frac{6n+2}{\sqrt{n^2+9n}+\sqrt{n^2+3n-2}}
\]
Krok 2
\[
\sqrt{n^2+9n}=n\sqrt{1+\frac{9}{n}},\quad
\sqrt{n^2+3n-2}=n\sqrt{1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}}
\]
\[
\frac{6n+2}{\sqrt{n^2+9n}+\sqrt{n^2+3n-2}}
=
\frac{6+\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{9}{n}}+\sqrt{1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}}}
\]
Krok 3
\[
\to \frac{6}{1+1}=3 \Rightarrow \boxed{3}
\]
Metoda: ograniczoność funkcji trygonometrycznych i twierdzenie o trzech ciągach.
Wyznacz granicę ciągu \(\displaystyle a_n=\frac{n^2\sin(7n^3)}{n^3+2n}\).
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
-1\le \sin(7n^3)\le 1
\]
Krok 2
\[
-\frac{n^2}{n^3+2n}\le \frac{n^2\sin(7n^3)}{n^3+2n}\le \frac{n^2}{n^3+2n}
\]
Krok 3
\[
\frac{n^2}{n^3+2n}=\frac{n}{n^2+2}\to 0
\]
Krok 4
\[
\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\sin(7n^3)}{n^3+2n}=0.}
\]
Zbadaj istnienie granicy ciągu \(\displaystyle a_n=\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\).
Rozwiązanie krok po kroku rozwiń
Krok 1
\[
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\
\sin(\pi)=0,\
\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\
\sin(2\pi)=0,\ \ldots
\]
Krok 2
\[
1,0,-1,0,1,0,-1,0,\ldots
\]
Ciąg nie zbliża się do jednej liczby, więc granica nie istnieje.
Wynik
\[
\boxed{\text{granica nie istnieje}}
\]
