Granica ciągu – definicje i twierdzenia
Granicę oznaczamy symbolem lim, któe pochodzi od łacińskiego słowa limes (= miedza, granica).
1 Definicja granicy właściwej
Definicja 1.
Liczba \(g\) jest granicą ciągu nieskończonego \((a_n)\) (co oznaczamy \(\lim_{n\to\infty} a_n=g\) lub \(a_n\to g\),
gdy \(n\to\infty\)) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej \(\varepsilon\) (epsilon) prawie wszystkie
wyrazy ciągu \((a_n)\) znajdują się w odległości mniejszej niż \(\varepsilon\) od liczby \(g\).
Sformułowanie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” rozumiemy jako: „wszystkie wyrazy ciągu od pewnego miejsca”. Zapis odległości za pomocą wartości bezwzględnej prowadzi do równoważnej postaci definicji.
Zapis symboliczny:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n=g \quad\Longleftrightarrow\quad \forall_{\varepsilon>0}\ \exists_{N}\ \forall_{n>N}\ \bigl(|a_n-g|<\varepsilon\bigr). \]
\[ \lim_{n\to\infty} a_n=g \quad\Longleftrightarrow\quad \forall_{\varepsilon>0}\ \exists_{N}\ \forall_{n>N}\ \bigl(|a_n-g|<\varepsilon\bigr). \]
Ciąg zbieżny.
Ciągiem zbieżnym nazywamy ciąg nieskończony, który ma granicę będącą liczbą rzeczywistą.
2 Własności ciągów zbieżnych – twierdzenia
Twierdzenie 1. Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.
Twierdzenie 2.
Jeżeli nieskończony ciąg \((a_n)\) jest ciągiem stałym i \(a_n=a\), to \((a_n)\) jest zbieżny i
\[
\lim_{n\to\infty} a_n=a.
\]
Twierdzenie 3.
Jeżeli \(\lim_{n\to\infty} a_n=a\) oraz \(a_n\ge 0\) dla każdej liczby naturalnej \(n\), to
\[
\lim_{n\to\infty} \sqrt{a_n}=\sqrt{a}.
\]
Twierdzenie 4.
Jeżeli \(|q|<1\), to ciąg \((a_n)\), gdzie \(a_n=q^n\), jest zbieżny i
\[
\lim_{n\to\infty} q^n=0.
\]
Twierdzenie 5 (działania arytmetyczne na granicach).
Jeżeli \(\lim_{n\to\infty} a_n=a\) i \(\lim_{n\to\infty} b_n=b\), to istnieją granice ciągów \((a_n+b_n)\), \((a_n-b_n)\), \((a_n\cdot b_n)\) oraz \(\left(\frac{a_n}{b_n}\right)\) (przy dodatkowym założeniu \(b\ne 0\) i \(b_n\ne 0\) dla każdego \(n\)) i zachodzą równości: \[ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b,\qquad \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=a-b, \] \[ \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=a\cdot b,\qquad \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}. \]
Jeżeli \(\lim_{n\to\infty} a_n=a\) i \(\lim_{n\to\infty} b_n=b\), to istnieją granice ciągów \((a_n+b_n)\), \((a_n-b_n)\), \((a_n\cdot b_n)\) oraz \(\left(\frac{a_n}{b_n}\right)\) (przy dodatkowym założeniu \(b\ne 0\) i \(b_n\ne 0\) dla każdego \(n\)) i zachodzą równości: \[ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b,\qquad \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=a-b, \] \[ \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=a\cdot b,\qquad \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}. \]
Twierdzenie 6.
Jeżeli \(a>0\), to ciąg \((a_n)\) o wyrazie ogólnym
\[
a_n=\sqrt[n]{a}\quad (n>1)
\]
jest zbieżny i
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1.
\]
Twierdzenie 7 (o trzech ciągach).
Jeżeli dane są trzy ciągi \((a_n)\), \((b_n)\), \((c_n)\), takie że \[ \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} c_n=g \] oraz istnieje taka liczba \(N\), że dla każdej liczby naturalnej \(n>N\) zachodzi nierówność \[ a_n\le b_n\le c_n, \] to \[ \lim_{n\to\infty} b_n=g. \]
Jeżeli dane są trzy ciągi \((a_n)\), \((b_n)\), \((c_n)\), takie że \[ \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} c_n=g \] oraz istnieje taka liczba \(N\), że dla każdej liczby naturalnej \(n>N\) zachodzi nierówność \[ a_n\le b_n\le c_n, \] to \[ \lim_{n\to\infty} b_n=g. \]
3 Ciągi rozbieżne do nieskończoności
Powiemy, że ciąg nieskończony jest rozbieżny do \(+\infty\) (ma granicę niewłaściwą \(+\infty\)), gdy jego wyrazy wzrastają nieograniczenie, tzn. prawie wszystkie wyrazy są większe od dowolnie wybranej liczby \(M\). Analogicznie definiujemy rozbieżność do \(-\infty\).
Definicja (rozbieżność do \(+\infty\)).
Ciąg nieskończony \((a_n)\) nazywamy ciągiem rozbieżnym do plus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(M\) istnieje taka liczba \(N\), że dla każdej liczby naturalnej \(n>N\) zachodzi nierówność \(a_n>M\).
\[ \lim_{n\to\infty} a_n=+\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \forall M\ \exists N\ \forall n>N:\ a_n>M. \]
Ciąg nieskończony \((a_n)\) nazywamy ciągiem rozbieżnym do plus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(M\) istnieje taka liczba \(N\), że dla każdej liczby naturalnej \(n>N\) zachodzi nierówność \(a_n>M\).
\[ \lim_{n\to\infty} a_n=+\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \forall M\ \exists N\ \forall n>N:\ a_n>M. \]
Definicja (rozbieżność do \(-\infty\)).
Ciąg nieskończony \((a_n)\) nazywamy ciągiem rozbieżnym do minus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(M\) istnieje taka liczba \(N\), że dla każdej liczby naturalnej \(n>N\) zachodzi nierówność \(a_n\lt M\).
\[ \lim_{n\to\infty} a_n=-\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \forall M\ \exists N\ \forall n>N:\ a_n\lt M. \]
Ciąg nieskończony \((a_n)\) nazywamy ciągiem rozbieżnym do minus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(M\) istnieje taka liczba \(N\), że dla każdej liczby naturalnej \(n>N\) zachodzi nierówność \(a_n\lt M\).
\[ \lim_{n\to\infty} a_n=-\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \forall M\ \exists N\ \forall n>N:\ a_n\lt M. \]
4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych
Twierdzenie 1.
Jeżeli dany jest ciąg nieskończony \((a_n)\), dla którego \(\lim_{n\to\infty}|a_n|=+\infty\), to
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0.
\]
Twierdzenie 2.
Jeżeli dany jest ciąg nieskończony \((a_n)\), dla którego \(\lim_{n\to\infty} a_n=0\), to
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{|a_n|}=+\infty.
\]
Twierdzenie 3.
Dane są ciągi nieskończone \((a_n)\) i \((b_n)\), dla których \(\lim_{n\to\infty} a_n=+\infty\) oraz
\(\lim_{n\to\infty} b_n=b\). Wówczas:
- jeśli \(b>0\), to \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=+\infty\),
- jeśli \(b<0\), to \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=-\infty\).
5 Uwagi terminologiczne i notacyjne
- Granica właściwa to granica będąca liczbą rzeczywistą.
- Granica niewłaściwa to \(+\infty\) albo \(-\infty\).
- W definicjach formalnych: \(\varepsilon>0\) opisuje „dokładność” (promień otoczenia liczby \(g\)), natomiast \(N\) wskazuje „od którego miejsca” wszystkie dalsze wyrazy spełniają wymagane warunki.
- Zapis \(\forall\), \(\exists\) oznacza odpowiednio: „dla każdego” oraz „istnieje”.
6 Symbole nieoznaczone i oznaczone
Symbole nieoznaczone to formy graniczne, które same w sobie nie przesądzają wyniku i wymagają przekształceń.
\(\frac{0}{0}\)nieoznaczony
\(\frac{\infty}{\infty}\)nieoznaczony
\(\infty-\infty\)nieoznaczony
\(0\cdot\infty\)nieoznaczony
\(0^{0}\)nieoznaczony
\(1^{\infty}\)nieoznaczony
\(\infty^{0}\)nieoznaczony
Przykłady symboli oznaczonych (dla \(a\in\mathbb{R}\), a tam gdzie zaznaczono – z dodatkowymi warunkami):
\(\frac{1}{0^{+}}=+\infty\)
\(\frac{1}{0^{-}}=-\infty\)
\(\frac{a}{\infty}=0\)
\(\infty+\infty=\infty\)
\(a+\infty=\infty\)
\(a-\infty=-\infty\)
\(\infty\cdot\infty=\infty\)
\(\infty\cdot a=\infty\ (a>0)\)
\(\infty\cdot a=-\infty\ (a<0)\)
\(\infty^{\infty}=\infty\)
\(a^{\infty}=\infty\ (a>1)\)
\(a^{-\infty}=0\ (a>1)\)
