Wzór ogólny na ciąg geometryczny
Wzory, które będą używane w zadaniach
\[
a_{n+1}=a_n\cdot q,\qquad q=\frac{a_{n+1}}{a_n}
\]
\[
a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}
\]
Zasada w rozwiązaniach: jeśli gdzieś pojawia się \(a_k\), to i tak zapisujemy go przez \(a_1\), np.
\(\ a_k=a_1q^{k-1}\). Dzięki temu wszystko sprowadzamy do \(a_1\) i \(q\).
Trik „dzielenia stronami” (poziom rozszerzony)
Gdy mamy dwa równania z \(a_1\) i potęgami \(q\), bardzo często opłaca się je podzielić stronami, bo \(a_1\) się skraca.
\[
\frac{a_1q^{m}}{a_1q^{k}}=q^{m-k}
\]
To jest najszybsza metoda wyznaczania \(q\) z wyrazów niekolejnych.
Zadania - podstawa + rozszerzenie
Kategoria I: Znasz \(a_1\) i \(q\)
1
\(a_1=5,\ q=2\). Oblicz \(a_9\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_n=a_1q^{n-1}\Rightarrow a_9=5\cdot2^{8} \] \[ a_9=5\cdot256=\mathbf{1280} \]Komentarz: wykładnik to \(9-1\), bo od \(a_1\) do \(a_9\) wykonujemy 8 mnożeń przez \(q\).
2
\(a_1=192,\ q=\frac12\). Oblicz \(a_8\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_8=192\cdot\left(\frac12\right)^{7}=192\cdot\frac1{128} \] \[ a_8=\mathbf{\frac{3}{2}}=1{,}5 \]Komentarz: przy \(q=\frac12\) w każdym kroku „dzielimy przez 2”.
3
\(a_1=-4,\ q=-3\). Oblicz \(a_6\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_6=-4\cdot(-3)^{5}=-4\cdot(-243)=\mathbf{972} \]Komentarz: znak zmienia się, bo \(q<0\). Potęga nieparzysta zostaje ujemna.
4
Wyznacz wzór ogólny ciągu: \(12,\ 4,\ \frac{4}{3},\ldots\)
🔍 Rozwiązanie
\[ q=\frac{4}{12}=\frac13 \] \[ a_1=12 \] \[ a_n=12\cdot\left(\frac13\right)^{n-1} \]Komentarz: sprawdzenie: \(a_3=12\cdot(\frac13)^2=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\) – pasuje.
Kategoria II: Masz dwa wyrazy – wyznacz \(q\), potem \(a_1\)
5
W ciągu geometrycznym \(a_2=14\), \(a_5=112\). Wyznacz \(a_1\) i \(q\).
🔍 Rozwiązanie
Zapisujemy wszystko od \(a_1\): \[ a_2=a_1q=14 \] \[ a_5=a_1q^{4}=112 \] Dzielimy drugie równanie przez pierwsze (dzielenie stronami): \[ \frac{a_1q^4}{a_1q}=\frac{112}{14}\Rightarrow q^{3}=8 \] \[ q=\mathbf{2} \] Podstawiamy do \(a_1q=14\): \[ a_1=\frac{14}{2}=\mathbf{7} \]
6
W ciągu geometrycznym \(a_3=-9\), \(a_6=72\). Wyznacz \(a_1\) i \(q\).
🔍 Rozwiązanie
Zapis od \(a_1\): \[ a_3=a_1q^{2}=-9,\qquad a_6=a_1q^{5}=72 \] Dzielenie stronami: \[ \frac{a_1q^{5}}{a_1q^{2}}=\frac{72}{-9}\Rightarrow q^{3}=-8 \Rightarrow q=\mathbf{-2} \] Podstawiamy do \(a_1q^2=-9\): \[ q^2=4\Rightarrow a_1\cdot4=-9\Rightarrow a_1=\mathbf{-\frac{9}{4}} \]
7
W ciągu geometrycznym \(a_4=24\), \(a_7=192\). Wyznacz \(a_1\) i \(q\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_4=a_1q^3=24,\qquad a_7=a_1q^6=192 \] Dzielenie stronami: \[ \frac{a_1q^6}{a_1q^3}=\frac{192}{24}\Rightarrow q^3=8\Rightarrow q=\mathbf{2} \] Podstawiamy: \[ a_1\cdot2^3=24\Rightarrow a_1\cdot8=24\Rightarrow a_1=\mathbf{3} \]Kategoria III: Zadania „na układ równań” (rozszerzenie)
8
W ciągu geometrycznym zachodzi: \(a_2+a_4=30\) oraz \(a_3+a_5=60\). Wyznacz \(a_1\) i \(q\).
🔍 Rozwiązanie
Zapisujemy wyrazy przez \(a_1\): \[ a_2=a_1q,\ a_4=a_1q^3,\ a_3=a_1q^2,\ a_5=a_1q^4 \] Układ równań: \[ a_1q+a_1q^3=30 \Rightarrow a_1q(1+q^2)=30 \quad (1) \] \[ a_1q^2+a_1q^4=60 \Rightarrow a_1q^2(1+q^2)=60 \quad (2) \] Dzielimy (2) przez (1) (dzielenie stronami – skraca się \(a_1\) i \(1+q^2\)): \[ \frac{a_1q^2(1+q^2)}{a_1q(1+q^2)}=\frac{60}{30}\Rightarrow q=2 \] Podstawiamy do (1): \[ a_1\cdot2(1+4)=30\Rightarrow a_1\cdot2\cdot5=30\Rightarrow a_1=\mathbf{3} \]
9
W ciągu geometrycznym: \(a_1+a_3=28\) oraz \(a_2+a_4=56\). Wyznacz \(a_1\) i \(q\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_3=a_1q^2,\quad a_2=a_1q,\quad a_4=a_1q^3 \] Układ: \[ a_1+a_1q^2=28 \Rightarrow a_1(1+q^2)=28 \quad (1) \] \[ a_1q+a_1q^3=56 \Rightarrow a_1q(1+q^2)=56 \quad (2) \] Dzielimy (2) przez (1): \[ \frac{a_1q(1+q^2)}{a_1(1+q^2)}=\frac{56}{28}\Rightarrow q=2 \] Podstawiamy do (1): \[ a_1(1+4)=28\Rightarrow 5a_1=28\Rightarrow a_1=\mathbf{\frac{28}{5}} \]
10
W ciągu geometrycznym: \(a_3-a_1=24\) oraz \(a_4-a_2=72\). Wyznacz \(a_1\) i \(q\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_3=a_1q^2,\quad a_4=a_1q^3,\quad a_2=a_1q \] Równania: \[ a_1q^2-a_1=24 \Rightarrow a_1(q^2-1)=24 \quad (1) \] \[ a_1q^3-a_1q=72 \Rightarrow a_1q(q^2-1)=72 \quad (2) \] Dzielimy (2) przez (1): \[ \frac{a_1q(q^2-1)}{a_1(q^2-1)}=\frac{72}{24}\Rightarrow q=3 \] Podstawiamy do (1): \[ a_1(9-1)=24\Rightarrow 8a_1=24\Rightarrow a_1=\mathbf{3} \]
11
W ciągu geometrycznym: \(a_2\cdot a_4=400\) oraz \(a_1+a_3=50\). Wyznacz \(a_1\) i \(q\).
🔍 Rozwiązanie
Zapis od \(a_1\): \[ a_2=a_1q,\ a_4=a_1q^3,\ a_3=a_1q^2 \] Pierwszy warunek: \[ a_2\cdot a_4=(a_1q)(a_1q^3)=a_1^2q^4=400 \quad (A) \] Drugi warunek: \[ a_1+a_3=a_1+a_1q^2=a_1(1+q^2)=50 \quad (B) \] Z (B) mamy: \[ a_1=\frac{50}{1+q^2} \] Podstawiamy do (A): \[ \left(\frac{50}{1+q^2}\right)^2 q^4=400 \Rightarrow \frac{2500q^4}{(1+q^2)^2}=400 \Rightarrow \frac{25q^4}{(1+q^2)^2}=4 \] Pierwiastkujemy obie strony (dla \(q^2\ge 0\) wygodnie): \[ \frac{5q^2}{1+q^2}=2 \Rightarrow 5q^2=2+2q^2 \Rightarrow 3q^2=2 \Rightarrow q^2=\frac{2}{3} \] \[ q=\pm\sqrt{\frac{2}{3}} \] Obliczamy \(a_1\) z (B): \[ a_1=\frac{50}{1+\frac{2}{3}}=\frac{50}{\frac{5}{3}}=30 \] Odp.: \(\mathbf{a_1=30,\ q=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}}\).Komentarz: tu wyszły dwa ciągi (dla \(q\) dodatniego i ujemnego), oba spełniają warunki.
12
Wyznacz \(q\), jeśli w ciągu geometrycznym \(a_2=6\) i \(a_5=162\), a następnie podaj wzór \(a_n\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_2=a_1q=6,\qquad a_5=a_1q^4=162 \] Dzielenie stronami: \[ \frac{a_1q^4}{a_1q}=\frac{162}{6}\Rightarrow q^3=27\Rightarrow q=\mathbf{3} \] \[ a_1=\frac{6}{3}=\mathbf{2} \] \[ a_n=2\cdot3^{n-1} \]Kategoria IV: Dodatkowe (krótsze) – utrwalenie
13
W ciągu geometrycznym \(a_1=9\), \(q=-\frac13\). Oblicz \(a_5\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_5=9\cdot\left(-\frac13\right)^4=9\cdot\frac{1}{81}=\mathbf{\frac19} \]
14
W ciągu geometrycznym \(a_3=4\) i \(q=2\). Wyznacz \(a_1\) i \(a_8\).
