Ciąg geometryczny – definicja i wzory
1) Definicja i iloraz (\(q\))
Ciąg \((a_n)\) nazywamy geometrycznym, jeśli iloraz kolejnych wyrazów (od drugiego) jest stały:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad (a_n\neq 0)
\]
Stąd najczęściej używana postać definicji:
\[
a_{n+1}=a_n\cdot q
\]
- \(q>1\) i \(a_1>0\) – ciąg rośnie.
- \(0
- \(q=1\) – ciąg stały.
- \(q<0\) – znaki wyrazów się zmieniają.
2) Wzór na n-ty wyraz
Jeżeli znamy \(a_1\) i \(q\), to dowolny wyraz policzymy:
\[
a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}
\]
Wersja „od dowolnego wyrazu” (gdy znamy \(a_k\)):
\[
a_n=a_k\cdot q^{\,n-k}
\]
3) Trzy kolejne wyrazy – własność (bardzo ważna!)
Jeśli \(a_{n-1},a_n,a_{n+1}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to środkowy jest średnią geometryczną skrajnych:
\[
a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}
\]
Wersja „na skróty” (gdy trzy kolejne wyrazy oznaczysz literami \(a,b,c\)):
\[
a,\ b,\ c \ \text{— kolejne wyrazy ciągu geometrycznego} \quad \Longleftrightarrow \quad b^2=a\cdot c
\]
Komentarz: to jest odpowiednik własności „środkowy jest średnią” z ciągu arytmetycznego, tylko tutaj mamy mnożenie, a nie dodawanie.
4) Suma n początkowych wyrazów (gdy \(q\neq 1\))
\[
S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1)
\]
Gdy \(q=1\), to \(S_n=n\cdot a_1\).
5) Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny?
Najprostszy test: policz iloraz kolejnych wyrazów. Jeśli jest stały – ciąg jest geometryczny.
\[
\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\cdots=q
\]
