Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
Najważniejsza własność
Jeśli \(a,b,c\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (w tej kolejności), to:
\[
\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\quad\Longleftrightarrow\quad b^2=a\cdot c
\]
Komentarz: To jest „złoty wzór” na zadania z trzema wyrazami. Najczęściej po prostu wstawiasz liczby do
\(b^2=a\cdot c\) i rozwiązujesz równanie.
\[
q=\frac{b}{a}=\frac{c}{b}
\]
Zadania
1 Wstaw jedną liczbę między \(3\) i \(48\), aby powstały trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.
🔍 Rozwiązanie
1. Niech środkowy wyraz będzie równy \(b\). Wtedy \(b^2=3\cdot48\).
\[
b^2=144
\]
2. Pierwiastkujemy: \(b=\pm 12\).
\[
\mathbf{b=12\ \text{lub}\ b=-12}
\]
3. Krótka kontrola ilorazu: dla \(b=12\) mamy \(q=4\), a dla \(b=-12\) mamy \(q=-4\).
2 Liczby \(7,\ b,\ 112\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(b\).
🔍 Rozwiązanie
1. Korzystamy z własności: \(b^2=7\cdot112\).
\[
b^2=784
\]
2. Pierwiastkujemy.
\[
\mathbf{b=\pm 28}
\]
3 Liczby \(10,\ b,\ 2{,}5\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(b\).
🔍 Rozwiązanie
1. Stosujemy \(b^2=10\cdot2{,}5\).
\[
b^2=25
\]
2. Pierwiastkujemy.
\[
\mathbf{b=\pm 5}
\]
4 Liczby \(-8,\ b,\ 18\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Czy istnieje \(b\in\mathbb{R}\)?
🔍 Rozwiązanie
1. Gdyby istniało, musiałoby spełniać \(b^2=(-8)\cdot18\).
\[
b^2=-144
\]
2. Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, więc nie ma rozwiązania w \(\mathbb{R}\).
Odp.: brak rozwiązań w \(\mathbb{R}\).
5 Liczby \(2x,\ 12,\ 72\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).
🔍 Rozwiązanie
1. Z własności: \(12^2=(2x)\cdot72\).
\[
144=144x
\]
2. Dzielimy przez 144.
\[
\mathbf{x=1}
\]
6 Liczby \(x-2,\ 9,\ 2x+7\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).
🔍 Rozwiązanie
1. Zapisujemy równanie: \(9^2=(x-2)(2x+7)\).
\[
81=(x-2)(2x+7)
\]
2. Rozwijamy prawą stronę.
\[
(x-2)(2x+7)=2x^2+7x-4x-14=2x^2+3x-14
\]
3. Przenosimy wszystko na jedną stronę (równanie wielomianowe).
\[
2x^2+3x-14-81=0\Rightarrow 2x^2+3x-95=0
\]
4. Liczymy wyróżnik.
\[
\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-95)=9+760=769
\]
\[
\mathbf{x=\frac{-3\pm\sqrt{769}}{4}}
\]
7 Liczby \(3x,\ x+9,\ 48\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).
🔍 Rozwiązanie
1. Z własności: \((x+9)^2=(3x)\cdot48\).
\[
(x+9)^2=144x
\]
2. Rozwijamy i przenosimy.
\[
x^2+18x+81=144x \Rightarrow x^2-126x+81=0
\]
3. Liczymy \(\Delta\).
\[
\Delta=126^2-4\cdot81=15876-324=15552=144\cdot108
\Rightarrow \sqrt{\Delta}=12\sqrt{108}=36\sqrt{3}
\]
4. Wynik.
\[
\mathbf{x=\frac{126\pm 36\sqrt{3}}{2}=63\pm 18\sqrt{3}}
\]
8 Liczby \(\frac{4}{x},\ 6,\ 3x\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\) (dla \(x\neq 0\)).
🔍 Rozwiązanie
1. Stosujemy \(6^2=\frac{4}{x}\cdot 3x\).
\[
36=\frac{12x}{x}
\]
2. Ponieważ \(x\neq 0\), mamy \(\frac{12x}{x}=12\).
\[
36=12
\]
3. Sprzeczność, więc brak rozwiązań.
Odp.: brak rozwiązań.
Komentarz: To przykład, że zapis „ułamkowy” może prowadzić do sprzeczności po skróceniu.
9 Liczby \(a,\ 20,\ c\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz \(a+c=58\). Oblicz \(a\) i \(c\).
🔍 Rozwiązanie
1. Z własności: \(20^2=a\cdot c\), więc \(ac=400\).
\[
ac=400,\qquad a+c=58
\]
2. To klasyczna sytuacja „suma i iloczyn”. Rozwiązujemy równanie na \(t\):
\[
t^2-58t+400=0
\]
3. Liczymy \(\Delta\).
\[
\Delta=58^2-1600=3364-1600=1764,\quad \sqrt{\Delta}=42
\]
4. Wyznaczamy pierwiastki.
\[
t=\frac{58\pm42}{2}\Rightarrow t=50\ \text{lub}\ 8
\]
5. Zatem \(\{a,c\}=\{8,50\}\) (kolejność zależy od tego, czy ciąg rośnie czy maleje).
Odp.: \(\mathbf{a=8,\ c=50}\) lub \(\mathbf{a=50,\ c=8}\).
10 Liczby \(x,\ 2x+1,\ 9\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\) (równanie wymierne może się pojawić).
🔍 Rozwiązanie
1. Warunek geometryczny: \((2x+1)^2=9x\).
\[
(2x+1)^2=9x
\]
2. Rozwijamy i przenosimy.
\[
4x^2+4x+1=9x \Rightarrow 4x^2-5x+1=0
\]
3. Liczymy \(\Delta\).
\[
\Delta=25-16=9,\quad \sqrt{\Delta}=3
\]
4. Wyznaczamy \(x\).
\[
x=\frac{5\pm3}{8}\Rightarrow \mathbf{x=1}\ \text{lub}\ \mathbf{x=\frac14}
\]
5. Kontrola: dla \(x=1\) mamy \((1,3,9)\) — ok; dla \(x=\frac14\) mamy \((\frac14,\frac32,9)\) — też ok (iloraz ten sam).
11 Liczby \(x,\ \frac{12}{x},\ 27\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (dla \(x\neq 0\)). Oblicz \(x\).
🔍 Rozwiązanie
1. Stosujemy warunek: \(\left(\frac{12}{x}\right)^2=x\cdot27\).
\[
\frac{144}{x^2}=27x
\]
2. Mnożymy przez \(x^2\) (można, bo \(x\neq 0\)).
\[
144=27x^3
\]
3. Dzielimy przez 27.
\[
x^3=\frac{144}{27}=\frac{16}{3}
\]
4. Pierwiastek sześcienny.
\[
\mathbf{x=\sqrt[3]{\frac{16}{3}}}
\]
Komentarz: tu naturalnie wyszło równanie wielomianowe stopnia 3.
12 Liczby \(2x-3,\ 10,\ \frac{50}{x-1}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (dla \(x\neq 1\)). Oblicz \(x\).
🔍 Rozwiązanie
1. Warunek: \(10^2=(2x-3)\cdot\frac{50}{x-1}\).
\[
100=\frac{50(2x-3)}{x-1}
\]
2. Mnożymy przez \(x-1\) (można, bo \(x\neq 1\)).
\[
100(x-1)=50(2x-3)
\]
3. Rozwijamy i upraszczamy.
\[
100x-100=100x-150
\]
4. Sprzeczność? Sprawdźmy: po skróceniu \(100x\) zostaje \(-100=-150\), czyli fałsz.
Odp.: brak rozwiązań.
Komentarz: to typowy przykład, gdzie po poprawnym przekształceniu wychodzi sprzeczność — czyli taki \(x\) nie istnieje.
