Suma ciągu geometrycznego
1) Wzór na n-ty wyraz
\[
a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}
\]
Komentarz: w zadaniach z sumą często potrzebujesz też policzyć \(a_n\), więc ten wzór pojawia się bardzo często.
2) Suma \(S_n\) dla \(q\neq 1\)
\[
S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad (q\neq 1)
\]
Komentarz: ten wzór działa dla każdego \(q\neq 1\) (także ujemnego). Uważaj tylko na znaki w mianowniku.
3) Suma \(S_n\) dla \(q=1\)
\[
S_n=n\cdot a_1\qquad (q=1)
\]
Komentarz: gdy \(q=1\), ciąg jest stały: \(a_1=a_2=\cdots\).
Zadania
1 Oblicz \(S_6\) dla ciągu geometrycznego: \(a_1=3\), \(q=2\).
🔍 Rozwiązanie
1. Ponieważ \(q\neq 1\), używamy \(S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\).
\[
S_6=3\cdot\frac{1-2^6}{1-2}
\]
2. Liczymy \(2^6=64\) i upraszczamy.
\[
S_6=3\cdot\frac{1-64}{-1}=3\cdot63=\mathbf{189}
\]
2 Oblicz \(S_8\) dla ciągu geometrycznego: \(a_1=256\), \(q=\frac12\).
🔍 Rozwiązanie
1. Podstawiamy do wzoru na sumę.
\[
S_8=256\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^8}{1-\frac12}
\]
2. Liczymy \(\left(\frac12\right)^8=\frac1{256}\).
\[
S_8=256\cdot\frac{1-\frac1{256}}{\frac12}
\]
3. Uproszczenie: \(1-\frac1{256}=\frac{255}{256}\).
\[
S_8=256\cdot\frac{\frac{255}{256}}{\frac12}
\]
4. Skracamy 256 i dzielenie przez \(\frac12\) zamieniamy na mnożenie przez 2.
\[
S_8=255\cdot2=\mathbf{510}
\]
3 Oblicz \(S_7\) dla ciągu geometrycznego: \(a_1=-2\), \(q=-3\).
🔍 Rozwiązanie
1. Stosujemy wzór na sumę (\(q\neq 1\)).
\[
S_7=-2\cdot\frac{1-(-3)^7}{1-(-3)}
\]
2. Liczymy \((-3)^7=-2187\) oraz \(1-(-3)=4\).
\[
S_7=-2\cdot\frac{1-(-2187)}{4}
=-2\cdot\frac{2188}{4}
\]
3. Uproszczenie.
\[
S_7=-2\cdot547=\mathbf{-1094}
\]
4 Policz sumę: \(5+10+20+\ldots+640\).
🔍 Rozwiązanie
1. To ciąg geometryczny: \(a_1=5\), \(q=2\).
2. Najpierw ustalamy, ile jest wyrazów. Ostatni wyraz to \(a_n=640\).
\[
a_n=a_1q^{n-1}\Rightarrow 640=5\cdot2^{n-1}
\]
\[
2^{n-1}=128=2^7 \Rightarrow n-1=7 \Rightarrow n=8
\]
3. Liczymy \(S_8\).
\[
S_8=5\cdot\frac{1-2^8}{1-2}
=5\cdot\frac{1-256}{-1}
=5\cdot255=\mathbf{1275}
\]
5 W ciągu geometrycznym \(a_1=6\), \(q=3\). Oblicz \(S_n\) oraz \(S_5\).
🔍 Rozwiązanie
1. Zapis ogólny sumy:
\[
S_n=6\cdot\frac{1-3^n}{1-3}
\]
2. Uporządkowanie znaków: \(1-3=-2\).
\[
S_n=6\cdot\frac{1-3^n}{-2}=3\,(3^n-1)
\]
3. Liczymy \(S_5\):
\[
S_5=3(3^5-1)=3(243-1)=3\cdot242=\mathbf{726}
\]
6 W ciągu geometrycznym \(a_1=4\), \(q=\frac12\). Dla jakiego \(n\) mamy \(S_n=\frac{31}{4}\)?
🔍 Rozwiązanie
1. Piszemy wzór na sumę.
\[
S_n=4\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12}
\]
2. Ponieważ \(1-\frac12=\frac12\), dzielenie przez \(\frac12\) to mnożenie przez 2.
\[
S_n=8\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)
\]
3. Podstawiamy i rozwiązujemy równanie.
\[
8\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)=\frac{31}{4}
\Rightarrow 1-\left(\frac12\right)^n=\frac{31}{32}
\]
\[
\left(\frac12\right)^n=\frac{1}{32}=2^{-5}
\Rightarrow n=5
\]
Odp.: \(\mathbf{n=5}\).
7 W ciągu geometrycznym \(q=2\) oraz \(S_5=93\). Oblicz \(a_1\).
🔍 Rozwiązanie
1. Zapisujemy \(S_5\) ze wzoru.
\[
S_5=a_1\cdot\frac{1-2^5}{1-2}
=a_1\cdot\frac{1-32}{-1}=31a_1
\]
2. Podstawiamy \(S_5=93\).
\[
31a_1=93 \Rightarrow a_1=3
\]
Odp.: \(\mathbf{a_1=3}\).
8 W ciągu geometrycznym \(a_1=2\) oraz \(S_4=30\). Wyznacz \(q\).
🔍 Rozwiązanie
1. Zapisujemy równanie z sumy.
\[
30=2\cdot\frac{1-q^4}{1-q}
\Rightarrow 15=\frac{1-q^4}{1-q}
\]
2. Korzystamy z tożsamości \(\frac{1-q^4}{1-q}=1+q+q^2+q^3\).
\[
1+q+q^2+q^3=15
\Rightarrow q^3+q^2+q-14=0
\]
3. Sprawdzamy pierwiastek całkowity \(q=2\).
\[
8+4+2-14=0
\]
4. Pozostałe pierwiastki są zespolone, więc w \(\mathbb{R}\) mamy jedno rozwiązanie.
Odp.: \(\mathbf{q=2}\).
9 W ciągu geometrycznym \(a_1=x\), \(q=3\). Dla jakiego \(x\) zachodzi \(S_6=1092\)?
🔍 Rozwiązanie
1. Zapisujemy sumę i liczymy \(3^6\).
\[
S_6=x\cdot\frac{1-3^6}{1-3}=x\cdot\frac{1-729}{-2}=x\cdot\frac{728}{2}=364x
\]
2. Podstawiamy \(S_6=1092\).
\[
364x=1092 \Rightarrow x=3
\]
Odp.: \(\mathbf{x=3}\).
10 W ciągu geometrycznym \(a_1=6\), \(q\neq 1\). Wyznacz \(q\), jeśli \(S_3=42\).
🔍 Rozwiązanie
1. Najprościej: \(S_3=a_1+a_2+a_3=6+6q+6q^2\).
\[
6+6q+6q^2=42
\]
2. Dzielimy przez 6.
\[
1+q+q^2=7
\Rightarrow q^2+q-6=0
\]
3. Rozkład na czynniki.
\[
(q+3)(q-2)=0
\Rightarrow q=2\ \text{lub}\ q=-3
\]
Odp.: \(\mathbf{q=2\ \text{lub}\ q=-3}\).
11 Dany jest ciąg geometryczny o \(a_1=2\) i \(q=x\). Wyznacz \(x\), jeśli \(S_4=2\).
🔍 Rozwiązanie
1. Liczymy sumę: \(S_4=2+2x+2x^2+2x^3\).
\[
2+2x+2x^2+2x^3=2
\]
2. Uporządkowanie.
\[
x+x^2+x^3=0
\Rightarrow x(1+x+x^2)=0
\]
3. Równanie kwadratowe \(1+x+x^2=0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Odp.: \(\mathbf{x=0}\) (w \(\mathbb{R}\)).
12 W ciągu geometrycznym \(a_1=3\), \(q\neq 1\). Wyznacz \(q\), jeśli \(\frac{S_4}{S_2}=13\).
🔍 Rozwiązanie
1. Zapisujemy sumy:
\[
S_2=3(1+q),\qquad S_4=3(1+q+q^2+q^3)
\]
2. Liczymy iloraz i skracamy 3.
\[
\frac{S_4}{S_2}=\frac{1+q+q^2+q^3}{1+q}=13
\]
3. Wykorzystujemy: \(1+q+q^2+q^3=(1+q)(1+q^2)\) i skracamy \(1+q\) (czyli \(q\neq -1\)).
\[
1+q^2=13 \Rightarrow q^2=12 \Rightarrow q=\pm 2\sqrt{3}
\]
Odp.: \(\mathbf{q=\pm 2\sqrt{3}}\).
