Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
Jeśli mamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, to najwygodniej zapisywać je tak:
1) Zapis trzech kolejnych wyrazów
\[ a-r,\quad a,\quad a+r \]
gdzie \(a\) to środkowy wyraz, a \(r\) to różnica.
2) Własność „środkowy jest średnią”
\[ a=\frac{(a-r)+(a+r)}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 2a=(a-r)+(a+r) \]
W praktyce (dla liczb \(x, y, z\) w tej kolejności):
\[ y=\frac{x+z}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 2y=x+z \]
3) Trik na sumę i iloczyn
- Suma trzech kolejnych: \((a-r)+a+(a+r)=3a\).
- Iloczyn skrajnych: \((a-r)(a+r)=a^2-r^2\).
Zadania
Kategoria I: Wyznacz liczby (suma i/lub iloczyn)
1 Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego mają sumę \(45\). Wyznacz te wyrazy, jeśli różnica \(r=4\).
Suma: \(3a=45 \Rightarrow a=15\).
Wyrazy: \(\mathbf{11,\ 15,\ 19}\).
🔍 Rozwiązanie
Zapis: \(a-4, a, a+4\).Suma: \(3a=45 \Rightarrow a=15\).
Wyrazy: \(\mathbf{11,\ 15,\ 19}\).
2 Trzy kolejne wyrazy mają sumę \(24\) i różnicę \(r=-3\). Znajdź te wyrazy.
\(3a=24 \Rightarrow a=8\).
Wyrazy: \(\mathbf{11,\ 8,\ 5}\).
🔍 Rozwiązanie
Zapis: \(a+3, a, a-3\) (bo \(r=-3\)).\(3a=24 \Rightarrow a=8\).
Wyrazy: \(\mathbf{11,\ 8,\ 5}\).
3 Trzy kolejne wyrazy mają sumę \(18\), a najmniejszy z nich wynosi \(2\). Wyznacz te wyrazy.
Najmniejszy to \(a-r=2 \Rightarrow 6-r=2 \Rightarrow r=4\).
Wyrazy: \(\mathbf{2,\ 6,\ 10}\).
🔍 Rozwiązanie
Niech wyrazy: \(a-r,\ a,\ a+r\). Suma: \(3a=18\Rightarrow a=6\).Najmniejszy to \(a-r=2 \Rightarrow 6-r=2 \Rightarrow r=4\).
Wyrazy: \(\mathbf{2,\ 6,\ 10}\).
4 Trzy kolejne wyrazy mają sumę \(30\) oraz iloczyn skrajnych wyrazów równy \(84\). Wyznacz te wyrazy.
Skrajne: \((a-r)(a+r)=a^2-r^2=84\).
\(10^2-r^2=84 \Rightarrow 100-r^2=84 \Rightarrow r^2=16 \Rightarrow r=4\).
Wyrazy: \(\mathbf{6,\ 10,\ 14}\) (dla \(r=-4\) byłby ten sam zestaw w odwrotnej kolejności).
🔍 Rozwiązanie
Suma: \(3a=30 \Rightarrow a=10\).Skrajne: \((a-r)(a+r)=a^2-r^2=84\).
\(10^2-r^2=84 \Rightarrow 100-r^2=84 \Rightarrow r^2=16 \Rightarrow r=4\).
Wyrazy: \(\mathbf{6,\ 10,\ 14}\) (dla \(r=-4\) byłby ten sam zestaw w odwrotnej kolejności).
5 Trzy kolejne wyrazy mają sumę \(9\) i iloczyn wszystkich trzech wynosi \(-70\). Wyznacz te wyrazy.
Iloczyn: \((3-r)\cdot 3 \cdot (3+r)=3(9-r^2)=-70\).
\(27-3r^2=-70 \Rightarrow -3r^2=-97 \Rightarrow r^2=\frac{97}{3}\).
Brak rozwiązania w liczbach wymiernych, ale w rzeczywistych: \[ r=\sqrt{\frac{97}{3}} \] Wyrazy: \(\mathbf{3-\sqrt{97/3},\ 3,\ 3+\sqrt{97/3}}\).
🔍 Rozwiązanie
\(3a=9 \Rightarrow a=3\). Wyrazy: \(3-r,\ 3,\ 3+r\).Iloczyn: \((3-r)\cdot 3 \cdot (3+r)=3(9-r^2)=-70\).
\(27-3r^2=-70 \Rightarrow -3r^2=-97 \Rightarrow r^2=\frac{97}{3}\).
Brak rozwiązania w liczbach wymiernych, ale w rzeczywistych: \[ r=\sqrt{\frac{97}{3}} \] Wyrazy: \(\mathbf{3-\sqrt{97/3},\ 3,\ 3+\sqrt{97/3}}\).
Kategoria II: Zadania „środkowy wyraz jest średnią sąsiednich wyrazów”
6 Liczby \(13,\ x,\ 25\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
🔍 Rozwiązanie
\[ x=\frac{13+25}{2}=\frac{38}{2}=\mathbf{19} \]
7 Liczby \(4x-5,\ 2x+1,\ 3x+8\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \(x\).
\(4x+2=7x+3 \Rightarrow -1=3x \Rightarrow \mathbf{x=-\frac13}\).
🔍 Rozwiązanie
Warunek: \(2(2x+1)=(4x-5)+(3x+8)\).\(4x+2=7x+3 \Rightarrow -1=3x \Rightarrow \mathbf{x=-\frac13}\).
8 Liczby \(\sqrt{3},\ x,\ 5\sqrt{3}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
🔍 Rozwiązanie
\[ x=\frac{\sqrt3+5\sqrt3}{2}=\frac{6\sqrt3}{2}=\mathbf{3\sqrt3} \]
9 Liczby \(x-2,\ 7,\ 2x+1\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \(x\).
\(14=3x-1 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow \mathbf{x=5}\).
🔍 Rozwiązanie
\(2\cdot 7=(x-2)+(2x+1)\).\(14=3x-1 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow \mathbf{x=5}\).
Kategoria III: Zapis \(a-r, a, a+r\) – równania z warunków
10 Trzy kolejne wyrazy mają postać \(a-r,\ a,\ a+r\). Wiadomo, że \((a-r)+(a+r)=26\) oraz \(a=17\). Oblicz \(r\) i wyrazy.
Brak rozwiązań – warunki się wykluczają.
🔍 Rozwiązanie
\((a-r)+(a+r)=2a=26 \Rightarrow a=13\). Sprzeczność z \(a=17\).Brak rozwiązań – warunki się wykluczają.
11 Trzy kolejne wyrazy mają sumę \(36\), a różnica między największym a najmniejszym wynosi \(12\). Wyznacz wyrazy.
Największy - najmniejszy: \((a+r)-(a-r)=2r=12 \Rightarrow r=6\).
Wyrazy: \(\mathbf{6,\ 12,\ 18}\).
🔍 Rozwiązanie
Suma: \(3a=36\Rightarrow a=12\).Największy - najmniejszy: \((a+r)-(a-r)=2r=12 \Rightarrow r=6\).
Wyrazy: \(\mathbf{6,\ 12,\ 18}\).
12 Trzy kolejne wyrazy mają sumę \(21\), a najmniejszy jest trzykrotnie mniejszy od największego (czyli największy jest 3 razy większy). Wyznacz wyrazy.
Warunek: \(7+r=3(7-r)\).
\(7+r=21-3r \Rightarrow 4r=14 \Rightarrow r=\frac{7}{2}\).
Wyrazy: \(\mathbf{\frac{7}{2},\ 7,\ \frac{21}{2}}\).
🔍 Rozwiązanie
\(3a=21\Rightarrow a=7\). Skrajne: \(7-r\) i \(7+r\).Warunek: \(7+r=3(7-r)\).
\(7+r=21-3r \Rightarrow 4r=14 \Rightarrow r=\frac{7}{2}\).
Wyrazy: \(\mathbf{\frac{7}{2},\ 7,\ \frac{21}{2}}\).
Kategoria IV: Zadania z parametrem – sprawdź, dla jakiego parametru są kolejne
13 Dla jakiej wartości \(p\) liczby \(2p-1,\ 5,\ p+11\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
\(10=3p+10 \Rightarrow \mathbf{p=0}\).
Liczby: \(-1,\ 5,\ 11\).
🔍 Rozwiązanie
\(2\cdot 5=(2p-1)+(p+11)\).\(10=3p+10 \Rightarrow \mathbf{p=0}\).
Liczby: \(-1,\ 5,\ 11\).
14 Dla jakiej wartości \(m\) liczby \(m,\ 3m-2,\ 8m-10\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
\(6m-4=9m-10 \Rightarrow 6=3m \Rightarrow \mathbf{m=2}\).
Liczby: \(2,\ 4,\ 6\).
🔍 Rozwiązanie
Warunek: \(2(3m-2)=m+(8m-10)\).\(6m-4=9m-10 \Rightarrow 6=3m \Rightarrow \mathbf{m=2}\).
Liczby: \(2,\ 4,\ 6\).
15 Dla jakiego \(t\) liczby \(t^2-4,\ 2t,\ t^2+8\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
\(4t=2t^2+4 \Rightarrow 2t^2-4t+4=0 \Rightarrow t^2-2t+2=0\).
\(\Delta=4-8=-4<0\) – brak rozwiązań rzeczywistych (w \(\mathbb{C}\): \(t=1\pm i\)).
🔍 Rozwiązanie
\(2\cdot 2t=(t^2-4)+(t^2+8)\).\(4t=2t^2+4 \Rightarrow 2t^2-4t+4=0 \Rightarrow t^2-2t+2=0\).
\(\Delta=4-8=-4<0\) – brak rozwiązań rzeczywistych (w \(\mathbb{C}\): \(t=1\pm i\)).
Kategoria V: Zadania na szybkie własności
16 W ciągu arytmetycznym zachodzi \(a_8+a_9+a_{10}=96\). Oblicz \(a_9\).
\(a_8+a_9+a_{10}=3a_9=96 \Rightarrow \mathbf{a_9=32}\).
🔍 Rozwiązanie
Trzy kolejne wyrazy mają sumę \(3\) razy środkowy, więc:\(a_8+a_9+a_{10}=3a_9=96 \Rightarrow \mathbf{a_9=32}\).
17 Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego to liczby całkowite dodatnie. Wiadomo, że ich suma wynosi \(51\), a największy z nich jest równy \(20\). Wyznacz te liczby.
Największy: \(17+r=20 \Rightarrow r=3\).
Liczby: \(\mathbf{14,\ 17,\ 20}\).
🔍 Rozwiązanie
\(3a=51 \Rightarrow a=17\). Skrajne: \(17-r,\ 17,\ 17+r\).Największy: \(17+r=20 \Rightarrow r=3\).
Liczby: \(\mathbf{14,\ 17,\ 20}\).
18 Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego mają iloczyn skrajnych równy \(45\) oraz środkowy wyraz równy \(9\). Wyznacz te wyrazy.
\(r^2=36 \Rightarrow r=6\).
Wyrazy: \(\mathbf{3,\ 9,\ 15}\).
🔍 Rozwiązanie
\(a=9\). Skrajne: \((9-r)(9+r)=81-r^2=45\).\(r^2=36 \Rightarrow r=6\).
Wyrazy: \(\mathbf{3,\ 9,\ 15}\).
19 Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego są dodatnie i spełniają warunek: najmniejszy + największy = \(34\), a środkowy = \(18\). Czy to możliwe?
Jeśli \(a=18\), to \(2a=36\), a nie \(34\).
Nie jest to możliwe – warunki sprzeczne.
🔍 Rozwiązanie
Dla trzech kolejnych: najmniejszy + największy = \(2a\).Jeśli \(a=18\), to \(2a=36\), a nie \(34\).
Nie jest to możliwe – warunki sprzeczne.
Kategoria VI: Zadania tekstowe (ciąg arytmetyczny „w tle”)
20 Trzy kolejne dni uczeń uczył się matematyki coraz dłużej, każdego dnia o tę samą liczbę minut. W drugim dniu uczył się 50 minut, a łącznie przez te trzy dni 150 minut. Ile minut uczył się w pierwszym i trzecim dniu?
Suma: \(3a=150 \Rightarrow a=50\) (zgodnie).
Skrajne: \(50-r\) i \(50+r\). Dają: \(\mathbf{50-r,\ 50,\ 50+r}\).
Ponieważ nie podano różnicy, można wyrazić odpowiedź parametrem \(r\):
\(\mathbf{\text{1 dzień: }50-r,\ \text{3 dzień: }50+r}\). (Aby były dodatnie: \(0
🔍 Rozwiązanie
To trzy kolejne wyrazy: \(a-r,\ a,\ a+r\), gdzie \(a=50\).Suma: \(3a=150 \Rightarrow a=50\) (zgodnie).
Skrajne: \(50-r\) i \(50+r\). Dają: \(\mathbf{50-r,\ 50,\ 50+r}\).
Ponieważ nie podano różnicy, można wyrazić odpowiedź parametrem \(r\):
\(\mathbf{\text{1 dzień: }50-r,\ \text{3 dzień: }50+r}\). (Aby były dodatnie: \(0
21 W trzech kolejnych tygodniach liczba przeczytanych stron książki tworzyła ciąg arytmetyczny. W pierwszym tygodniu przeczytano 120 stron, a w trzecim 156 stron. Ile stron przeczytano w drugim tygodniu?
🔍 Rozwiązanie
Środkowy to średnia: \(x=\frac{120+156}{2}=\frac{276}{2}=\mathbf{138}\).Kategoria VII: Krótkie „sprawdź / oblicz”
22 Sprawdź, czy liczby \(26,\ 19,\ 12\) mogą być trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
🔍 Rozwiązanie
Różnice: \(19-26=-7\) oraz \(12-19=-7\). Są równe, więc tak, to trzy kolejne wyrazy.
23 Sprawdź, czy liczby \(3,\ 8,\ 14\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
🔍 Rozwiązanie
\(8-3=5\), a \(14-8=6\). Różnice różne, więc nie.
24 Wyznacz trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, jeśli środkowy jest równy \(-4\), a różnica \(r=7\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a-r=-4-7=-11,\quad a=-4,\quad a+r=-4+7=3 \] Wyrazy: \(\mathbf{-11,\ -4,\ 3}\).
25 Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego są równe \(x-5,\ 2x,\ 5x+1\). Wyznacz \(x\) i te wyrazy.
\(4x=6x-4 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow \mathbf{x=2}\).
Wyrazy: \(\mathbf{-3,\ 4,\ 11}\).
🔍 Rozwiązanie
Warunek: \(2\cdot 2x=(x-5)+(5x+1)\).\(4x=6x-4 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow \mathbf{x=2}\).
Wyrazy: \(\mathbf{-3,\ 4,\ 11}\).
26 Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego są dodatnie. Wiadomo, że ich suma wynosi \(27\), a iloczyn skrajnych wynosi \(72\). Wyznacz te wyrazy.
\((9-r)(9+r)=81-r^2=72 \Rightarrow r^2=9 \Rightarrow r=3\).
Wyrazy: \(\mathbf{6,\ 9,\ 12}\).
🔍 Rozwiązanie
\(3a=27\Rightarrow a=9\). Skrajne: \(9-r\) i \(9+r\).\((9-r)(9+r)=81-r^2=72 \Rightarrow r^2=9 \Rightarrow r=3\).
Wyrazy: \(\mathbf{6,\ 9,\ 12}\).
