Suma ciągu arytmetycznego
W zadaniach o sumie ciągu arytmetycznego prawie zawsze działamy tym samym schematem:
Wzory, które musisz znać
\[ a_n=a_1+(n-1)r \]
\[ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \]
\[ S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n \]
Wskazówka: jeśli znasz \(a_1, r, n\), to najpierw licz \(a_n\), a potem dopiero \(S_n\).
Zadania
Kategoria I: Oblicz sumę – znasz \(a_1\), \(r\), \(n\)
1 Oblicz \(S_{18}\) dla ciągu: \(a_1=4\), \(r=3\).
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Najpierw policz ostatni potrzebny wyraz \(a_{18}\).
Używamy wzoru: \(\ a_n=a_1+(n-1)r\).
\[
a_{18}=4+(18-1)\cdot 3=4+17\cdot3=4+51=55
\]
Używamy wzoru: \(\ a_n=a_1+(n-1)r\).
Krok 2. Teraz podstaw do wzoru na sumę:
\(\ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\).
\[
S_{18}=\frac{4+55}{2}\cdot18=\frac{59}{2}\cdot18=59\cdot9=\mathbf{531}
\]
Dlaczego to działa? Dodajemy pierwszy i ostatni wyraz, bierzemy średnią i mnożymy przez liczbę wyrazów.
2 Oblicz \(S_{25}\) dla ciągu: \(a_1=30\), \(r=-2\).
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Liczymy \(a_{25}\) (ostatni wyraz w sumie).
\[
a_{25}=30+(25-1)(-2)=30+24\cdot(-2)=30-48=-18
\]
Krok 2. Podstawiamy do wzoru na sumę.
\[
S_{25}=\frac{30+(-18)}{2}\cdot25=\frac{12}{2}\cdot25=6\cdot25=\mathbf{150}
\]
Uwaga: ujemna różnica \(r\) oznacza, że wyrazy maleją – to normalne, suma nadal liczy się tak samo.
3 Oblicz sumę 40 pierwszych wyrazów ciągu: \(7,11,15,\ldots\).
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Odczytaj dane z ciągu: \(a_1=7\), różnica \(r=4\), liczba wyrazów \(n=40\).
Krok 2. Oblicz \(a_{40}\).
\[
a_{40}=7+(40-1)\cdot4=7+39\cdot4=7+156=163
\]
Krok 3. Oblicz sumę \(S_{40}\).
\[
S_{40}=\frac{7+163}{2}\cdot40=\frac{170}{2}\cdot40=85\cdot40=\mathbf{3400}
\]
4 Oblicz sumę 12 pierwszych wyrazów ciągu: \(-5,-1,3,\ldots\).
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozpoznaj dane: \(a_1=-5\), \(r=4\), \(n=12\).
Krok 2. Liczymy \(a_{12}\).
\[
a_{12}=-5+(12-1)\cdot4=-5+44=39
\]
Krok 3. Podstawiamy do wzoru na sumę.
\[
S_{12}=\frac{-5+39}{2}\cdot12=\frac{34}{2}\cdot12=17\cdot12=\mathbf{204}
\]
Kategoria II: Sumy „w szeregu” (liczby w pewnym rytmie)
5 Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych nieparzystych.
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisz ciąg: \(11,13,15,\ldots,99\). To ciąg arytmetyczny z \(a_1=11\), \(r=2\), \(a_n=99\).
Krok 2. Policz liczbę wyrazów \(n\), czyli ile jest takich liczb.
\[
99=11+(n-1)\cdot2 \Rightarrow 88=2n-2 \Rightarrow 90=2n \Rightarrow n=45
\]
Krok 3. Użyj wzoru na sumę.
\[
S_{45}=\frac{11+99}{2}\cdot45=\frac{110}{2}\cdot45=55\cdot45=\mathbf{2475}
\]
Wskazówka: w takich zadaniach najtrudniejsze jest zwykle policzenie \(n\).
6 Oblicz sumę liczb: \(3+6+9+\cdots+150\).
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. To ciąg: \(a_1=3\), \(r=3\), ostatni wyraz \(a_n=150\).
Krok 2. Najpierw policz, ile jest wyrazów (\(n\)).
\[
150=3+(n-1)\cdot3 \Rightarrow 147=3n-3 \Rightarrow 150=3n \Rightarrow n=50
\]
Krok 3. Teraz suma.
\[
S_{50}=\frac{3+150}{2}\cdot50=\frac{153}{2}\cdot50=153\cdot25=\mathbf{3825}
\]
7 Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 300, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2.
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Takie liczby to: \(2,7,12,\ldots\). Za każdym razem rosną o 5, więc \(r=5\).
Krok 2. Największa liczba mniejsza od 300 z resztą 2 to \(297\) (bo \(297=5\cdot59+2\)).
Czyli \(a_1=2\), \(a_n=297\), \(r=5\).
Krok 3. Liczymy liczbę wyrazów \(n\).
\[
297=2+(n-1)\cdot5 \Rightarrow 295=5n-5 \Rightarrow 300=5n \Rightarrow n=60
\]
Krok 4. Liczymy sumę.
\[
S_{60}=\frac{2+297}{2}\cdot60=\frac{299}{2}\cdot60=299\cdot30=\mathbf{8970}
\]
Kategoria III: Wyznacz \(r\) lub \(a_1\) z warunku na sumę
8 W ciągu arytmetycznym \(a_1=7\) oraz \(S_{15}=645\). Oblicz \(r\).
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Użyj wzoru na sumę w wersji z \(a_1,r,n\):
\[
S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n
\]
Krok 2. Podstaw dane: \(n=15\), \(a_1=7\), \(S_{15}=645\).
\[
645=\frac{2\cdot7+(15-1)r}{2}\cdot15=\frac{14+14r}{2}\cdot15
\]
Krok 3. Uprość równanie.
\[
\frac{14+14r}{2}=7(1+r)
\quad\Rightarrow\quad
645=7(1+r)\cdot15=105(1+r)
\]
Krok 4. Dokończ obliczenia.
\[
1+r=\frac{645}{105}=\frac{43}{7}
\Rightarrow
r=\frac{43}{7}-1=\mathbf{\frac{36}{7}}
\]
9 W ciągu arytmetycznym \(r=5\) oraz \(S_{12}=462\). Oblicz \(a_1\).
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisz wzór na sumę w wersji z \(a_1\):
\[
S_{12}=\frac{2a_1+(12-1)r}{2}\cdot12
\]
Krok 2. Podstaw \(r=5\), \(S_{12}=462\).
\[
462=\frac{2a_1+11\cdot5}{2}\cdot12=\frac{2a_1+55}{2}\cdot12
\]
Krok 3. Uprość – najwygodniej skrócić \(12\) z \(\div2\).
\[
\frac{12}{2}=6
\Rightarrow
462=6(2a_1+55)
\]
Krok 4. Rozwiąż równanie.
\[
462=12a_1+330 \Rightarrow 12a_1=132 \Rightarrow \mathbf{a_1=11}
\]
Kategoria IV: Masz wzór na \(S_n\) – wyznacz \(a_n\)
10 Dane jest \(S_n=2n^2+3n\). Oblicz \(a_n\).
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Użyj zależności: \(\ a_n=S_n-S_{n-1}\).
\[
a_n=(2n^2+3n)-\big(2(n-1)^2+3(n-1)\big)
\]
Krok 2. Rozwiń \((n-1)^2\) i uporządkuj.
\[
2(n-1)^2=2(n^2-2n+1)=2n^2-4n+2,\quad 3(n-1)=3n-3
\]
\[
S_{n-1}=2n^2-4n+2+3n-3=2n^2-n-1
\]
Krok 3. Odejmij.
\[
a_n=(2n^2+3n)-(2n^2-n-1)=\mathbf{4n+1}
\]
Wniosek: \(a_n\) ma postać \(an+b\), więc to (z definicji) ciąg arytmetyczny.
Kategoria V: Zadania tekstowe (suma jako „razem”)
11 Uczeń odkłada pieniądze: w pierwszym tygodniu 30 zł, a w każdym kolejnym o 5 zł więcej. Ile odłoży przez 16 tygodni?
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. To ciąg arytmetyczny: \(a_1=30\), \(r=5\), \(n=16\).
Krok 2. Policzymy \(a_{16}\), czyli ile odłoży w 16. tygodniu.
\[
a_{16}=30+(16-1)\cdot5=30+75=105
\]
Krok 3. Teraz suma wszystkich tygodni.
\[
S_{16}=\frac{30+105}{2}\cdot16=\frac{135}{2}\cdot16=135\cdot8=\mathbf{1080\text{ zł}}
\]
12 Kino ma 12 rzędów. W pierwszym rzędzie jest 18 miejsc, a w każdym następnym o 2 miejsca więcej. Ile jest wszystkich miejsc?
🔍 Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Liczba miejsc w rzędach tworzy ciąg arytmetyczny: \(a_1=18\), \(r=2\), \(n=12\).
Krok 2. Liczymy liczbę miejsc w ostatnim rzędzie (\(a_{12}\)).
\[
a_{12}=18+(12-1)\cdot2=18+22=40
\]
Krok 3. Sumujemy miejsca ze wszystkich rzędów.
\[
S_{12}=\frac{18+40}{2}\cdot12=\frac{58}{2}\cdot12=29\cdot12=\mathbf{348}
\]
