Rok przed maturą 2023 I etap
Rok przed maturą KONKURS UMCS Odsłon: 725

rok_przed_maturą_2023_i_etap-20088ea6-4c6d-4f73-b2d1-62a2bee7f166

KONKURS Z MATEMATYKI ROK PRZED MATURĄ 2023 (UMCS Lublin)

I ETAP

Czas pracy 90 minut

27.03.2023
  1. Podczas konkursu, tak jak na maturze, możesz korzystać z z zzz karty wybranych wzorów, kalkulatora oraz linijki.
  2. Sprawdź, czy arkusz konkursowy zawiera 12 stron (łącznie z brudnopisem). Ewentualny brak zgłoś członkowi zespołu nadzorującego.
  3. Rozwiązania i odpowiedzi zapisz w miejscu na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
  4. W rozwiązaniach zadań rachunkowych przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. Pamiętaj o podawaniu jednostek.
  5. Pisz czytelnie. Używaj długopisu bądź pióra z czarnym lub niebieskim tuszem (atramentem).
  6. Nie używaj korektora, błędne zapisy wyraźnie przekreśl.
  7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
  8. Przy każdym zadaniu zaznaczona jest liczba punktów, które można otrzymać za prawidłowe rozwiązanie tego zadania. W przypadku zadań testowych maksymalna liczba punktów odpowiada liczbie prawidłowych odpowiedzi.
Życzymy powodzenia!
Test Zad. 21 Zad. 22 Zad. 23 Zad. 24 Zad. 25 Zad. 26 Suma
Test Zad. 21 Zad. 22 Zad. 23 Zad. 24 Zad. 25 Zad. 26 Suma | Test | Zad. 21 | Zad. 22 | Zad. 23 | Zad. 24 | Zad. 25 | Zad. 26 | Suma | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie
55 punktów
Konkurs realizowany w ramach projektu „Ucz się z MaFil-ą 3" na Wydziale Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie, dofinansowanego ze środków budżetu państwa w programie: Społeczna odpowiedzialność nauki: Popularyzacja nauki i promocja sportu

Zadanie 1 (0-3)

Oceń prawdziwość zdania. Wybierz P, jeśli jest prawdziwe lub F, jeśli jest fałszywe.
Wykresem funkcji y = f ( x ) y = f ( x ) y=f(x)y=f(x)y=f(x) jest parabola o wierzchołku w punkcie W = ( 3 , 4 ) W = ( 3 , 4 ) W=(3,4)W=(3,4)W=(3,4) i miejscach zerowych x = 0 x = 0 x=0x=0x=0 oraz x = 6 x = 6 x=6x=6x=6. Wówczas
Zbiorem rozwiązań nierówności f ( x − 2 ) ⩾ 0 f ( x − 2 ) ⩾ 0 f(x-2) >= 0f(x-2) \geqslant 0f(x−2)⩾0 jest zbiór [ 2 , 8 ] [ 2 , 8 ] [2,8][2,8][2,8] P F
Zbiorem rozwiązań nierówności f ( x ) + 2 ⩽ 0 f ( x ) + 2 ⩽ 0 f(x)+2 <= 0f(x)+2 \leqslant 0f(x)+2⩽0 jest zbiór [ 2 , 8 ] [ 2 , 8 ] [2,8][2,8][2,8] P F
Zbiorem rozwiązań nierówności f ( x ) ⩽ 0 f ( x ) ⩽ 0 f(x) <= 0f(x) \leqslant 0f(x)⩽0 jest zbiór [ 0 , 6 ] [ 0 , 6 ] [0,6][0,6][0,6] P F
Zbiorem rozwiązań nierówności f(x-2) >= 0 jest zbiór [2,8] P F Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)+2 <= 0 jest zbiór [2,8] P F Zbiorem rozwiązań nierówności f(x) <= 0 jest zbiór [0,6] P F| Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x-2) \geqslant 0\) jest zbiór \([2,8]\) | P | F | | :--- | :--- | :--- | | Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)+2 \leqslant 0\) jest zbiór \([2,8]\) | P | F | | Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \leqslant 0\) jest zbiór \([0,6]\) | P | F |

Zadanie 2 (0-4)

Oceń prawdziwość zdania. Wybierz P, jeśli jest prawdziwe lub F, jeśli jest fałszywe.
Fragment wykresu funkcji f ( x ) = x − [ x ] , f : R → R f ( x ) = x − [ x ] , f : R → R f(x)=x-[x],f:RrarrRf(x)=x-[x], f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}f(x)=x−[x],f:R→R jest przedstawiony na rysunku poniżej
Wówczas
Zbiorem wartości funkcji f f fff jest zbiór R R R\mathbb{R}R P F
Funkcja f f fff jest okresowa P F
Funkcja f f fff jest parzysta P F
Funkcja f f fff jest monotoniczna P F
Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór R P F Funkcja f jest okresowa P F Funkcja f jest parzysta P F Funkcja f jest monotoniczna P F| Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór \(\mathbb{R}\) | P | F | | :--- | :---: | :---: | | Funkcja \(f\) jest okresowa | P | F | | Funkcja \(f\) jest parzysta | P | F | | Funkcja \(f\) jest monotoniczna | P | F |

Zadanie 3 (0-1)

Równość x 2 + 2 y 2 = 0 x 2 + 2 y 2 = 0 x^(2)+2y^(2)=0x^{2}+2 y^{2}=0x2+2y2=0, jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy:
A. x = 0 x = 0 x=0x=0x=0 i y = 0 y = 0 y=0y=0y=0,
B. x = 2 y x = 2 y x=2yx=2 yx=2y,
C. x = − 2 y x = − 2 y x=-sqrt2yx=-\sqrt{2} yx=−2y,
D. x = 0 x = 0 x=0x=0x=0 i y ∈ R y ∈ R y inRy \in \mathbb{R}y∈R.

Zadanie 4 (0-1)

Wielomian W ( x ) = 2 x 5 − 7 x 4 − 55 x 3 + 35 x 2 + 53 x − 28 W ( x ) = 2 x 5 − 7 x 4 − 55 x 3 + 35 x 2 + 53 x − 28 W(x)=2x^(5)-7x^(4)-55x^(3)+35x^(2)+53 x-28W(x)=2 x^{5}-7 x^{4}-55 x^{3}+35 x^{2}+53 x-28W(x)=2x5−7x4−55x3+35x2+53x−28 nie jest podzielny przez
A. x − 1 x − 1 x-1x-1x−1,
B. 2 x + 2 2 x + 2 2x+22 x+22x+2,
C. x + 4 x + 4 x+4x+4x+4
D. x + 2 x + 2 x+2x+2x+2.

Zadanie 5 (0-1)

Figura złożona z punktów ( x , y ) ( x , y ) (x,y)(x, y)(x,y), których współrzędne spełniają układ nierówności
{ 1 < 2 x + 4 − 2 < x − y < 1 1 < 2 x + 4 − 2 < x − y < 1 {[1 < 2x+4],[-2 < x-y < 1]:}\left\{\begin{array}{c} 1<2 x+4 \\ -2<x-y<1 \end{array}\right.{1<2x+4−2<x−y<1
jest:
A. kwadratem,
B. równoległobokiem,
C. rombem,
D. żadną z z zzz tych figur.

Zadanie 6 (0-3)

Połącz wzór ogólny ciągu a n , n ∈ N + a n , n ∈ N + a_(n),n inN_(+)a_{n}, n \in \mathbb{N}_{+}an,n∈N+z sumą jego czterech początkowych wyrazów S 4 S 4 S_(4)S_{4}S4 :
  1. a n = n − 3 a n = n − 3 a_(n)=n-3a_{n}=n-3an=n−3
    A. S 4 = 0 S 4 = 0 S_(4)=0S_{4}=0S4=0
    D. S 4 = 1 S 4 = 1 S_(4)=1S_{4}=1S4=1
  2. a n = n 2 − n + 1 a n = n 2 − n + 1 a_(n)=n^(2)-n+1a_{n}=n^{2}-n+1an=n2−n+1
    B. S 4 = 24 S 4 = 24 S_(4)=24S_{4}=24S4=24
    E. S 4 = 13 S 4 = 13 S_(4)=13S_{4}=13S4=13
  3. a n = ( − 1 ) n ⋅ 2 a n = ( − 1 ) n ⋅ 2 a_(n)=(-1)^(n)*2a_{n}=(-1)^{n} \cdot 2an=(−1)n⋅2
    C. S 4 = − 2 S 4 = − 2 S_(4)=-2S_{4}=-2S4=−2
    F. S 4 = 2 S 4 = 2 S_(4)=2S_{4}=2S4=2
    Odpowiedź:
    1.- qquad\qquad 2. qquad\qquad
    qquad\qquad

Zadanie 7 (0-1)

Suma odwrotności pierwiastków równania 3 x 2 + 3 x − 6 = 0 3 x 2 + 3 x − 6 = 0 3x^(2)+3x-6=03 x^{2}+3 x-6=03x2+3x−6=0 wynosi:
A. 3 2 3 2 (3)/(2)\frac{3}{2}32,
B. 1 1 2 1 1 2 1(1)/(2)1 \frac{1}{2}112,
C. 1 2 1 2 (1)/(2)\frac{1}{2}12,
D. 3 .

Zadanie 8 (0-3)

Oceń prawdziwość zdania. Wybierz P, jeśli jest prawdziwe lub F, jeśli jest fałszywe.
Równanie x 4 − 10 x 2 + a = 0 x 4 − 10 x 2 + a = 0 x^(4)-10x^(2)+a=0x^{4}-10 x^{2}+a=0x4−10x2+a=0 z parametrem a ∈ R a ∈ R a inRa \in \mathbb{R}a∈R może:
nie mieć pierwiastków P F
mieć dokładnie jeden pierwiastek P F
mieć dokładnie dwa różne pierwiastki P F
nie mieć pierwiastków P F mieć dokładnie jeden pierwiastek P F mieć dokładnie dwa różne pierwiastki P F| nie mieć pierwiastków | P | F | | :--- | :---: | :---: | | mieć dokładnie jeden pierwiastek | P | F | | mieć dokładnie dwa różne pierwiastki | P | F |

Zadanie 9 (0-2)

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych wynosi 200, zatem suma tych liczb może wynosić:
A. 12,
B. 24 ,
C. -24 ,
D. 4 .

Zadanie 10 (0-1)

Zbiorem rozwiązań nierówności 3 − x > x − 1 3 − x > x − 1 sqrt(3-x) > x-1\sqrt{3-x}>x-13−x>x−1 jest zbiór
A. ( − 1 , 2 ) ( − 1 , 2 ) (-1,2)(-1,2)(−1,2),
B. ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) (1,2)(1,2)(1,2),
C. ( − ∞ , 2 ) ( − ∞ , 2 ) (-oo,2)(-\infty, 2)(−∞,2),
D. ( − 1 , 3 ] ( − 1 , 3 ] (-1,3](-1,3](−1,3].

Zadanie 11 (0-1)

Niech a = sin ⁡ 167 ! 2004 π a = sin ⁡ 167 ! 2004 π a=sin((167!)/(2004)pi)a=\sin \frac{167!}{2004} \pia=sin⁡167!2004π i b = cos ⁡ 167 ! 2004 π b = cos ⁡ 167 ! 2004 π b=cos((167!)/(2004)pi)b=\cos \frac{167!}{2004} \pib=cos⁡167!2004π. Wówczas
A. a > b a > b a > ba>ba>b,
B. a < b a < b a < ba<ba<b,
C. a = b a = b a=ba=ba=b,
D. a ⩾ b a ⩾ b a >= ba \geqslant ba⩾b.

Zadanie 12 (0-1)

Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 1 , wówczas suma trzynastu początkowych wyrazów tego ciągu jest:
A. liczbą dodatnią,
B. liczbą ujemną,
C. równa zero,
D. nie można jej wy- znaczyć.

Zadanie 13 (0-1)

Dla jakich wartości parametru p p ppp granica ciągu
a n = 2 + 5 + 8 + … + ( 3 n − 1 ) 2 p n 2 + 4 n − 1 a n = 2 + 5 + 8 + … + ( 3 n − 1 ) 2 p n 2 + 4 n − 1 a_(n)=(2+5+8+dots+(3n-1))/(2pn^(2)+4n-1)a_{n}=\frac{2+5+8+\ldots+(3 n-1)}{2 p n^{2}+4 n-1}an=2+5+8+…+(3n−1)2pn2+4n−1
wynosi 2 π 2 π 2pi2 \pi2π.
A. p = 1 p = 1 p=1p=1p=1,
B. p = 8 p = 8 p=8p=8p=8,
C. p = 3 4 π p = 3 4 π p=(3)/(4pi)p=\frac{3}{4 \pi}p=34π,
D. p = 3 8 π p = 3 8 π p=(3)/(8pi)p=\frac{3}{8 \pi}p=38π.

Zadanie 14 (0-1)

Największy wyraz ciągu o wyrazie ogólnym a n = 2 − n 2 + 8 n − 12 , n ∈ N + a n = 2 − n 2 + 8 n − 12 , n ∈ N + a_(n)=2^(-n^(2)+8n-12),n inN_(+)a_{n}=2^{-n^{2}+8 n-12}, n \in \mathbb{N}_{+}an=2−n2+8n−12,n∈N+jest równy:
A. a 4 = 2 4 a 4 = 2 4 a_(4)=2^(4)a_{4}=2^{4}a4=24,
B. a 5 = 8 a 5 = 8 a_(5)=8a_{5}=8a5=8,
C. a 1 = 2 − 5 a 1 = 2 − 5 a_(1)=2^(-5)a_{1}=2^{-5}a1=2−5,
D. a 2 = 1 a 2 = 1 a_(2)=1a_{2}=1a2=1.

Zadanie 15 (0-1)

Dany jest okrąg o równaniu ( x − 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 ( x − 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 (x-1)^(2)+(y+1)^(2)=16(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=16(x−1)2+(y+1)2=16. Pole kwadratu opisanego na tym okręgu wynosi:
A. 64 ,
B. 1024,
C. 256 ,
D. 16 .

Zadanie 16 (0-1)

Wartość wyrażenia
100 2 + 1 2 log ⁡ 81 4 − 3 log 3 3 ⁡ 8 100 2 + 1 2 log ⁡ 81 4 − 3 log 3 3 ⁡ 8 root(4)(100^(2+(1)/(2)log 81))-3^(log_(3sqrt3)8)\sqrt[4]{100^{2+\frac{1}{2} \log 81}}-3^{\log _{3 \sqrt{3}} 8}1002+12log⁡814−3log33⁡8
jest równa
A. -16 ,
B. 0 ,
C. 26 ,
D. 1 .

Zadanie 17 (0-1)

Wartość wyrażenia
6 − 3 3 ⋅ ( 24 + 12 3 ) 1 2 6 − 3 3 ⋅ ( 24 + 12 3 ) 1 2 sqrt(6-3sqrt3)*(24+12sqrt3)^((1)/(2))\sqrt{6-3 \sqrt{3}} \cdot(24+12 \sqrt{3})^{\frac{1}{2}}6−33⋅(24+123)12
jest równa:
A. 6 ,
B. 0 ,
C. 6 3 6 3 6sqrt36 \sqrt{3}63,
D. 18 .

Zadanie 18 (0-1)

Dane są liczby a = 4 a = 4 a=4a=4a=4 i b = 2 b = 2 b=2b=2b=2. Odwrotność różnicy kwadratu podwojonej liczby a a aaa i kwadratu liczby b b bbb wynosi:
A. 1 60 1 60 (1)/(60)\frac{1}{60}160,
B. 1 69 1 69 (1)/(69)\frac{1}{69}169,
C. 1 32 1 32 (1)/(32)\frac{1}{32}132,
D. 1 6 1 6 (1)/(6)\frac{1}{6}16.

Zadanie 19 (0-1)

Dane są dwie proste 2 x − 5 y − m = 0 2 x − 5 y − m = 0 2x-5y-m=02 x-5 y-m=02x−5y−m=0 i m x + y + c = 0 m x + y + c = 0 mx+y+c=0m x+y+c=0mx+y+c=0 i m ∈ R m ∈ R m inRm \in \mathbb{R}m∈R. Wiedząc, że proste te przecinają się w punkcie ( − 4 , − 3 ) ( − 4 , − 3 ) (-4,-3)(-4,-3)(−4,−3), można wyznaczyć wartość parametru c ∈ R c ∈ R c inRc \in \mathbb{R}c∈R i wynosi ona:
A. c = − 31 c = − 31 c=-31c=-31c=−31,
B. c = 31 c = 31 c=31c=31c=31,
C. c = − 25 c = − 25 c=-25c=-25c=−25,
D. c = 25 c = 25 c=25c=25c=25.

Zadanie 20 (0-1)

Jeśli sin ⁡ x = 3 5 i x ∈ ( 0 , π 2 ) sin ⁡ x = 3 5 i x ∈ 0 , π 2 sin x=(3)/(5)ix in(0,(pi)/(2))\sin x=\frac{3}{5} \mathrm{i} x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)sin⁡x=35ix∈(0,π2), wówczas
A. tg x = 3 4 tg x = 3 4 tg x=(3)/(4)\operatorname{tg} x=\frac{3}{4}tgx=34,
B. cos ⁡ x = − 4 5 cos ⁡ x = − 4 5 cos x=-(4)/(5)\cos x=-\frac{4}{5}cos⁡x=−45,
C. tg x = 4 3 tg x = 4 3 tg x=(4)/(3)\operatorname{tg} x=\frac{4}{3}tgx=43,
D. cos ⁡ x = 16 25 cos ⁡ x = 16 25 cos x=(16)/(25)\cos x=\frac{16}{25}cos⁡x=1625.

Zadanie 21 (0-3)

Dane są liczby m m mmm i n n nnn spełniajacce warunki 2023 m = 4 2023 m = 4 2023^(m)=42023^{m}=42023m=4 oraz 2 n = 23 2 n = 23 2^(n)=232^{n}=232n=23. Wykaż, że
m ⋅ n = log 2023 ⁡ 529 m ⋅ n = log 2023 ⁡ 529 m*n=log_(2023)529m \cdot n=\log _{2023} 529m⋅n=log2023⁡529

Zadanie 22 (0-3)

Wykaż, prawdziwość wzoru:
cos ⁡ 3 α = 4 cos 3 ⁡ α − 3 cos ⁡ α cos ⁡ 3 α = 4 cos 3 ⁡ α − 3 cos ⁡ α cos 3alpha=4cos^(3)alpha-3cos alpha\cos 3 \alpha=4 \cos ^{3} \alpha-3 \cos \alphacos⁡3α=4cos3⁡α−3cos⁡α

Zadanie 23 (0-5)

Samolot lecący z punktu A A AAA do C C CCC na początku swojej drogi wykonał błąd przy wyznaczaniu właściwego kierunku lotu. Błąd ten został przedstawiony na rysunku. Następnie po przeleceniu 80 km , skorygował kierunek i kolejne 150 km poruszał się zgodnie z wyznaczoną trasą do docelowego punktu C C CCC. Przyjmując, że prędkość samolotu była stała i wynosiła 400 km / h 400 km / h 400km//h400 \mathrm{~km} / \mathrm{h}400 km/h oblicz z dokładnością do sekundy o ile dłużej trwał lot z punktu A A AAA do C C CCC z powodu błędu pilota.
Uwaga: Przy obliczeniach drogi, zastosuj przybliżenie do wartości całkowitej.

Zadanie 24 (0-4)

Proste o równaniach 2 x − y − 3 m + 2 = 0 2 x − y − 3 m + 2 = 0 2x-y-3m+2=02 x-y-3 m+2=02x−y−3m+2=0 i x + 2 y + m − 9 = 0 x + 2 y + m − 9 = 0 x+2y+m-9=0x+2 y+m-9=0x+2y+m−9=0 przecinają się w punkcie P P PPP. Dla jakich wartości parametru m ∈ R m ∈ R m inRm \in \mathbb{R}m∈R punkt P P PPP należy do prostej o równaniu 3 x − 2 y − 5 = 0 3 x − 2 y − 5 = 0 3x-2y-5=03 x-2 y-5=03x−2y−5=0.

Zadanie 25 (0-5)

Dla x ∈ R ∖ { 0 } x ∈ R ∖ { 0 } x inR\\{0}x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}x∈R∖{0} wyznacz liczbę rozwiązań równania | x 3 + 2 x 2 − 3 x | = m x x 3 + 2 x 2 − 3 x = m x |x^(3)+2x^(2)-3x|=mx\left|x^{3}+2 x^{2}-3 x\right|=m x|x3+2x2−3x|=mx w zależności od wartości parametru m m mmm. Następnie napisz i narysuj wykres funkcji, która odpowiednim wartościom parametru m m mmm przyporządkowuje liczbę rozwiązań powyższego równania.

Zadanie 26 (0-5)

Dany jest półokrąg o promieniu r r rrr, który podzielono w stosunku 4 : 8 4 : 8 4:84: 84:8. Z punktu podziału opuszczono prostą prostopadłą do średnicy, dzieląc ją na odcinki o długościach x x xxx i y y yyy. Oblicz długości odcinków x x xxx i y y yyy.

Related Articles

Rok przed maturą 2022 I etap

Rok przed maturą 2024 I etap

Rok przed maturą 2024 II etap

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA