Rok przed maturą 2022 I etap
Rok przed maturą KONKURS UMCS Odsłon: 515

rok_przed_maturą_2022_i_etap-e96cbdec-7664-4b96-9597-835c363283c4

KONKURS Z MATEMATYKI ROK PRZED MATURĄ 2022 (UMCS Lublin)

I ETAP

Czas pracy 90 minut

28.03.2022
  1. Podczas konkursu, tak jak na maturze, możesz korzystać z z zzz karty wybranych wzorów, kalkulatora oraz linijki.
  2. Sprawdź, czy arkusz konkursowy zawiera 10 stron (łącznie z brudnopisem). Ewentualny brak zgłoś członkowi zespołu nadzorującego.
  3. Rozwiązania i odpowiedzi zapisz w miejscu na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
  4. W rozwiązaniach zadań rachunkowych przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. Pamiętaj o podawaniu jednostek.
  5. Pisz czytelnie. Używaj długopisu bądź pióra z czarnym lub niebieskim tuszem (atramentem).
  6. Nie używaj korektora, błędne zapisy wyraźnie przekreśl.
  7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
  8. Przy każdym zadaniu zaznaczona jest liczba punktów, które można otrzymać za prawidłowe rozwiązanie tego zadania. W przypadku zadań testowych maksymalna liczba punktów odpowiada liczbie prawidłowych odpowiedzi.

Życzymy powodzenia!

Test Zad. 21 Zad. 22 Zad. 23 Zad. 24 Zad. 25 Suma
Test Zad. 21 Zad. 22 Zad. 23 Zad. 24 Zad. 25 Suma | Test | Zad. 21 | Zad. 22 | Zad. 23 | Zad. 24 | Zad. 25 | Suma | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | | | | | | | | | | | | | | | |
Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie
50 punktów
Konkurs realizowany w ramach projektu „Ucz się z MaFiI-ą 2" na Wydziale Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie, dofinansowanego ze środków budżetu państwa w programie: Społeczna odpowiedzialność nauki: Popularyzacja nauki i promocja sportu

Zadanie 1 (0-2)

Suma wszystkich pierwiastków równania x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 = 0 x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 = 0 x^(3)-2x^(2)-25 x+50=0x^{3}-2 x^{2}-25 x+50=0x3−2x2−25x+50=0 jest:
A. liczbą wymierną,
B. liczbą pierwszą,
C. liczbą ujemną,
D. równa zero.

Zadanie 2 (0-1)

Rozwiązaniem nierówności | 2 x − 3 | < 4 | 2 x − 3 | < 4 |2x-3| < 4|2 x-3|<4|2x−3|<4 jest zbiór:
A. ( − 1 , 7 ) ( − 1 , 7 ) (-1,7)(-1,7)(−1,7),
B. ( − 1 2 , 3 1 2 ) − 1 2 , 3 1 2 (-(1)/(2),3(1)/(2))\left(-\frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}\right)(−12,312),
C. ( − 3 1 2 , 1 2 ) − 3 1 2 , 1 2 (-3(1)/(2),(1)/(2))\left(-3 \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)(−312,12),
D. ( − 7 , 1 ) ( − 7 , 1 ) (-7,1)(-7,1)(−7,1).

Zadanie 3 (0-1)

Wielomian w ( x ) = ( x 4 − 4 x 2 + 2 ) 2022 w ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 2 2022 w(x)=(x^(4)-4x^(2)+2)^(2022)w(x)=\left(x^{4}-4 x^{2}+2\right)^{2022}w(x)=(x4−4x2+2)2022, po wykonaniu potegowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci w ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 w ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 w(x)=a_(n)x^(n)+a_(n-1)x^(n-1)+dots+a_(2)x^(2)+a_(1)x+a_(0)w(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}w(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0. Wtedy suma a n + a n − 1 + … + a 2 + a 1 + a 0 a n + a n − 1 + … + a 2 + a 1 + a 0 a_(n)+a_(n-1)+dots+a_(2)+a_(1)+a_(0)a_{n}+a_{n-1}+\ldots+a_{2}+a_{1}+a_{0}an+an−1+…+a2+a1+a0 wynosi:
A. 1,
B. -1 ,
C. 2 2022 2 2022 2^(2022)2^{2022}22022,
D. − 2 2022 − 2 2022 -2^(2022)-2^{2022}−22022.

Zadanie 4 (0-1)

Granica lim n → ∞ 1 + 2 + … + n ( 1 2 n − 1 ) ( n + 1 ) lim n → ∞   1 + 2 + … + n 1 2 n − 1 ( n + 1 ) lim_(n rarr oo)(1+2+dots+n)/(((1)/(2)n-1)(n+1))\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+\ldots+n}{\left(\frac{1}{2} n-1\right)(n+1)}limn→∞1+2+…+n(12n−1)(n+1) jest równa:
A. 2 ,
B. 4 ,
C. 1,
D. 1 2 1 2 (1)/(2)\frac{1}{2}12.

Zadanie 5 (0-1)

Wartością wyrażenia ( ( 2 − 1 ) 2 − ( 2 + 1 ) 2 ) 4 ( 2 − 1 ) 2 − ( 2 + 1 ) 2 4 ((sqrt2-1)^(2)-(sqrt2+1)^(2))^(4)\left((\sqrt{2}-1)^{2}-(\sqrt{2}+1)^{2}\right)^{4}((2−1)2−(2+1)2)4 jest:
A. 2 10 2 10 2^(10)2^{10}210,
B. − 2 10 − 2 10 -2^(10)-2^{10}−210,
C. 16 ,
D. -16 .

Zadanie 6 (0-1)

Jabłka i gruszki kosztują tyle samo. Jeżeli jabłka zdrożeją o 6 % 6 % 6%6 \%6%, a gruszki o 10 % 10 % 10%10 \%10%, to koszyk zawierający 4 kg jabłek i 4 kg gruszek zdrożeje:
A. o 8 % 8 % 8%8 \%8%,
B. o 16 % 16 % 16%16 \%16%,
C. o 48 % 48 % 48%48 \%48%,
D. o 4 % 4 % 4%4 \%4%.

Zadanie 7 (0-1)

Zbiorem rozwiązań nierówności ( x + 1 ) 2 ⩽ 2 ( x + 1 ) 2 ⩽ 2 sqrt((x+1)^(2)) <= 2\sqrt{(x+1)^{2}} \leqslant 2(x+1)2⩽2 jest przedział:
A. ( − ∞ , 1 ] ( − ∞ , 1 ] (-oo,1](-\infty, 1](−∞,1],
B. [ − 3 , 1 ] [ − 3 , 1 ] [-3,1][-3,1][−3,1],
C. ( 0 , 1 ] ( 0 , 1 ] (0,1](0,1](0,1],
D. [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1].

Zadanie 8 (0-2)

Dany jest trójkąt A B C A B C ABCA B CABC o wierzchołkach A = ( 0 , 1 ) , B = ( 4 , 0 ) , C = ( 2 , 3 ) A = ( 0 , 1 ) , B = ( 4 , 0 ) , C = ( 2 , 3 ) A=(0,1),B=(4,0),C=(2,3)A=(0,1), B=(4,0), C=(2,3)A=(0,1),B=(4,0),C=(2,3), zatem środkowa poprowadzona z wierzchołka A A AAA ma równanie:
A. y = 1 6 x + 1 y = 1 6 x + 1 y=(1)/(6)x+1y=\frac{1}{6} x+1y=16x+1,
B. y = 1 6 x y = 1 6 x y=(1)/(6)xy=\frac{1}{6} xy=16x,
C. x − 6 y + 6 = 0 x − 6 y + 6 = 0 x-6y+6=0x-6 y+6=0x−6y+6=0,
D. y = − 1 6 x − 1 y = − 1 6 x − 1 y=-(1)/(6)x-1y=-\frac{1}{6} x-1y=−16x−1.

Zadanie 9 (0-1)

Równanie x | x | − | x | − 1 = 0 x | x | − | x | − 1 = 0 x|x|-|x|-1=0x|x|-|x|-1=0x|x|−|x|−1=0
A. ma dwa
B. ma jedno
rozwiązania,
rozwiązanie,
C. ma dwa ujemne
rozwiązania,
D. nie ma
rozwiązań.

Zadanie 10 (0-1)

Jeżeli x 1 x 1 x_(1)x_{1}x1 i x 2 x 2 x_(2)x_{2}x2 są pierwiastkami równania x 2 − x − m = 0 x 2 − x − m = 0 x^(2)-x-m=0x^{2}-x-m=0x2−x−m=0, to:
A. x 1 ⋅ x 2 ⩾ 1 4 x 1 ⋅ x 2 ⩾ 1 4 x_(1)*x_(2) >= (1)/(4)x_{1} \cdot x_{2} \geqslant \frac{1}{4}x1⋅x2⩾14,
B. x 1 ⋅ x 2 ⩽ 1 4 x 1 ⋅ x 2 ⩽ 1 4 x_(1)*x_(2) <= (1)/(4)x_{1} \cdot x_{2} \leqslant \frac{1}{4}x1⋅x2⩽14,
C. x 1 + x 2 < 1 x 1 + x 2 < 1 x_(1)+x_(2) < 1x_{1}+x_{2}<1x1+x2<1,
D. x 1 + x 2 > 1 x 1 + x 2 > 1 x_(1)+x_(2) > 1x_{1}+x_{2}>1x1+x2>1.

Zadanie 11 (0-1)

Równanie | x x − 1 | = m x x − 1 = m |(x)/(x-1)|=m\left|\frac{x}{x-1}\right|=m|xx−1|=m ma dokładnie jeden pierwiastek jedynie dla
A. m = 0 m = 0 m=0m=0m=0,
B. m = 0 m = 0 m=0m=0m=0 lub m = 2 m = 2 m=2m=2m=2,
C. m = 0 m = 0 m=0m=0m=0 lub m = 1 m = 1 m=1m=1m=1,
D. m = 1 m = 1 m=1m=1m=1.

Zadanie 12 (0-1)

Liczba sin ⁡ 112 , 5 ∘ ⋅ cos ⁡ 112 , 5 ∘ sin ⁡ 112 , 5 ∘ ⋅ cos ⁡ 112 , 5 ∘ sin 112,5^(@)*cos 112,5^(@)\sin 112,5^{\circ} \cdot \cos 112,5^{\circ}sin⁡112,5∘⋅cos⁡112,5∘ jest równa:
A. 2 4 2 4 (sqrt2)/(4)\frac{\sqrt{2}}{4}24,
B. − 2 2 − 2 2 -(sqrt2)/(2)-\frac{\sqrt{2}}{2}−22,
C. − 2 4 − 2 4 -(sqrt2)/(4)-\frac{\sqrt{2}}{4}−24,
D. 2 2 2 2 (sqrt2)/(2)\frac{\sqrt{2}}{2}22.

Zadanie 13 (0-1)

Dany jest ciąg a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 = a n + a n + 1 a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 = a n + a n + 1 a_(1)=1,a_(2)=2,a_(n+2)=a_(n)+a_(n+1)a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}a1=1,a2=2,an+2=an+an+1. Czwarty wyraz tego ciągu wynosi:
A. a 4 = 3 a 4 = 3 a_(4)=3a_{4}=3a4=3,
B. a 4 = 4 a 4 = 4 a_(4)=4a_{4}=4a4=4,
C. a 4 = 5 a 4 = 5 a_(4)=5a_{4}=5a4=5,
D. a 4 = 6 a 4 = 6 a_(4)=6a_{4}=6a4=6.

Zadanie 14 (0-2)

Z podanych nieskończonych ciągów, wybierz ciągi geometryczne:
A. 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , … 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , … 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,dots1,-1,1,-1,1,-1,1,-1, \ldots1,−1,1,−1,1,−1,1,−1,…
B. 3 , 1 , 1 3 , 1 3 , … 3 , 1 , 1 3 , 1 3 , … sqrt3,1,(1)/(sqrt3),(1)/(3),dots\sqrt{3}, 1, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{3}, \ldots3,1,13,13,…
C. − 3 , 1 , 1 , 3 , 5 , … − 3 , 1 , 1 , 3 , 5 , … -3,1,1,3,5,dots-3,1,1,3,5, \ldots−3,1,1,3,5,…
D. − 3 , 1 , − 3 , 1 , − 3 , … − 3 , 1 , − 3 , 1 , − 3 , … -3,1,-3,1,-3,dots-3,1,-3,1,-3, \ldots−3,1,−3,1,−3,…

Zadanie 15 (0-1)

Jeżeli a = log 5 ⁡ 3 a = log 5 ⁡ 3 a=log_(5)3a=\log _{5} 3a=log5⁡3 i b = log 5 ⁡ 7 b = log 5 ⁡ 7 b=log_(5)7b=\log _{5} 7b=log5⁡7, to zachodzi równość:
A. log 7 ⁡ 3 = a b log 7 ⁡ 3 = a b log_(7)3=(a)/(b)\log _{7} 3=\frac{a}{b}log7⁡3=ab,
B. log 7 ⁡ 3 = a − b log 7 ⁡ 3 = a − b log_(7)3=a-b\log _{7} 3=a-blog7⁡3=a−b,
C. log 49 ⁡ 9 = a 2 b 2 log 49 ⁡ 9 = a 2 b 2 log_(49)9=(a^(2))/(b^(2))\log _{49} 9=\frac{a^{2}}{b^{2}}log49⁡9=a2b2,
D. log 7 ⁡ 3 = a + b log 7 ⁡ 3 = a + b log_(7)3=a+b\log _{7} 3=a+blog7⁡3=a+b.

Zadanie 16 (0-2)

Dane są liczby: a = ( 1 2 ) 3 ⋅ 8 3 64 8 4 , b = log 3 3 ⁡ 1 27 , c = 5 3 ⋅ 25 3 a = 1 2 3 ⋅ 8 3 64 8 4 , b = log 3 3 ⁡ 1 27 , c = 5 3 ⋅ 25 3 a=(((1)/(2))^(3)*8^(3))/(root(4)(64^(8))),b=log_(3sqrt3)((1)/(27)),c=root(3)(5)*root(3)(25)a=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot 8^{3}}{\sqrt[4]{64^{8}}}, b=\log _{3 \sqrt{3}} \frac{1}{27}, c=\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}a=(12)3⋅836484,b=log33⁡127,c=53⋅253. Wtedy
A. a b c > 0 a b c > 0 abc > 0a b c>0abc>0,
B. a c > 0 a c > 0 ac > 0a c>0ac>0,
C. b c > 0 b c > 0 bc > 0b c>0bc>0,
D. a b c < 0 a b c < 0 abc < 0a b c<0abc<0.

Zadanie 17 (0-1)

Odległość między prostymi 4 x − 3 y − 6 = 0 4 x − 3 y − 6 = 0 4x-3y-6=04 x-3 y-6=04x−3y−6=0 i − 4 x + 3 y + 1 = 0 − 4 x + 3 y + 1 = 0 -4x+3y+1=0-4 x+3 y+1=0−4x+3y+1=0 wynosi:
A. 5 ,
B. 7 5 7 5 (7)/(sqrt5)\frac{7}{\sqrt{5}}75,
C. 0 ,
D. 1 .

Zadanie 18 (0-1)

Pole figury A = { ( x , y ) : x 2 + y 2 ⩽ 16 A = ( x , y ) : x 2 + y 2 ⩽ 16 A={(x,y):x^(2)+y^(2) <= 16:}A=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leqslant 16\right.A={(x,y):x2+y2⩽16 i x y > 0 } x y > 0 {:xy > 0}\left.x y>0\right\}xy>0} wynosi:
A. 4 π 4 π 4pi4 \pi4π,
B. 8 π 8 π 8pi8 \pi8π,
C. 16 π 16 π 16 pi16 \pi16π,
D. 2 π 2 π 2pi2 \pi2π.

Zadanie 19 (0-2)

Pole trójkąta ograniczonego osiami współrzędnych i prostą 3 x + 2 y − 6 = 0 3 x + 2 y − 6 = 0 3x+2y-6=03 x+2 y-6=03x+2y−6=0 wynosi:
A. więcej niż 4,
B. co najmniej 3,
C. mniej niż 4,
D. 4 .

Zadanie 20 (0-1)

Dziedziną funkcji f ( x ) = 2 x − 1 − x + 4 log ⁡ x f ( x ) = 2 x − 1 − x + 4 log ⁡ x f(x)=(sqrt(2x-1)-sqrt(x+4))/(log x)f(x)=\frac{\sqrt{2 x-1}-\sqrt{x+4}}{\log x}f(x)=2x−1−x+4log⁡x jest zbiór:
A. [ 1 2 , 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) 1 2 , 1 ∪ ( 1 , + ∞ ) [(1)/(2),1)uu(1,+oo)\left[\frac{1}{2}, 1\right) \cup(1,+\infty)[12,1)∪(1,+∞),
B. [ 1 2 , + ∞ ) 1 2 , + ∞ [(1)/(2),+oo)\left[\frac{1}{2},+\infty\right)[12,+∞),
C. ( 0 , + ∞ ) ( 0 , + ∞ ) (0,+oo)(0,+\infty)(0,+∞),
D. ( − 4 , + ∞ ) ( − 4 , + ∞ ) (-4,+oo)(-4,+\infty)(−4,+∞).

Zadanie 21 (0-4)

Oblicz wartość wyrażenia 4 − 4 x + x 2 1 + | x − 2 | 4 − 4 x + x 2 1 + | x − 2 | (sqrt(4-4x+x^(2)))/(1+|x-2|)\frac{\sqrt{4-4 x+x^{2}}}{1+|x-2|}4−4x+x21+|x−2| dla x = 4 5 − 1 x = 4 5 − 1 x=(4)/(sqrt5-1)x=\frac{4}{\sqrt{5}-1}x=45−1.
Wynik podaj w postaci liczby a + b 5 a + b 5 a+bsqrt5a+b \sqrt{5}a+b5, gdzie a ∈ R , b ∈ R a ∈ R , b ∈ R a inR,b inRa \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}a∈R,b∈R.

Zadanie 22 (0-5)

Jeden z kątów wewnętrznych rombu ma miarę 150 ∘ 150 ∘ 150^(@)150^{\circ}150∘. Wykaż, że długość boku rombu jest średnią geometryczną długości jego przekątnych.

Zadanie 23 (0-5)

Z trzech trójkątów równobocznych zbudowano trapez o polu równym 48 3 48 3 48sqrt348 \sqrt{3}483.
a) Oblicz obwód trapezu.
b) Uzasadnij, że na trapezie można opisać okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

Zadanie 24 (0-5)

Dana jest prosta l : x − 2 y + 2 = 0 l : x − 2 y + 2 = 0 l:x-2y+2=0l: x-2 y+2=0l:x−2y+2=0 oraz okrąg x 2 + y 2 − 6 x − 16 = 0 x 2 + y 2 − 6 x − 16 = 0 x^(2)+y^(2)-6x-16=0x^{2}+y^{2}-6 x-16=0x2+y2−6x−16=0.
a) Uzasadnij, że prosta l l lll nie jest osią symetrii tego okręgu.
b) Napisz równanie tej osi symetrii okręgu, która jest prostopadła do l l lll.

Zadanie 25 (0-6)

Drukarnia miała wydrukować 200 plakatów o konkursie "Rok przed maturą" w określonym terminie. Plan przewidywał, że każdego dnia wydrukowanych zostanie tyle samo plakatów. Plakaty wydrukowano dwa dni przed terminem, gdyż każdego dnia drukowano o 5 plakatów więcej niż było przewidziane w planie. Ile dni trwało drukowanie plakatów?

Related Articles

Rok przed maturą 2023 I etap

Rok przed maturą 2024 I etap

Rok przed maturą 2024 II etap

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA