Równania wymierne - poziom rozszerzony
Funkcje wymierne Odsłon: 161

RÓWNANIA WYMIERNE – POZIOM ROZSZERZONY

Poniżej masz zestaw zadań z równaniami wymiernymi. Każde równanie ma rozwijane rozwiązanie (akordeon). Zapisy są w MathJax, a wzory wyrównane do lewej.

Zadanie 1

Rozwiąż równanie:

\[ \frac{12}{1-9x^2}=\frac{1-3x}{1+3x}+\frac{1+3x}{3x-1} \]
Rozwiązanie

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac13,\frac13\right\} \]

Upraszczamy mianowniki:

\[ \frac{12}{(1-3x)(1+3x)}=\frac{1-3x}{1+3x}-\frac{1+3x}{1-3x} \]

Mnożymy obie strony przez \((1-3x)(1+3x)\):

\[ 12=(1-3x)^2-(1+3x)^2 \]

Rozwijamy:

\[ \begin{aligned} 12&=(1-6x+9x^2)-(1+6x+9x^2)\\ &=1-6x+9x^2-1-6x-9x^2\\ &=-12x \end{aligned} \]

Stąd:

\[ x=-1 \]

Sprawdzenie: \(-1\notin\left\{-\frac13,\frac13\right\}\), więc rozwiązanie jest poprawne.

Odpowiedź: \(x=-1\).

Zadanie 2

Rozwiąż równanie:

\[ 5+\frac{96}{x^2-16}=\frac{2x-1}{x+4}-\frac{3x-1}{4-x} \]
Rozwiązanie

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\{-4,4\} \]

Upraszczenie prawej strony (bo \(4-x=-(x-4)\)):

\[ 5+\frac{96}{(x-4)(x+4)}=\frac{2x-1}{x+4}+\frac{3x-1}{x-4} \]

Mnożymy obie strony przez \((x-4)(x+4)\):

\[ 5(x^2-16)+96=(2x-1)(x-4)+(3x-1)(x+4) \]

Rozwijamy:

\[ \begin{aligned} 5x^2-80+96&=(2x^2-8x-x+4)+(3x^2+12x-x-4)\\ 5x^2+16&=(2x^2-9x+4)+(3x^2+11x-4)\\ 5x^2+16&=5x^2+2x \end{aligned} \]

Stąd:

\[ 2x=16\quad\Rightarrow\quad x=8 \]

Sprawdzenie: \(8\notin\{-4,4\}\), więc rozwiązanie jest poprawne.

Odpowiedź: \(x=8\).

Zadanie 3

Rozwiąż równanie:

\[ \frac{14}{x^2-9}+\frac{4-x}{3+x}=\frac{7}{x+3}-\frac{1}{3-x} \]
Rozwiązanie

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\{-3,3\} \]

Rozpisujemy mianowniki:

\[ \frac{14}{(x-3)(x+3)}+\frac{4-x}{x+3}=\frac{7}{x+3}+\frac{1}{x-3} \]

Mnożymy obie strony przez \((x-3)(x+3)\):

\[ 14+(4-x)(x-3)=7(x-3)+(x+3) \]

Upraszczenie:

\[ \begin{aligned} 14+(4x-12-x^2+3x)&=7x-21+x+3\\ -x^2+7x+2&=8x-18 \end{aligned} \]

Przenosimy na jedną stronę:

\[ -x^2-x+20=0 \]

Liczymy deltę i rozwiązania:

\[ \Delta=(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot 20=1+80=81,\quad \sqrt{\Delta}=9 \]
\[ x_1=\frac{1-9}{2\cdot(-1)}=4,\qquad x_2=\frac{1+9}{2\cdot(-1)}=-5 \]

Sprawdzenie: \(4,-5\notin\{-3,3\}\), więc oba rozwiązania są poprawne.

Odpowiedź: \(x=4\) lub \(x=-5\).

Zadanie 4

Rozwiąż równanie:

\[ \frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1} \]
Rozwiązanie

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\} \]

Dodatkowo \(x^2+x+1\neq 0\) dla każdego \(x\in\mathbb{R}\), więc nie daje nowych wykluczeń.

Rozkłady:

\[ x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \]

Sprowadzamy do wspólnego mianownika \((x-1)(x+1)(x^2+x+1)\):

\[ \frac{30}{(x-1)(x+1)}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{(x-1)(x^2+x+1)} \]

Mnożymy obie strony przez \((x-1)(x+1)(x^2+x+1)\):

\[ 30(x^2+x+1)-13(x^2-1)=(7+18x)(x+1) \]

Rozwijamy:

\[ \begin{aligned} 30x^2+30x+30-13x^2+13&=7x+7+18x^2+18x\\ 17x^2+30x+43&=18x^2+25x+7 \end{aligned} \]

Przenosimy na jedną stronę:

\[ -x^2+5x+36=0 \]

Delta i pierwiastki:

\[ \Delta=5^2-4\cdot(-1)\cdot 36=25+144=169,\quad \sqrt{\Delta}=13 \]
\[ x_1=\frac{-5+13}{2\cdot(-1)}=-4,\qquad x_2=\frac{-5-13}{2\cdot(-1)}=9 \]

Sprawdzenie: \(-4,9\notin\{-1,1\}\), więc oba rozwiązania są poprawne.

Odpowiedź: \(x=-4\) lub \(x=9\).

Zadanie 5

Rozwiąż równanie:

\[ \frac{3}{x-1}-\frac{4x-1}{x+1}=\frac{x^2+5}{x^2-1}-5 \]
Rozwiązanie

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\} \]

Ujednolicamy mianowniki, bo \(x^2-1=(x-1)(x+1)\):

\[ \frac{3}{x-1}-\frac{4x-1}{x+1}=\frac{x^2+5}{(x-1)(x+1)}-5 \]

Mnożymy obie strony przez \((x-1)(x+1)\):

\[ 3(x+1)-(4x-1)(x-1)=x^2+5-5(x-1)(x+1) \]

Rozwijamy:

\[ \begin{aligned} 3x+3-(4x^2-4x-x+1)&=x^2+5-5(x^2-1)\\ 3x+3-4x^2+5x-1&=x^2+5-5x^2+5\\ -4x^2+8x+2&=-4x^2+10 \end{aligned} \]

Stąd:

\[ 8x=8\quad\Rightarrow\quad x=1 \]

Ale \(x=1\) jest wykluczone z dziedziny, więc równanie nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań.

Zadanie 6

Rozwiąż równanie:

\[ \frac{x+3}{x+2}-\frac{x-3}{x-2}=\frac{x^2}{x^2-4}+1 \]
Rozwiązanie

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,2\} \]

Ujednolicamy mianowniki (bo \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)):

\[ \frac{(x+3)(x-2)-(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2}{(x-2)(x+2)}+1 \]

Mnożymy przez \((x-2)(x+2)\):

\[ (x+3)(x-2)-(x-3)(x+2)=x^2+(x-2)(x+2) \]

Rozwijamy:

\[ \begin{aligned} (x^2-2x+3x-6)-(x^2+2x-3x-6)&=x^2+(x^2-4)\\ (x^2+x-6)-(x^2-x-6)&=2x^2-4\\ 2x&=2x^2-4 \end{aligned} \]

Przenosimy na jedną stronę:

\[ 2x^2-2x-4=0\quad\Rightarrow\quad x^2-x-2=0 \]

Rozwiązujemy trójmian:

\[ (x-2)(x+1)=0\quad\Rightarrow\quad x=2\ \ \text{lub}\ \ x=-1 \]

Sprawdzenie dziedziny: \(x=2\) jest wykluczone, a \(x=-1\) jest dozwolone.

Odpowiedź: \(x=-1\).

Zadanie 7

Rozwiąż równanie:

\[ \frac{5}{x^2-4}-\frac{8}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-3x+2}-\frac{20}{x^2-3x+2} \]
Rozwiązanie

Najpierw rozkłady:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2-1=(x-1)(x+1),\quad x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \]

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,-1,1,2\} \]

Prawa strona:

\[ \frac{2}{(x-1)(x-2)}-\frac{20}{(x-1)(x-2)}=\frac{-18}{(x-1)(x-2)} \]

Stąd równanie ma postać:

\[ \frac{5}{(x-2)(x+2)}-\frac{8}{(x-1)(x+1)}=\frac{-18}{(x-1)(x-2)} \]

Mnożymy obie strony przez \((x-2)(x-1)(x+1)(x+2)\):

\[ 5(x-1)(x+1)-8(x-2)(x+2)=-18(x+1)(x+2) \]

Rozwijamy:

\[ \begin{aligned} 5(x^2-1)-8(x^2-4)&=-18(x^2+3x+2)\\ 5x^2-5-8x^2+32&=-18x^2-54x-36\\ -3x^2+27&=-18x^2-54x-36 \end{aligned} \]

Przenosimy na jedną stronę i upraszczamy:

\[ \begin{aligned} -3x^2+18x^2+54x+27+36&=0\\ 15x^2+54x+63&=0\\ 5x^2+18x+21&=0 \end{aligned} \]

Delta:

\[ \Delta=18^2-4\cdot 5\cdot 21=324-420=-90<0 \]

Zatem równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź: brak rozwiązań w \(\mathbb{R}\).

Zadanie 8

Rozwiąż równanie:

\[ \frac{20+x}{2x-2}-\frac{9x^2+x+2}{6x^2-6}=\frac{5-3x}{x+1}-\frac{10-4x}{3x+3} \]
Rozwiązanie

Upraszczenia mianowników:

\[ 2x-2=2(x-1),\quad 6x^2-6=6(x^2-1)=6(x-1)(x+1),\quad 3x+3=3(x+1) \]

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\} \]

Przepisujemy równanie:

\[ \frac{20+x}{2(x-1)}-\frac{9x^2+x+2}{6(x-1)(x+1)}=\frac{5-3x}{x+1}-\frac{10-4x}{3(x+1)} \]

Mnożymy obie strony przez \(6(x-1)(x+1)\):

\[ 3(x+1)(20+x)-(9x^2+x+2)=6(x-1)(5-3x)-2(x-1)(10-4x) \]

Rozwijamy i porządkujemy (jak w rozwiązaniu z obrazka):

\[ \begin{aligned} 3(x^2+21x+20)-9x^2-x-2&=6(-3x^2+8x-5)-2(-4x^2+14x-10)\\ 3x^2+63x+60-9x^2-x-2&=-18x^2+48x-30+8x^2-28x+20\\ -6x^2+62x+58&=-10x^2+20x-10 \end{aligned} \]

Przenosimy na jedną stronę:

\[ 4x^2+42x+68=0\quad\Rightarrow\quad 2x^2+21x+34=0 \]

Delta:

\[ \Delta=21^2-4\cdot 2\cdot 34=441-272=169,\quad \sqrt{\Delta}=13 \]

Rozwiązania:

\[ x_1=\frac{-21-13}{2\cdot 2}=-\frac{34}{4}=-\frac{17}{2},\qquad x_2=\frac{-21+13}{2\cdot 2}=-\frac{8}{4}=-2 \]

Sprawdzenie: \(-\frac{17}{2}\) i \(-2\) nie są wykluczone z dziedziny.

Odpowiedź: \(x=-\frac{17}{2}\) lub \(x=-2\).

Zadanie 9

Rozwiąż równanie:

\[ \frac{1}{x^3-x^2+x-1}-\frac{4}{x+1}=\frac{x^2+10x}{x^4-1}-\frac{4x^2+21}{x^3+x^2+x+1} \]
Rozwiązanie

Rozkłady (ważne kroki):

\[ \begin{aligned} x^3-x^2+x-1&=(x-1)(x^2+1),\\ x^4-1&=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1),\\ x^3+x^2+x+1&=(x+1)(x^2+1) \end{aligned} \]

Założenie (dziedzina):

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\} \]

(Dodatkowo \(x^2+1\neq 0\) dla \(x\in\mathbb{R}\), więc nie wyklucza liczb rzeczywistych.)

Po sprowadzeniu do wspólnych mianowników (jak w rozwiązaniu z obrazka):

\[ \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}-\frac{4}{x+1} =\frac{x^2+10x}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}-\frac{4x^2+21}{(x+1)(x^2+1)} \]

Mnożymy obie strony przez \((x-1)(x+1)(x^2+1)\):

\[ x+1-4(x-1)(x^2+1)=x^2+10x-(4x^2+21)(x-1) \]

Rozwijamy (zgodnie z podanym rozwiązaniem):

\[ \begin{aligned} x+1-4(x^3+x-x^2-1)&=x^2+10x-(4x^3-4x^2+21x-21)\\ x+1-4x^3-4x+4x^2+4&=x^2+10x-4x^3+4x^2-21x+21\\ -4x^3+4x^2-3x+5&=-4x^3+5x^2-11x+21 \end{aligned} \]

Przenosimy na jedną stronę:

\[ -x^2+8x-16=0\quad\Rightarrow\quad x^2-8x+16=0 \]

Rozwiązujemy:

\[ (x-4)^2=0\quad\Rightarrow\quad x=4 \]

Sprawdzenie: \(4\notin\{-1,1\}\), więc rozwiązanie jest poprawne.

Odpowiedź: \(x=4\).

Related Articles

Funkcje wymierne - wprowadzenie

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych - poziom rozszerzony

Funkcje wymierne - ciekawe zadania - poziom rozszerzony

logo 2022 joomla footer