Funkcje wymierne - wprowadzenie
Funkcje wymierne Odsłon: 166

FUNKCJE WYMIERNE – wprowadzenie

Definicja

Definicja funkcji wymiernej

Funkcję postaci

\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]

gdzie \(P(x)\) i \(Q(x)\) są wielomianami oraz \(Q(x)\not\equiv 0\), nazywamy funkcją wymierną.

Dziedzina funkcji wymiernej to:

\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{x:\,Q(x)=0\}. \]
Uwaga: jeśli \(Q(x)\) jest stałą różną od zera, to \(f(x)\) jest po prostu wielomianem (bo \(\frac{P(x)}{c}\) też jest wielomianem).

Twierdzenia i ważne fakty

1) Miejsca zerowe i „zakazane” wartości

Jeśli \(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), to:

  • miejsca zerowe funkcji (o ile należą do dziedziny) spełniają \(P(x)=0\),
  • punkty wyłączone z dziedziny spełniają \(Q(x)=0\).
2) Skracanie ułamka a „dziura” w wykresie

Jeśli \(P(x)\) i \(Q(x)\) mają wspólny czynnik \((x-a)\), tzn.

\[ P(x)=(x-a)\,P_1(x),\qquad Q(x)=(x-a)\,Q_1(x), \]

to dla \(x\neq a\) zachodzi:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}. \]

Ale \(x=a\) nadal jest wyłączone z dziedziny (bo w oryginale \(Q(a)=0\)). Wykres ma wtedy zwykle usuwalną nieciągłość („dziurę”).

3) Równość funkcji wymiernych (na wspólnej dziedzinie)

Jeżeli dla wszystkich \(x\) z dziedziny (czyli tam, gdzie mianowniki nie są zerami) zachodzi:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{R(x)}{S(x)}, \]

to po przemnożeniu stronami (dla \(Q(x)\neq 0,\ S(x)\neq 0\)) mamy równoważnie:

\[ P(x)\,S(x)=R(x)\,Q(x). \]

To jest podstawowy „silnik” przekształceń i rozwiązywania równań wymiernych.

4) Działania na funkcjach wymiernych

Dla \(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) i \(g(x)=\dfrac{R(x)}{S(x)}\) (gdzie \(Q,S\neq 0\)):

\[ f(x)\pm g(x)=\frac{P(x)S(x)\pm R(x)Q(x)}{Q(x)S(x)}, \]
\[ f(x)\cdot g(x)=\frac{P(x)R(x)}{Q(x)S(x)}, \]
\[ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{P(x)S(x)}{Q(x)R(x)}\qquad \text{(dodatkowo: }R(x)\neq 0\text{).} \]

Przykłady (pozamieniane)

Poniżej kilka przykładów funkcji wymiernych (różne stopnie w liczniku i mianowniku):

Przykład 1
\[ f(x)=\frac{1}{x-2},\qquad D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\} \]
Przykład 2
\[ g(x)=\frac{2x-5}{x^3-x},\qquad D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\} \]
Przykład 3
\[ h(x)=\frac{x^2+3x-4}{x+1},\qquad D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1\} \]
Przykład 4 (wielomian jako iloraz)
\[ w(x)=x^2-4x+1=\frac{x^2-4x+1}{1},\qquad D_w=\mathbb{R} \]
W przykładzie 4 widać, że każdy wielomian można traktować jako funkcję wymierną (dzielimy przez \(1\)).

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1
Wyznacz dziedzinę

Wyznacz dziedzinę funkcji:

\[ f(x)=\frac{3x-1}{x^2-5x+6} \]
Rozwiązanie

Warunek: mianownik \(\neq 0\).

\[ x^2-5x+6\neq 0 \]

Rozkład na czynniki:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Zatem:

\[ x\neq 2,\qquad x\neq 3 \]
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2,3\}. \]
Zadanie 2
Skróć wyrażenie i podaj dziedzinę

Uprość i podaj dziedzinę:

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} \]
Rozwiązanie

Najpierw rozkładamy:

\[ x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-2x+1=(x-1)^2 \]

Dziedzina: \((x-1)^2\neq 0 \Rightarrow x\neq 1\).

\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\} \]

Dla \(x\neq 1\) skracamy \((x-1)\):

\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x+1}{x-1},\qquad x\neq 1 \]
Skrócenie nie „oddaje” punktu \(x=1\). Ten punkt i tak pozostaje wykluczony z dziedziny.
Zadanie 3
Miejsca zerowe i punkty wykluczone

Wyznacz miejsca zerowe oraz punkty wykluczone z dziedziny:

\[ f(x)=\frac{x^2-4x}{x^2-9} \]
Rozwiązanie

Dziedzina: \(x^2-9\neq 0\).

\[ x^2-9=(x-3)(x+3)\neq 0 \Rightarrow x\neq 3,\ x\neq -3 \]
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\} \]

Miejsca zerowe: licznik \(=0\) i punkt w dziedzinie.

\[ x^2-4x=x(x-4)=0 \Rightarrow x=0\ \text{lub}\ x=4 \]

Oba należą do dziedziny, więc:

\[ \text{Miejsca zerowe: }x=0,\ x=4. \]
Zadanie 4
Dodawanie ułamków algebraicznych

Uprość:

\[ \frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1} \]
Rozwiązanie

Wspólny mianownik: \((x-1)(x+1)\). Założenie: \(x\neq 1,\ x\neq -1\).

\[ \frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1} =\frac{2(x+1)+3(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
\[ =\frac{2x+2+3x-3}{x^2-1} =\frac{5x-1}{x^2-1},\qquad x\neq \pm 1 \]

Related Articles

Równania wymierne - poziom rozszerzony

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych - poziom rozszerzony

Funkcje wymierne - ciekawe zadania - poziom rozszerzony

logo 2022 joomla footer