Krok 1: Założenie i przekształcenie równania.

Niech \(\;m=\dfrac{2x^2+x}{2x^2+x+3}\;\). Mnożymy obie strony przez mianownik \((2x^2+x+3)\):

Po przekształceniu:

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

Redukujemy i otrzymujemy równanie kwadratowe:

Krok 2: Przypadki szczególne.

Gdy \(m=1\), powyższe równanie daje \(3=0\), więc \(m=1\) nie jest możliwe.

Dla \(m\neq 1\) rozważamy deltę i warunek \(\Delta\ge 0\).

Obliczamy deltę:

Upraszczenie:

Warunek na istnienie rozwiązań:

Krok 3: Wyznaczenie przedziału dla \(m\).

Liczymy deltę tej nierówności kwadratowej:

Wyznaczamy miejsca zerowe:

Krok 4: Zbiór wartości funkcji.

Z uwzględnieniem, że \(m\neq 1\), otrzymujemy:

\[ ZW=\left\langle -\frac{1}{23},\,1\right) \]

Rozwiązanie.

1. Cel analizy mianownika.

Im mniejszy mianownik \(x^2+4x+24\), tym większa wartość funkcji \(f(x)\) (licznik \(40\) jest stały).

2. Sprawdzenie, czy mianownik przyjmuje wartość \(0\).

Zatem mianownik nigdy nie jest równy \(0\), więc \(D_f=\mathbb{R}\).

3. Minimum mianownika.

To funkcja kwadratowa skierowana w górę, więc minimum jest w wierzchołku:

4. Wartość mianownika w wierzchołku:

5. Największa wartość funkcji:

Odpowiedź: największa wartość funkcji wynosi \(2\) i jest osiągana dla \(x=-2\).

Zastosujemy definicję funkcji malejącej.

Załóżmy, że \(x_1,x_2\in(-\infty,-1)\) oraz \(x_1<x_2\). Rozważmy różnicę:

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Analiza znaku:

• \(x_1-x_2<0\) (bo \(x_1<x_2\)),
• \(x_1x_2>1\) (iloczyn dwóch liczb ujemnych mniejszych niż \(-1\) jest dodatni i większy od \(1\)),
• \(2x_1x_2>0\).

Zatem \((x_1-x_2)(x_1x_2-1)<0\), a mianownik jest dodatni, więc:

czyli \(f(x_1)>f(x_2)\). Wniosek: funkcja jest malejąca w \((-\infty,-1)\).