Przekształcanie wyrażeń wymiernych - mix zadaniowy

Funkcje wymierne Odsłon: 177

Grupujemy wyrazy tak, aby powstał wspólny nawias:

W pierwszej grupie wyłączamy \(y\):

Otrzymujemy:

Teraz wyłączamy wspólny czynnik \((x+z)\):

Grupujemy wyrazy, aby wydobyć wspólny czynnik \((a-b)\):

Wyłączamy czynniki:

Całość:

Najpierw grupowanie:

Wyłączamy \(a^3\) w pierwszej grupie:

Wspólny czynnik \((a^2-1)\):

Rozkładamy czynniki:

Rozwijamy iloczyny:

Sumujemy:

Grupujemy wyrazy tak, aby wyłączyć \((a+b)\):

Ponieważ \(b^2-a^2=(b-a)(a+b)\), mamy:

Upraszczamy nawias:

Widzimy czynniki \((p-a)\) i \((p-b)\). Grupujemy tak, aby je wydobyć:

Rozwijamy \((a-b)(p-a)\):

W nawiasie sumujemy wyrazy z \(p\):

Otrzymujemy:

Wyłączamy \(a\):

Rozpisujemy:

Grupujemy wyrazy z \((p-a)\):

Upraszczenie nawiasu:

Kończymy rachunek:

Rozwijamy nawiasy:

Wydzielamy \((x-y)\). Zauważmy:

Wyłączamy \((x-y)\):

Dalszy rozkład prowadzi do postaci iloczynowej:

Korzystamy z klasycznej tożsamości (warto ją znać):

Stosujemy różnicę kwadratów:

Wyrażenie jest antysymetryczne – rozkłada się na iloczyn różnic:

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

Sprowadzamy do wspólnego mianownika \(abc(a+b+c)\). Otrzymujemy równoważnie:

Aby ułamek był równy zero, licznik musi być zerem:

Stąd co najmniej jeden czynnik jest równy zero, np. \(a+b=0\Rightarrow a=-b\). Zatem co najmniej dwie liczby są przeciwne.

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

Stosujemy tożsamość:

Wynika stąd:

Suma kwadratów jest równa 0 tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, więc \(a=b=c\).

Sprowadzamy licznik i mianownik do wspólnego mianownika \(x\):

Dzielimy ułamki:

Rozkładamy \(x^3+1\):

Skracamy \(x^2-x+1\):

Upraszczamy nawiasy:

Podstawiamy i skracamy:

Sprowadzamy do wspólnego mianownika \((x+y)^2x^2y^2\):

Dodajemy liczniki:

Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność:

Rozkładamy \(a^3-c^3\):

Skracamy \((a^2+ac+c^2)\):

Rozkładamy \(a^2b-bc^2=b(a^2-c^2)=b(a-c)(a+c)\) i skracamy:

Upraszczamy nawias:

Po podstawieniu i skróceniu otrzymujemy wynik końcowy:

Pierwszy nawias sprowadzamy do wspólnego mianownika \(a^2-b^2\):

Drugi nawias:

Mnożymy i skracamy:

Rozkładamy \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) i skracamy:

Ujednolicamy znaki w mianownikach: \(y-x=-(x-y)\), \(z-x=-(x-z)\), \(z-y=-(y-z)\). Otrzymujemy:

Sprowadzamy do wspólnego mianownika \((x-y)(x-z)(y-z)\):

Licznik upraszcza się do \((x-y)(y-z)(x-z)\), więc po skróceniu:

Sprowadzamy różnice ułamków:

Po podstawieniu licznik i mianownik mają wspólny mianownik \(abc\), który się skraca. Następnie wykorzystujemy znane rozkłady:

Po skróceniu otrzymujemy:

Pierwszy ułamek:

Drugi nawias:

Licznik rozkłada się jako \((a+x)^2-1=(a+x-1)(a+x+1)\), więc:

Podstawiamy \(x=\frac{1}{a-1}\). Najpierw:

Zatem:

Zamieniamy potęgi ujemne na ułamki:

Podstawiamy \(x=\frac{2ab}{a+b}\):

Po skróceniu:

Odejmujemy równania dla \(a\) i \(b\):

Ponieważ \(a\neq b\), mamy:

Analogicznie dla \(a\) i \(c\):

Odejmujemy (2) od (1):

Wyłączamy \((b-c)\):

Ponieważ \(b\neq c\), to \(b-c\neq 0\), więc:

Sprowadzamy \(m_1+m_2\) do wspólnego mianownika \((a-b)(c-d)\):

Rozwijamy licznik:

Dodając, dostajemy:

Dodajemy \(m_3=\frac{ac-bd}{ad+bc}\) i wyłączamy \((ac-bd)\):

Sprowadzamy nawias do wspólnego mianownika \((a-b)(c-d)(ad+bc)\):

Liczymy licznik:

Zatem:

Z równania \(x+y+z=0\) po podniesieniu do kwadratu mamy:

Podstawiamy \(x^2+y^2+z^2=a\):

Kwadrat (1):

Po rozwinięciu:

Ponieważ \(x+y+z=0\), składnik \(2xyz(x+y+z)=0\), więc:

Teraz podnosimy do kwadratu \(x^2+y^2+z^2=a\):

Podstawiamy (2):

Odejmujemy \(\frac{a^2}{2}\):