PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA
Wprowadzenie
Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, gdy istnieje stała a taka, że:
Wtedy zależność można zapisać w postaci funkcji:
Stałą a wyznacza się z dowolnej pary wartości \((x,y)\) należącej do zależności: \(\;a=x\cdot y\).
- Dziedzina: \(\;D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
- Zbiór wartości: \(\;W=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (bo \(a\neq 0\)).
- Asymptoty: \(\;x=0\) (pionowa) oraz \(\;y=0\) (pozioma).
- Miejsca zerowe: brak (funkcja nie przyjmuje wartości \(0\)).
- Symetria: wykres jest symetryczny względem początku układu (funkcja nieparzysta): \(\;f(-x)=-f(x)\).
-
Monotoniczność:
- gdy \(a>0\) – funkcja maleje na \((-\infty,0)\) i na \((0,\infty)\),
- gdy \(a<0\) – funkcja rośnie na \((-\infty,0)\) i na \((0,\infty)\).
-
Ćwiartki:
- gdy \(a>0\) – wykres leży w I i III ćwiartce,
- gdy \(a<0\) – wykres leży w II i IV ćwiartce.
- Jeśli \(x\) zwiększymy k-krotnie (\(k>0\)), to \(y\) zmniejszy się k-krotnie.
- Jeśli \(x\) zmniejszymy k-krotnie (\(k>0\)), to \(y\) zwiększy się k-krotnie.
- W każdej chwili obowiązuje \(\;x\cdot y=a\).
Przykłady i zadania
Zadanie 1. Wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne. Dla \(x=6\) jest \(y=4\). Wyznacz współczynnik \(a\) i zapisz wzór funkcji \(y(x)\).
Rozwiązanie
W proporcjonalności odwrotnej mamy \(\;x\cdot y=a\).
Zatem:
Zadanie 2. Uzupełnij tabelę, jeśli \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne:
| \(x\) | \(-8\) | \(-4\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3\) | \(6\) | \(-12\) | \(?\) | \(?\) |
Podaj również współczynnik \(a\).
Rozwiązanie
Liczymy stałą z dowolnej pary, np. \((-8,3)\):
Dla \(x=5\):
Dla \(x=10\):
Odpowiedź: \(a=-24\), brakujące wartości to \(y(5)=-\frac{24}{5}\) i \(y(10)=-\frac{12}{5}\).
Zadanie 3. Wykres funkcji \(y=\dfrac{a}{x}\) przechodzi przez punkt \(P(-3,\,10)\). Oblicz \(a\) i podaj, w których ćwiartkach leży wykres tej funkcji.
Rozwiązanie
Z definicji: \(\;a=x\cdot y\).
Skoro \(a<0\), wykres leży w II i IV ćwiartce.
Zadanie 4. Sprawdź, czy podane pary liczb opisują proporcjonalność odwrotną. Jeśli tak – wyznacz \(a\).
(A) \((x,y)=(2,18)\) oraz \((x,y)=(3,12)\)
(B) \((x,y)=(4,9)\) oraz \((x,y)=(6,7)\)
Rozwiązanie
W proporcjonalności odwrotnej iloczyn \(x\cdot y\) musi być stały.
(A)
Iloczyn stały, więc jest proporcjonalność odwrotna i \(a=36\).
(B)
Iloczyny różne, więc nie jest to proporcjonalność odwrotna.
Zadanie 5. Dla funkcji \(y=\dfrac{a}{x}\) wiadomo, że \(y(4)=-5\). Oblicz \(y(-10)\) oraz \(y\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\).
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczamy \(a\):
Zatem \(y=\dfrac{-20}{x}\).
Dla \(x=-10\):
Dla \(x=\frac12\):
Zadanie 6. W pewnym doświadczeniu spełnione jest równanie \(x\cdot y=a\). Wiadomo, że gdy \(x=15\), to \(y=8\).
(1) Wyznacz \(a\).
(2) Oblicz \(y\) dla \(x=20\).
(3) Oblicz \(x\) dla \(y=12\).
Rozwiązanie
(1)
(2) Korzystamy z \(y=\dfrac{a}{x}\):
(3) Z równania \(x\cdot y=a\):
Zadanie 7. Funkcja \(y=\dfrac{a}{x}\) spełnia warunek:
Wyznacz \(a\) i zapisz wzór funkcji.
Rozwiązanie
Podstawiamy \(y(x)=\dfrac{a}{x}\):
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
Ostatecznie:
Zadanie 8. Rozwiąż równanie (dla \(a\neq 0\)):
Podaj warunek na \(x\).
Rozwiązanie
Z równania \(\dfrac{a}{x}=15\) mnożymy obie strony przez \(x\) (zakładamy \(x\neq 0\)):
Dzielimy przez \(15\):
Warunek: \(x\neq 0\). Ponieważ \(a\neq 0\), to \(\frac{a}{15}\neq 0\), więc warunek jest spełniony.
