PRAWO LOGICZNE
Prawem logicznym (prawem rachunku zdań) nazywamy taki schemat zdania złożonego, dla którego zdanie utworzone według tego schematu jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań w nim występujących.
Prawa logicznie zwane są także prawami rachunku zdań, a także tautologiami. Tautologiami, to znaczy zdaniami, które zawsze są prawdziwe , niezależnie od wartości logicznych zdań składowych.
WAŻNIEJSZE PRAWA LOGICZNE
Prawo tożsamości dla implikacji: \(p \Rightarrow p\)
Prawo tożsamości dla równoważności: \(p \Leftrightarrow p\)
Prawo podwójnego przeczenia: \(p \Leftrightarrow \sim(\sim p)\)
Prawo wyłączonego środka: \(p \vee \sim p\)
Prawo wyłączonej sprzeczności: \(\sim(p \wedge \sim p)\)
Prawo przemienności alternatywy: \((p \vee q) \Leftrightarrow(q \vee p)\)
Prawo przemienności koniunkcji: \((p \wedge q) \Leftrightarrow(q \wedge p)\)
Prawo łączności alternatywy: \([(p \vee q) \vee r] \Leftrightarrow[p \vee(q \vee r)]\)
Prawo łączności koniunkcji: \([(p \wedge q) \wedge r] \Leftrightarrow[p \wedge(q \wedge r)]\)
Prawo negacji implikacji: \((\sim(p \Rightarrow q)) \Leftrightarrow(p \wedge(\sim q))\)
Prawo idempotentności alternatywy: \(p \Leftrightarrow(p \vee q)\)
Prawo idempotentności koniunkcji: \(p \Leftrightarrow(p \wedge q)\)
Prawo pochłaniania: \(p \Rightarrow(p \vee q)\) lub \((p \wedge q) \Rightarrow p\)
Prawo kontrapozycji: \((p \Rightarrow q) \Leftrightarrow(\sim q \Rightarrow \sim p)\)
Prawo symplifikacji: \(p \Rightarrow(q \Rightarrow p)\)
Prawa De Morgana: \(\sim(p \vee q) \Leftrightarrow(\sim p \wedge \sim q)\) oraz \(\sim(p \wedge q) \Leftrightarrow(\sim p \vee \sim q)\)
Prawo Claviusa: \((\sim p \Rightarrow p) \Rightarrow p\)
Prawo Dunsa Scotusa: \(\sim p \Rightarrow(p \Rightarrow q)\)
Prawo Fregego: \([p \Rightarrow(q \Rightarrow r)] \Rightarrow[(q \Rightarrow q) \Rightarrow(p \Rightarrow r)]\)
Prawa transpozycji: \((p \Rightarrow q) \Rightarrow(\sim p \Rightarrow \sim q)\) oraz \((\sim p \Rightarrow q) \Rightarrow(\sim q \Rightarrow p)\)
Prawo odrywania: \([(p \Rightarrow q) \wedge p] \Rightarrow q\)
WYBRANE DOWODY PRAW LOGICZNYCH
Dowody praw logicznych (praw rachunku zdań, tautologie) przeprowadzamy tzw. metodą zero-jedynkową. Rozważamy wszystkie możliwe wartości logiczne zdań składowych, tworzymy tabelę z poszczególnymi zdaniami złożonymi. Skoro ma to być prawo logiczne, to w ostatniej kolumnie, niezależnie od wartości logicznych zdań \(p\) i \(q\), zawsze otrzymujemy prawdę.
I prawo De Morgana: \(\sim(p \vee q) \Leftrightarrow(\sim p \wedge \sim q)\)
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & p \wedge q & \sim(p \wedge q) & \sim p & \sim q & (\sim p) \vee(\sim q) & \sim(p \wedge q) \Leftrightarrow((\sim p) \vee(\sim q)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
II prawo De Morgana: \(\sim(p \wedge q) \Leftrightarrow(\sim p \vee \sim q)\)
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & p \vee q & \sim(p \vee q) & \sim p & \sim q & (\sim p) \wedge(\sim q) & \sim(p \vee q) \Leftrightarrow((\sim p) \wedge(\sim q)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Prawo negacji implikacji: \((\sim(p \Rightarrow q)) \Leftrightarrow(p \wedge(\sim q))\)
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & p \Rightarrow q & \sim(p \Rightarrow q) & \sim q & p \wedge(\sim q) & (\sim(p \Rightarrow q)) \Leftrightarrow(p \wedge(\sim q)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy: \((p \wedge(q \vee r)) \Leftrightarrow((p \wedge q) \vee(p \wedge r))\)
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & r & q \vee r & p \wedge(q \vee r) & p \wedge q & p \wedge r & (p \wedge q) \vee(p \wedge r) & (p \wedge(q \vee r)) \Leftrightarrow((p \wedge q) \vee(p \wedge r)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji: \((p \vee(q \wedge r)) \Leftrightarrow((p \vee q) \wedge(p \vee r))\)
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & r & q \wedge r & p \vee(q \wedge r) & p \vee q & p \vee r & (p \vee q) \wedge(p \vee r) & (p \vee(q \wedge r)) \Leftrightarrow((p \vee q) \wedge(p \vee r)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
