ZDANIE LOGICZNE
Zdaniem (w logice) nazywamy zdanie oznajmujące, o którym możemy powiedzieć, że jest prawdziwe albo fałszywe.
O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma wartość logiczną 1, zaś o zdaniu fałszywym, że ma wartość logiczną 0.
NEGACJA (ZAPRZECZENIE)
Zaprzeczeniem zdania \(p\) nazywamy zdanie ?nieprawda, że \(p "\) i oznaczamy \(\neg { p}\) lub \(\sim{ p}\)
Tablica wartości:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline p & \sim p \\
\hline 1 & 0 \\
\hline 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
gdzie: 1 ? zdanie prawdziwe, 0 ? fałszywe
Zaprzeczeniem zdania prawdziwego jest zdanie fałszywe, a zaprzeczeniem zdania fałszywego jest zdanie prawdziwe.
KONIUNKCJA
Koniunkcja - zdanie złożone mające postać p i q, gdzie \(p, q\) są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: \(p \wedge q\). Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać \(p_{1}\) i... i \(p_{n}\).
Tablica wartości:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p \wedge q \\
\hline 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Koniunkcja dwóch zdań p i q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania \(p, q\) są zdaniami prawdziwymi. Mówiąc inaczej: koniunkcja dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy co najmniej jedno zdanie ją tworzące jest fałszywe.
ALTERNATYWA
Alternatywa (suma logiczna, alternatywa zwykła, alternatywa nierozłączna, alternatywa łączna) - zdanie logiczne o postaci \(p\) lub \(q\), gdzie \(p, q\) są zdaniami. W logice matematycznej alternatywę zapisuje się \(p \vee q\).
Tablica wartości:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p \vee q \\
\hline 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Alternatywa \(p\) lub \(q\) jest zdaniem prawdziwym, gdy co najmniej jedno z jej zdań składowych \(p, q\) jest prawdziwe. Inaczej mówiąc: alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba tworzące ją zdania sa fałszywe.
IMPLIKACJA
Implikacją o poprzedniku \(p\) i następniku \(q\) nazywamy zdanie ?,jeśli \(p\), to \(q\)" i oznaczamy \({p} \Rightarrow {q}\).
Tablica wartości:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p \Rightarrow q \\
\hline 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Implikacja jest prawdziwa wtedy, gdy poprzednik i następnik są prawdziwe oraz wtedy, gdy poprzednik jest fałszywy (wówczas następnik może być prawdziwy lub fałszywy). Inaczej mówiąc: implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz.
RÓWNOWAŻNOŚĆ
Równoważnością zdań \(p\) oraz \(q\) nazywamy zdanie " \(p\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(q\) " i oznaczamy \({\boldsymbol{p}} \Leftrightarrow \boldsymbol{q}\).
Tablica wartości:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p \Leftrightarrow q \\
\hline 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 0 \\
\hline 0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy tworzące ją zdania mają tę samą wartość logiczną, tzn. oba są prawdziwe lub oba są fałszywe.
ALTERNATYWA ROZŁĄCZNA
Niekiedy zależy nam, żeby użyć alternatywy w innym, nieco węższym znaczeniu. Wąskość tego znaczenia polega na tym, że zdanie powstałe w wyniku alternatywy w tym znaczeniu jest prawdziwe tylko w dwóch przypadkach, a nie - jak to miało miejsce w alternatywie łącznej - w trzech przypadkach. Alternatywę taką przedstawiamy najczęściej za pomocą słowa albo i wyrażamy symbolem \(\perp\). Nazywamy ją rozłączną dlatego, że oddziela od siebie oba zdania podrzędne, ustanawiając, że tylko jedno z nich może być prawdziwe, nigdy oba naraz.
Tablica wartości:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p \perp q \\
\hline 1 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
Alternatywa rozłączna zdań jest prawdziwa wtedy, gdy jedno i tylko jedno ze zdań jest prawdziwe.
DYSJUNKCJA
Dysjunkcja - odpowiada funktorowi "bądź..., bądź..., bądź żaden z nich" i jest zaznaczana za pomocą symbolu "/". Wyrażenie "\(p\) / \(q\) " odczytywać można "bądź \(p\), bądź \(q\), bądź żadne z nich"; jako że dysjunkcja jest negacją koniunkcji ("nieprawda, że zarazem \(p\) i \(q\)").
Tablica wartości:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p / q \\
\hline 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 1 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
Dysjunkcja jest fałszywa, gdy oba zdania wchodzące w jej skład sa prawdziwe. Trudno jest ją czasem odróżnić od alternatywy rozłącznej.
BINEGACJA
Binegacja jest koniunkcją negacji. Oznacza się ja symbolem " \(\downarrow "\) we wzorze \(p \downarrow q\) ("ani \(p\) ani \(q\) "). Powstaje z użyciem spójników "ani" oraz przeczenia ("ani ... nie jest, ani ... nie jest").
Tablica wartości:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q& p \downarrow q \\
\hline 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
Binegacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są fałszywe.
