RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE
Z PARAMETREM
Wstęp - czyli wzory Viete'a i ich zastosowanie
Jak przekształcać wyrażenia do wzorów Viete'a, przykłady zastosowania.
Koniecznie obejrzyj tą lekcję zanim przejdziesz do poniższych zadań.
1. RÓWNANIA KWADRATOWE Z PARAMETREM
Zadanie 1
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[x^2 + (m - 5)x + m^2 + m + 0,25 = 0\]
ma dwa różne pierwiastki tych samych znaków?
Zadanie 2
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[x^2 - (2m - 4)x + m^2 - 2m - 3 = 0\]
ma dwa różne rozwiązania dodatnie?
Na filmie również strategie jak tworzyć warunki dotyczących znaków rozwiązań.
Rozwiązania poniższych zadań na filmie:
Zadanie 3
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[2x^2 - 3(m - 1)x + m^2 + 3m + 4 = 0\]
ma dwa różne rozwiązania jednakowych znaków?
Zadanie 4
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[2x^2 + (m - 9)x + 1 - m^2 = 0\]
ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków?
Zadanie 5
Dla jakiej wartości parametru \(k\) różne rozwiązania równania
\[kx^2 - (k + 1)x - 2k + 3 = 0\]
spełniają warunek \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = k + 1\)?
Zadanie 6
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - 4 = 0\]
ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest mniejsza od 12?
Zadanie 7
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[x^2 + 2(m - 1)x + 2m + 1 = 0\]
ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek \(3(x_1^2x_2 + x_2^2x_1) + 6 < x_1^2 + x_2^2\)?
Zadanie 8
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[x^2 - 6mx + 2 = 2m - 9m^2\]
ma dwa różne rozwiązania większe od 3?
Rozwiązania powyższych zadań na filmie:
Zadanie 9
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[x^2 - (2m - 1)x + m^2 - 4 = 0\]
ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 4?
Zadanie 10
Zbadaj liczbę rozwiązań równania
\[(k + 1)x^2 - 4kx + 2k + 3 = 0\]
w zależności od parametru \(k\).
Zadanie 11
Zbadaj liczbę rozwiązań równania
\[(2m - 3)x^2 + 4mx + m - 1 = 0\]
w zależności od parametru \(m\).
Zadanie 12
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[mx^2 - 3x + m = 0\]
ma tylko jedno rozwiązanie?
Rozwiązania poniższych zadań na filmie:
Zadanie 13
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie
\[x^2 + 2x + m - 1 = 0\]
ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek \(|x_1| + |x_2| < 3\)?
Zadanie 14
Dla jakiej wartości parametru \(m\) funkcja
\[y = x^2 - 2x + m\]
ma dwa różne miejsca zerowe spełniające warunek \(7x_2 - 4x_1 = 47\)?
Rozwiązania powyższych zadań na filmie:
2. NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE Z PARAMETREM
Zadanie 15
Dla jakiej wartości parametru \(m\) nierówność
\[x^2 - 2(m + 1)x + 2m^2 + 3m - 1 > 0\]
jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\)?
Zadanie 16
Dla jakiej wartości parametru \(m\) dziedziną funkcji
\[f(x) = \sqrt{(m^2 + m - 6)x^2 + (m - 2)x + 1}\]
jest zbiór liczb rzeczywistych?
Na filmie również strategie jak tworzyć warunki w nierównościach kwadratowych z parametrem.
Zadanie 17
