Wzory Vietea - video lekcja
Funkcja kwadratowa - video lekcje

Wzory Viete’a – użyteczne przekształcenia

Gotowe wzory i triki do zadań z parametrem oraz przykłady z wartością bezwzględną.

Wzory Viete’a i sposoby ich uzyskiwania w zadaniach z parametrem – m.in.:

\[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} \]

\[ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \]

\[ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2} =\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} \]

\[ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) =(x_1+x_2)\big[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\big] \]

\[ \frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3} =\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1^3x_2^3} =\frac{(x_1+x_2)\big[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\big]}{(x_1x_2)^3} \]

\[ x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2 =\big[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\big]^2-2(x_1x_2)^2 \]

\[ (x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 \]

Załóżmy, że wartość bezwzględna z różnicy pierwiastków równania jest równa 5:

\[ |x_1-x_2|=5 \quad /(\ )^2 \] \[ (x_1-x_2)^2=25 \] \[ x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=25 \] \[ (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=25 \]

Inny przykład z wartością bezwzględną:
Załóżmy, że różnica wartości bezwzględnej pierwiastków równania równa się 5:

\[ |x_1|-|x_2|=5 \quad /(\ )^2 \] \[ x_1^2-2|x_1x_2|+x_2^2=25 \] \[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2|x_1x_2|=25 \]

Dla jakiego parametru \(p\) oraz \(q\) pierwiastkami funkcji \(f(x)\) są podane liczby?

\[ f(x)=x^2+(p+q)x+p^2-q^2 \] \[ x_1=4-2\sqrt{3},\qquad x_2=4+2\sqrt{3} \]

Dana jest funkcja \(f(x)\). Wiedząc, że \(x_1, x_2\) są miejscami zerowymi tej funkcji, udowodnij podaną równość.

\[ f(x)=2\sqrt{5}\,x^2-4\sqrt{5}\,x+\sqrt{10} \] \[ (x_1-x_2)^2+4(x_1^2-x_2^2)=20-6\sqrt{2} \]

Video lekcja – wzory Viete’a i zadania z parametrem

Wideolekcja dostępna w abonamencie PREMIUM.

Masz już aktywny dostęp? Zaloguj się, aby obejrzeć omówienie przekształceń i zadań.