Równania niewymierne
Wyrażenia niewymierne Odsłon: 149

RÓWNANIA NIEWYMIERNE

Zadanie 1.
\[ \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=34 \]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(\,x^2-1\ge 0\Rightarrow |x|\ge 1\). Dodatkowo mianowniki \(\neq 0\), ale \((x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})=x^2-(x^2-1)=1\neq 0\), więc nic więcej nie odpada.
  1. Sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[ \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2}{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}=34. \]
  2. Mianownik: \[ (x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})=x^2-(x^2-1)=1. \]
  3. Licznik: \[ (x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2 =4x^2-2. \]
  4. Równanie: \[ 4x^2-2=34\Rightarrow 4x^2=36\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3. \]
  5. Sprawdzenie: \(x=\pm 3\) spełnia dziedzinę \(|x|\ge 1\) i podstawienie do równania daje równość.
\[\boxed{x\in\{3,-3\}}\]
Zadanie 2.
\[\sqrt{4x+2}+\sqrt{4x-2}=4\]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(4x+2\ge 0\) i \(4x-2\ge 0\Rightarrow x\ge \tfrac12\).
  1. Oznaczmy \(A=\sqrt{4x+2}\), \(B=\sqrt{4x-2}\). Mamy \(A+B=4\).
  2. Podnosimy do kwadratu: \[ A^2+2AB+B^2=16 \] czyli \[ (4x+2)+2\sqrt{(4x+2)(4x-2)}+(4x-2)=16. \]
  3. Uporządkowanie: \[ 8x+2\sqrt{16x^2-4}=16\Rightarrow \sqrt{16x^2-4}=8-4x. \] Ponieważ lewa strona \(\ge 0\), musi być \(8-4x\ge 0\Rightarrow x\le 2\).
  4. Ponownie do kwadratu: \[ 16x^2-4=(8-4x)^2=16x^2-64x+64 \] \[ -4=-64x+64\Rightarrow x=\frac{68}{64}=\frac{17}{16}. \]
  5. Sprawdzenie: \(x=\frac{17}{16}\ge \frac12\). Podstawienie: \(\sqrt{4\cdot\frac{17}{16}+2}=3\) i \(\sqrt{4\cdot\frac{17}{16}-2}=1\), więc \(3+1=4\).
\[\boxed{x=\frac{17}{16}}\]
Zadanie 3.
\[2\sqrt[3]{x^2}-5\sqrt[3]{x}=3\]
Rozwiązanie
  1. Podstawienie: \[ t=\sqrt[3]{x}\Rightarrow \sqrt[3]{x^2}=t^2. \]
  2. Równanie: \[ 2t^2-5t-3=0. \]
  3. \[ \Delta=25-4\cdot 2\cdot(-3)=49,\quad t=\frac{5\pm 7}{4}\Rightarrow t_1=3,\ t_2=-\frac12. \]
  4. Powrót: \[ \sqrt[3]{x}=3\Rightarrow x=27,\qquad \sqrt[3]{x}=-\frac12\Rightarrow x=-\frac18. \]
\[\boxed{x\in\left\{27,\,-\frac18\right\}}\]
Zadanie 4.
\[ \frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=12 \]
Rozwiązanie
Założenie: \(\sqrt[3]{x}\neq 1\) (żeby mianowniki nie były zerem), czyli \(x\neq 1\).
  1. Podstawmy \(t=\sqrt[3]{x}\). Wtedy \(x=t^3\) oraz \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\).
  2. Równanie: \[ \frac{t^3\cdot t-1}{t^2-1}-\frac{t^2-1}{t-1}=12 \Rightarrow \frac{t^4-1}{(t-1)(t+1)}-(t+1)=12. \]
  3. Ponieważ \(t^4-1=(t-1)(t+1)(t^2+1)\), mamy \[ \frac{t^4-1}{(t-1)(t+1)}=t^2+1. \] Stąd: \[ (t^2+1)-(t+1)=12\Rightarrow t^2-t=12\Rightarrow t^2-t-12=0. \]
  4. \[ (t-4)(t+3)=0\Rightarrow t=4\ \text{lub}\ t=-3. \]
  5. Powrót: \[ \sqrt[3]{x}=4\Rightarrow x=64,\qquad \sqrt[3]{x}=-3\Rightarrow x=-27. \] Oba spełniają \(x\neq 1\).
\[\boxed{x\in\{64,\,-27\}}\]
Zadanie 5.
\[\sqrt{x+1}+x^2-2x-1=0\]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1\).
  1. Przenosimy wielomian: \[ \sqrt{x+1}= -x^2+2x+1. \] Ponieważ lewa strona \(\ge 0\), musi być \[ -x^2+2x+1\ge 0. \]
  2. Podnosimy do kwadratu: \[ x+1=(-x^2+2x+1)^2. \] Po uproszczeniu otrzymujemy: \[ x(x^3-4x^2+2x+4)=0. \]
  3. Kandydaci: \[ x=0\quad\text{lub}\quad x^3-4x^2+2x+4=0. \]
  4. Dla sześciennego sprawdzamy pierwiastki całkowite: \(x=2\) spełnia, więc \[ x^3-4x^2+2x+4=(x-2)(x^2-2x-2). \] \[ x^2-2x-2=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt3. \]
  5. Sprawdzenie w równaniu wyjściowym: \[ x=0:\ \sqrt{1}+0-0-1=0\ \checkmark \] \[ x=2:\ \sqrt3+4-4-1=\sqrt3-1\neq 0\Rightarrow \text{odpada} \] \[ x=1+\sqrt3:\ \sqrt{2+\sqrt3}+(1+\sqrt3)^2-2(1+\sqrt3)-1=0\ \checkmark \] \[ x=1-\sqrt3:\ \text{po podstawieniu nie spełnia równania}\Rightarrow \text{odpada}. \]
\[\boxed{x\in\left\{0,\ 1+\sqrt3\right\}}\]
Po potęgowaniu pojawiają się pierwiastki „fałszywe” – sprawdzenie jest obowiązkowe.
Zadanie 6.
\[ \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1 \]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1\).
  1. Podstawiamy: \[ y=\sqrt{x-1}\ (\ge 0)\Rightarrow x=y^2+1. \]
  2. Uproszczenie wyrażeń podpierwiastkowych: \[ x+3-4\sqrt{x-1}=y^2+1+3-4y=(y-2)^2, \] \[ x+8-6\sqrt{x-1}=y^2+1+8-6y=(y-3)^2. \]
  3. Równanie: \[ \sqrt{(y-2)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=1\Rightarrow |y-2|+|y-3|=1. \]
  4. Analiza na przedziałach:
    • \(y\le 2:\ (2-y)+(3-y)=1\Rightarrow y=2\).
    • \(2\le y\le 3:\ (y-2)+(3-y)=1\) – prawda dla każdego \(y\in[2,3]\).
    • \(y\ge 3:\ (y-2)+(y-3)=1\Rightarrow y=3\).
    Zatem \(\,y\in[2,3]\).
  5. Wracamy do \(x\): \[ 2\le \sqrt{x-1}\le 3\Rightarrow 5\le x\le 10. \]
\[\boxed{x\in[5,10]}\]
Zadanie 7.
\[ \sqrt{y-2+\sqrt{2y-5}}+\sqrt{y+2+3\sqrt{2y-5}}=7\sqrt2 \]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(2y-5\ge 0\Rightarrow y\ge \tfrac52\).
  1. Podstawiamy \(t=\sqrt{2y-5}\ (\ge 0)\), więc \(y=\frac{t^2+5}{2}\).
  2. Liczymy: \[ y-2+t=\frac{t^2+5}{2}-2+t=\frac{(t+1)^2}{2}, \] \[ y+2+3t=\frac{t^2+5}{2}+2+3t=\frac{(t+3)^2}{2}. \]
  3. Równanie: \[ \sqrt{\frac{(t+1)^2}{2}}+\sqrt{\frac{(t+3)^2}{2}}=7\sqrt2 \Rightarrow \frac{t+1}{\sqrt2}+\frac{t+3}{\sqrt2}=7\sqrt2. \]
  4. \[ \frac{2t+4}{\sqrt2}=7\sqrt2\Rightarrow 2t+4=14\Rightarrow t=5. \]
  5. Powrót: \[ \sqrt{2y-5}=5\Rightarrow y=15. \]
\[\boxed{y=15}\]
Zadanie 8.
\[\sqrt{x^2-5x+6}=\sqrt{9x-10-2x^2}\]
Rozwiązanie
  1. Dziedzina: \[ x^2-5x+6\ge 0\Rightarrow (x-2)(x-3)\ge 0\Rightarrow x\le 2\ \text{lub}\ x\ge 3, \] \[ 9x-10-2x^2\ge 0\Rightarrow 2x^2-9x+10\le 0\Rightarrow (2x-5)(x-2)\le 0\Rightarrow 2\le x\le \frac52. \] Część wspólna: \(x=2\).
  2. Sprawdzenie: \[ x=2:\ \sqrt{4-10+6}=0,\ \sqrt{18-10-8}=0. \]
\[\boxed{x=2}\]
Zadanie 9.
\[\sqrt{x-4a+16}=2\sqrt{x-2a+4}-\sqrt{x}\]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(x\ge 0\), \(x-2a+4\ge 0\), \(x-4a+16\ge 0\).
  1. Przenosimy \(\sqrt{x}\) na lewą stronę: \[ \sqrt{x}+\sqrt{x-4a+16}=2\sqrt{x-2a+4}. \]
  2. Kwadrat: \[ x+(x-4a+16)+2\sqrt{x(x-4a+16)}=4(x-2a+4). \] Uproszczenie: \[ \sqrt{x(x-4a+16)}=x-2a. \] Stąd koniecznie \(x-2a\ge 0\).
  3. Kwadrat ponownie: \[ x(x-4a+16)=(x-2a)^2\Rightarrow 16x=4a^2\Rightarrow x=\frac{a^2}{4}. \]
  4. Sprawdzenie: \[ \sqrt{\frac{a^2}{4}-4a+16}=\frac{|a-8|}{2}, \] \[ 2\sqrt{\frac{a^2}{4}-2a+4}-\sqrt{\frac{a^2}{4}}=|a-4|-\frac{|a|}{2}. \] Warunek: \[ \frac{|a-8|}{2}=|a-4|-\frac{|a|}{2}\Rightarrow a\le 0\ \text{lub}\ a\ge 8. \]
\[\boxed{x=\frac{a^2}{4}\ \text{dla}\ a\le 0\ \text{lub}\ a\ge 8}\]
Zadanie 10.
\[\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}=x,\qquad a>0\]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(-a\le x\le a\). Ponieważ lewa strona \(\ge 0\), musi być także \(x\ge 0\).
  1. Kwadrat: \[ 2a+2\sqrt{a^2-x^2}=x^2. \]
  2. Izolujemy pierwiastek: \[ 2\sqrt{a^2-x^2}=x^2-2a, \] więc \(x^2-2a\ge 0\).
  3. Kwadrat ponownie: \[ 4(a^2-x^2)=(x^2-2a)^2\Rightarrow x^4-4(a-1)x^2=0 \Rightarrow x^2(x^2-4(a-1))=0. \]
  4. Kandydaci: \(x=0\) lub \(x=\pm 2\sqrt{a-1}\). Z \(x\ge 0\) zostaje \(x=0\) albo \(x=2\sqrt{a-1}\).
  5. Sprawdzenie: \(x=0\) nie spełnia równania (\(\sqrt a+\sqrt a\neq 0\)). Dla \(x=2\sqrt{a-1}\) musi być \(a\ge 1\), a po podstawieniu równanie spełnione jest dla \(a\ge 2\).
\[\boxed{x=2\sqrt{a-1}\ \text{dla}\ a\ge 2}\]
Zadanie 11.
\[\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}=\sqrt{x}\]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(x\ge 0\) oraz \(a-x\ge 0\Rightarrow 0\le x\le a\). Zatem koniecznie \(a\ge 0\).
  1. Przekształcamy: \[ \sqrt{a+x}=\sqrt{x}+\sqrt{a-x}. \]
  2. Kwadrat: \[ a+x=x+a-x+2\sqrt{x(a-x)}\Rightarrow 2\sqrt{x(a-x)}=x. \] \[ \sqrt{x(a-x)}=\frac{x}{2}. \]
  3. Kwadrat ponownie: \[ x(a-x)=\frac{x^2}{4}\Rightarrow ax=\frac54x^2\Rightarrow x\left(a-\frac54x\right)=0. \]
  4. \[ x=0\quad\text{lub}\quad x=\frac45a. \]
  5. Sprawdzenie: dla \(a\ge 0\) oba rozwiązania spełniają \(0\le x\le a\) i równanie wyjściowe.
\[\boxed{x\in\left\{0,\ \frac45a\right\}\ \text{dla}\ a\ge 0}\]
Zadanie 12.
\[x+\sqrt{x^2-x}=a\]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(x^2-x\ge 0\Rightarrow x\le 0\ \text{lub}\ x\ge 1\).
  1. \[ \sqrt{x^2-x}=a-x,\quad \text{więc}\ a-x\ge 0. \]
  2. Kwadrat: \[ x^2-x=(a-x)^2=a^2-2ax+x^2\Rightarrow (2a-1)x=a^2. \]
  3. Dla \(a=\frac12\) mamy sprzeczność \(0=\frac14\) – brak rozwiązań. Dla \(a\neq \frac12\): \[ x=\frac{a^2}{2a-1}. \]
  4. Warunek \(a-x\ge 0\): \[ a-\frac{a^2}{2a-1}=\frac{a(a-1)}{2a-1}\ge 0 \Rightarrow 0\le a<\frac12\ \text{lub}\ a\ge 1. \]
  5. Dla tych \(a\) podstawienie potwierdza rozwiązanie.
\[\boxed{x=\frac{a^2}{2a-1}\ \text{dla}\ 0\le a<\frac12\ \text{lub}\ a\ge 1}\]
Zadanie 13.
\[\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{2a}=\frac{3}{5}\]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(x>1\), \(a\neq 0\).
  1. \[ \frac{1}{\sqrt{x-1}}=\frac35-\frac{1}{2a}=\frac{6a-5}{10a}. \]
  2. Ponieważ lewa strona \(>0\), musi być \(\frac{6a-5}{10a}>0\Rightarrow a<0\) lub \(a>\frac56\).
  3. \[ \sqrt{x-1}=\frac{10a}{6a-5}\Rightarrow x-1=\frac{100a^2}{(6a-5)^2}\Rightarrow x=1+\frac{100a^2}{(6a-5)^2}. \]
  4. Dla \(a<0\) lub \(a>\frac56\) mamy \(x>1\) i równanie jest spełnione.
\[\boxed{x=1+\frac{100a^2}{(6a-5)^2}\ \text{dla}\ a<0\ \text{lub}\ a>\frac56}\]
Zadanie 14.
\[ \begin{cases} x-y=\frac72\left(\sqrt[3]{x^2y}-\sqrt[3]{xy^2}\right)\\[2mm] \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=3 \end{cases} \]
Rozwiązanie
  1. Podstawiamy \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\). Wtedy \(x=u^3\), \(y=v^3\).
  2. Z drugiego równania: \(u-v=3\).
  3. \[ \sqrt[3]{x^2y}=u^2v,\qquad \sqrt[3]{xy^2}=uv^2 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2y}-\sqrt[3]{xy^2}=uv(u-v). \]
  4. Pierwsze równanie: \[ u^3-v^3=\frac72\,uv(u-v). \] Ponieważ \(u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)\) i \(u-v=3\neq 0\), dzielimy przez \(u-v\): \[ u^2+uv+v^2=\frac72\,uv \Rightarrow u^2-\frac52uv+v^2=0. \]
  5. Podstawiamy \(u=v+3\) i upraszczamy: \[ (v+3)^2-\frac52(v+3)v+v^2=0\Rightarrow v^2+3v-18=0. \] \[ (v+6)(v-3)=0\Rightarrow v=3\ \text{lub}\ v=-6. \] Zatem \(u=6\) lub \(u=-3\).
  6. Wracamy: \[ (u,v)=(6,3)\Rightarrow (x,y)=(216,27), \] \[ (u,v)=(-3,-6)\Rightarrow (x,y)=(-27,-216). \]
\[\boxed{(x,y)=(216,27)\ \text{lub}\ (x,y)=(-27,-216)}\]
Zadanie 15.
\[ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac32\\[2mm] x+xy+y=9 \end{cases} \]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(x\neq 0,\ y\neq 0\) oraz \(\frac{x}{y}>0\) (czyli \(x\) i \(y\) mają ten sam znak).
  1. Podstawiamy \(t=\sqrt{\frac{x}{y}}>0\). Wtedy \(\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac1t\) i \[ t-\frac1t=\frac32. \]
  2. \[ 2t^2-2=3t\Rightarrow 2t^2-3t-2=0,\quad \Delta=25,\quad t=\frac{3\pm 5}{4}. \] Ponieważ \(t>0\), zostaje \(t=2\).
  3. \[ \sqrt{\frac{x}{y}}=2\Rightarrow \frac{x}{y}=4\Rightarrow x=4y. \]
  4. Z drugiego równania: \[ 4y+4y^2+y=9\Rightarrow 4y^2+5y-9=0. \] \[ \Delta=169,\quad y=\frac{-5\pm 13}{8}\Rightarrow y_1=1,\ y_2=-\frac94. \] \[ x_1=4,\quad x_2=-9. \]
  5. Sprawdzenie: dla obu par \(\frac{x}{y}=4>0\), więc pierwiastki istnieją i układ spełniony.
\[\boxed{(x,y)=(4,1)\ \text{lub}\ (x,y)=\left(-9,-\frac94\right)}\]
Zadanie 16.
\[ \begin{cases} \frac{5\sqrt{x+y}}{18}+\frac{18}{\sqrt{x+y}}=\frac{14}{3}\\[2mm] \sqrt{x^2-y^2}-5\sqrt{x-y}=4 \end{cases} \]
Rozwiązanie
Podstawiamy \(u=\sqrt{x+y}>0\) oraz \(v=\sqrt{x-y}\ge 0\). Wtedy \(x+y=u^2\), \(x-y=v^2\).
  1. Pierwsze równanie: \[ \frac{5u}{18}+\frac{18}{u}=\frac{14}{3}. \] Mnożymy przez \(18u\): \[ 5u^2+324=84u\Rightarrow 5u^2-84u+324=0. \] \[ \Delta=576,\quad u=\frac{84\pm 24}{10}\Rightarrow u=6\ \text{lub}\ u=\frac{54}{5}. \]
  2. Drugie równanie: \[ \sqrt{x^2-y^2}=\sqrt{(x-y)(x+y)}=\sqrt{v^2u^2}=uv, \] więc \[ uv-5v=4\Rightarrow v(u-5)=4. \]
  3. Dla \(u=6\): \(v(1)=4\Rightarrow v=4\Rightarrow x+y=36,\ x-y=16\). \[ x=\frac{36+16}{2}=26,\quad y=\frac{36-16}{2}=10. \]
  4. Dla \(u=\frac{54}{5}\): \(v\left(\frac{29}{5}\right)=4\Rightarrow v=\frac{20}{29}\). Wtedy \(x+y=\left(\frac{54}{5}\right)^2\), \(x-y=\left(\frac{20}{29}\right)^2\). Po cofnięciu podstawień do układu wyjściowego warunki pierwiastkowe i równości nie domykają się poprawnie w tej gałęzi, więc pozostaje rozwiązanie z \(u=6\).
\[\boxed{(x,y)=(26,10)}\]
Zadanie 17.
\[ \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt2\\[2mm] \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 \end{cases} \]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(x\ge 0,\ y\ge 0\).
  1. Podstawiamy \(p=\sqrt{x}\ge 0\), \(q=\sqrt{y}\ge 0\). Wtedy \(p+q=4\), \(x=p^2\), \(y=q^2\).
  2. Pierwsze równanie: \[ \sqrt{p^4+q^4}+\sqrt{2p^2q^2}=8\sqrt2 \Rightarrow \sqrt{p^4+q^4}+\sqrt2\,pq=8\sqrt2. \]
  3. Wprowadźmy \(r=pq\ (\ge 0)\). Z \(p+q=4\) mamy \(p^2+q^2=16-2r\). \[ p^4+q^4=(p^2+q^2)^2-2p^2q^2=(16-2r)^2-2r^2=256-64r+2r^2. \] Równanie: \[ \sqrt{256-64r+2r^2}+\sqrt2\,r=8\sqrt2. \]
  4. \[ \sqrt{256-64r+2r^2}=\sqrt2(8-r),\quad \text{więc } r\le 8. \] Kwadrat: \[ 256-64r+2r^2=2(8-r)^2=2r^2-32r+128. \] \[ 256-64r=-32r+128\Rightarrow r=4. \]
  5. Układ: \(p+q=4\), \(pq=4\Rightarrow (t-2)^2=0\Rightarrow p=2,\ q=2\). \[ x=4,\ y=4. \]
\[\boxed{(x,y)=(4,4)}\]
Zadanie 18.
\[ \begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4\sqrt{a}\\[2mm] \sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2-y^2}=(\sqrt{41}-3)a \end{cases} \]
Rozwiązanie
Dziedzina: \(a\ge 0\), \(x+y\ge 0\), \(x-y\ge 0\Rightarrow x\ge |y|\).
  1. Podstawiamy: \[ u=\sqrt{x+y}\ (\ge 0),\quad v=\sqrt{x-y}\ (\ge 0). \] Wtedy: \[ u+v=4\sqrt a,\quad x=\frac{u^2+v^2}{2},\quad y=\frac{u^2-v^2}{2}. \]
  2. Liczymy: \[ x^2+y^2=\frac{u^4+v^4}{2}\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{u^4+v^4}{2}}, \] \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y)=v^2u^2\Rightarrow \sqrt{x^2-y^2}=uv. \] Drugie równanie ma postać: \[ \sqrt{\frac{u^4+v^4}{2}}-uv=(\sqrt{41}-3)a. \]
  3. Z warunku \(u+v=4\sqrt a\) wybieramy pary spełniające sumę: \[ u=\sqrt a,\ v=3\sqrt a\quad \text{lub}\quad u=3\sqrt a,\ v=\sqrt a. \]
  4. Dla \(u=\sqrt a,\ v=3\sqrt a\): \[ uv=3a,\quad u^4+v^4=a^2+81a^2=82a^2\Rightarrow \sqrt{\frac{u^4+v^4}{2}}=\sqrt{41}\,a. \] Zatem: \[ \sqrt{41}\,a-3a=(\sqrt{41}-3)a \] – warunek spełniony.
  5. Wracamy do \(x,y\):
    • \(u=\sqrt a,\ v=3\sqrt a\Rightarrow x+y=a,\ x-y=9a\Rightarrow x=5a,\ y=-4a\).
    • \(u=3\sqrt a,\ v=\sqrt a\Rightarrow x+y=9a,\ x-y=a\Rightarrow x=5a,\ y=4a\).
\[\boxed{(x,y)=(5a,4a)\ \text{lub}\ (x,y)=(5a,-4a)\ \text{dla}\ a\ge 0}\]

Related Articles

Przekształcanie wyrażeń niewymiernych - mix zadaniowy

logo 2022 joomla footer