Temat
RÓWNANIA NIEWYMIERNE
Wskazówka ogólna
W równaniach z pierwiastkami często:
\[
\text{(1) wyznaczamy dziedzinę, (2) izolujemy pierwiastek, (3) podnosimy do kwadratu, (4) sprawdzamy rozwiązania.}
\]
Po podnoszeniu do kwadratu mogą pojawić się rozwiązania pozorne — dlatego zawsze wykonujemy sprawdzenie w równaniu wyjściowym.
1
Rozwiąż równanie
\[
\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=34
\]
Rozwiązanie
\[
x^2-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1 \;\text{ lub }\; x\ge 1
\]
\[
(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})=x^2-(x^2-1)=1
\]
\[
\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2}{1}=34
\]
\[
(x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2
=\big(2x^2-1+2x\sqrt{x^2-1}\big)+\big(2x^2-1-2x\sqrt{x^2-1}\big)=4x^2-2
\]
\[
4x^2-2=34 \;\Rightarrow\; 4x^2=36 \;\Rightarrow\; x^2=9 \;\Rightarrow\; x=\pm 3
\]
\[
x=-3,\;3 \;\text{ należą do dziedziny, więc są rozwiązaniami.}
\]
\[
\boxed{x\in\{-3,\;3\}}
\]
2
Rozwiąż równanie
\[
\sqrt{4x+2}+\sqrt{4x-2}=4
\]
Rozwiązanie
\[
4x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac12
\]
\[
\sqrt{4x+2}=4-\sqrt{4x-2}
\]
\[
4x+2=16-8\sqrt{4x-2}+4x-2
\]
\[
4x+2=4x+14-8\sqrt{4x-2}
\Rightarrow 8\sqrt{4x-2}=12
\Rightarrow \sqrt{4x-2}=\frac32
\]
\[
4x-2=\frac{9}{4}\Rightarrow 4x=\frac{17}{4}\Rightarrow x=\frac{17}{16}
\]
\[
\text{Sprawdzenie: } \sqrt{4\cdot\frac{17}{16}+2}+\sqrt{4\cdot\frac{17}{16}-2}
=\sqrt{\frac{17}{4}+2}+\sqrt{\frac{17}{4}-2}=\sqrt{\frac{25}{4}}+\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac52+\frac32=4
\]
\[
\boxed{x=\frac{17}{16}}
\]
3
Rozwiąż równanie
\[
2\sqrt[5]{x^2}-5\sqrt[5]{x}=3
\]
Rozwiązanie
\[
t=\sqrt[5]{x}\;\Rightarrow\;\sqrt[5]{x^2}=t^2
\]
\[
2t^2-5t-3=0
\]
\[
\Delta=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49
\]
\[
t=\frac{5\pm 7}{4}\Rightarrow
t_1=3,\quad t_2=-\frac12
\]
\[
\sqrt[5]{x}=3\Rightarrow x=3^5=243,\qquad
\sqrt[5]{x}=-\frac12\Rightarrow x=\left(-\frac12\right)^5=-\frac{1}{32}
\]
\[
\boxed{x\in\left\{243,\;-\frac{1}{32}\right\}}
\]
4
Rozwiąż równanie
\[
\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=12
\]
Rozwiązanie
\[
t=\sqrt[3]{x}\;\Rightarrow\; \sqrt[3]{x^2}=t^2,\quad x=t^3
\]
\[
\frac{t^3\cdot t-1}{t^2-1}-\frac{t^2-1}{t-1}=12
\Rightarrow
\frac{t^4-1}{(t-1)(t+1)}-(t+1)=12
\]
\[
t^4-1=(t^2-1)(t^2+1)=(t-1)(t+1)(t^2+1)
\]
\[
\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{(t-1)(t+1)}-(t+1)=12
\Rightarrow t^2+1-(t+1)=12
\]
\[
t^2-t=12\Rightarrow t^2-t-12=0\Rightarrow (t-4)(t+3)=0
\]
\[
t=4\Rightarrow x=t^3=64,\qquad t=-3\Rightarrow x=t^3=-27
\]
\[
\text{Warunek: }t\ne 1\ (\text{bo } \sqrt[3]{x}-1\ne 0). \ \text{Oba rozwiązania spełniają.}
\]
\[
\boxed{x\in\{64,\;-27\}}
\]
5
Rozwiąż równanie
\[
\sqrt{x+1}+x^2-2x-1=0
\]
Rozwiązanie
\[
x\ge -1
\]
\[
\sqrt{x+1}= -x^2+2x+1
\]
\[
\text{Ponieważ } \sqrt{x+1}\ge 0,\ \text{musi być } -x^2+2x+1\ge 0
\]
\[
-x^2+2x+1\ge 0 \iff x^2-2x-1\le 0 \iff x\in\left[1-\sqrt2,\ 1+\sqrt2\right]
\]
\[
\text{Teraz podnosimy do kwadratu:}\quad x+1=(-x^2+2x+1)^2
\]
\[
x+1=(x^2-2x-1)^2
\]
\[
\text{Rozwiązania równania po przekształceniach dają kandydatów: } x=0,\ x=\frac{1+\sqrt5}{2},\ x=\frac{1-\sqrt5}{2}
\]
\[
\text{Sprawdzenie w równaniu wyjściowym:}
\]
\[
x=0:\ \sqrt{1}+0-0-1=0\ \checkmark
\]
\[
x=\frac{1+\sqrt5}{2}:\ \sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}}+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2-2\cdot\frac{1+\sqrt5}{2}-1=0\ \checkmark
\]
\[
x=\frac{1-\sqrt5}{2}:\ \text{po podstawieniu lewa strona } \ne 0\ \Rightarrow\ \text{rozwiązanie pozorne}
\]
\[
\boxed{x\in\left\{0,\ \frac{1+\sqrt5}{2}\right\}}
\]
6
Rozwiąż równanie
\[
\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1
\]
Rozwiązanie
\[
x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1,\quad y=\sqrt{x-1}\ (\ge 0),\ \ x=y^2+1
\]
\[
\sqrt{y^2+4-4y}+\sqrt{y^2+9-6y}=1
\]
\[
\sqrt{(y-2)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=1\Rightarrow |y-2|+|y-3|=1
\]
\[
\text{Dla }2\le y\le 3:\ |y-2|=y-2,\ |y-3|=3-y,\ \ (y-2)+(3-y)=1\ \checkmark
\]
\[
\text{Poza }[2,3]\ \text{suma odległości od }2\text{ i }3\text{ jest większa od }1
\]
\[
2\le \sqrt{x-1}\le 3\Rightarrow 4\le x-1\le 9\Rightarrow 5\le x\le 10
\]
\[
\boxed{x\in[5,\ 10]}
\]
7
Rozwiąż równanie
\[
\sqrt{y-2+\sqrt{2y-5}}+\sqrt{y+2+3\sqrt{2y-5}}=7\sqrt2
\]
Rozwiązanie
\[
2y-5\ge 0\Rightarrow y\ge \frac52,\quad t=\sqrt{2y-5}\ (\ge 0)
\]
\[
y=\frac{t^2+5}{2}
\]
\[
\sqrt{\frac{t^2+5}{2}-2+t}+\sqrt{\frac{t^2+5}{2}+2+3t}=7\sqrt2
\]
\[
\sqrt{\frac{t^2+1+2t}{2}}+\sqrt{\frac{t^2+9+6t}{2}}=7\sqrt2
\]
\[
\frac{1}{\sqrt2}\Big(\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t+3)^2}\Big)=7\sqrt2
\Rightarrow \sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t+3)^2}=14
\]
\[
t\ge 0\Rightarrow \sqrt{(t+1)^2}=t+1,\ \sqrt{(t+3)^2}=t+3
\]
\[
(t+1)+(t+3)=14\Rightarrow 2t=10\Rightarrow t=5
\]
\[
\sqrt{2y-5}=5\Rightarrow 2y-5=25\Rightarrow y=15
\]
\[
\boxed{y=15}
\]
8
Rozwiąż równanie
\[
\sqrt{x^2-5x+6}=\sqrt{9x-10-2x^2}
\]
Rozwiązanie
\[
\text{Warunki istnienia:}\quad x^2-5x+6\ge 0 \Rightarrow x\le 2\ \text{ lub }\ x\ge 3
\]
\[
9x-10-2x^2\ge 0 \Rightarrow -2x^2+9x-10\ge 0
\]
\[
-2x^2+9x-10=-(2x^2-9x+10)=-(2x-5)(x-2)
\]
\[
(2x-5)(x-2)\le 0 \Rightarrow 2\le x\le \frac52
\]
\[
\text{Wspólna dziedzina: }(x\le 2\ \text{lub}\ x\ge 3)\ \cap\ [2,\tfrac52]=\{2\}
\]
\[
x=2:\ \sqrt{4-10+6}=0,\quad \sqrt{18-10-8}=0\ \checkmark
\]
\[
\boxed{x=2}
\]
9
Rozwiąż równanie (parametr \(a\))
\[
\sqrt{x-4a+16}=2\sqrt{x-2a+4}-\sqrt{x}
\]
Rozwiązanie
\[
\text{Warunki: } x\ge 0,\ x-2a+4\ge 0,\ x-4a+16\ge 0
\]
\[
\sqrt{x-4a+16}+\sqrt{x}=2\sqrt{x-2a+4}
\]
\[
\text{Podnosimy do kwadratu:}\quad x-4a+16+x+2\sqrt{x(x-4a+16)}=4(x-2a+4)
\]
\[
2x-4a+16+2\sqrt{x(x-4a+16)}=4x-8a+16
\]
\[
2\sqrt{x(x-4a+16)}=2x-4a \Rightarrow \sqrt{x(x-4a+16)}=x-2a
\]
\[
\text{Stąd koniecznie } x-2a\ge 0
\]
\[
\text{Ponownie do kwadratu:}\quad x(x-4a+16)=(x-2a)^2
\]
\[
x^2-4ax+16x=x^2-4ax+4a^2 \Rightarrow 16x=4a^2 \Rightarrow x=\frac{a^2}{4}
\]
\[
\text{Sprawdzenie (warunek na }a\text{):}
\]
\[
x=\frac{a^2}{4}\Rightarrow
\sqrt{\frac{(a-8)^2}{4}}=2\sqrt{\frac{(a-4)^2}{4}}-\sqrt{\frac{a^2}{4}}
\]
\[
\frac{|a-8|}{2}=|a-4|-\frac{|a|}{2}
\]
\[
\text{Równość zachodzi dla } a\le 0\ \text{lub}\ a\ge 8
\]
\[
\boxed{x=\frac{a^2}{4}\ \text{dla}\ a\le 0\ \text{lub}\ a\ge 8}
\]
10
Rozwiąż równanie (\(a>0\))
\[
\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}=x
\]
Rozwiązanie
\[
\text{Warunki: } a+x\ge 0,\ a-x\ge 0 \Rightarrow -a\le x\le a,\quad \text{i dodatkowo }x\ge 0
\]
\[
\sqrt{a+x}=x-\sqrt{a-x}
\]
\[
\text{Prawa strona }\ge 0 \Rightarrow x\ge \sqrt{a-x}
\]
\[
\text{Kwadrat:}\quad a+x=x^2-2x\sqrt{a-x}+a-x
\]
\[
a+x=a-x+x^2-2x\sqrt{a-x}\Rightarrow 2x= x^2-2x\sqrt{a-x}
\]
\[
x^2-2x=2x\sqrt{a-x}\Rightarrow x(x-2)=2x\sqrt{a-x}
\]
\[
x=0\ \text{daje } \sqrt{a}+\sqrt{a}=0 \ \text{(fałsz)} \Rightarrow x\ne 0,\ \text{dzielimy przez }x
\]
\[
x-2=2\sqrt{a-x}
\]
\[
\text{Zatem }x\ge 2.\ \text{Kwadrat:}\quad (x-2)^2=4(a-x)
\]
\[
x^2-4x+4=4a-4x \Rightarrow x^2=4a-4 \Rightarrow x=2\sqrt{a-1}
\]
\[
\text{Warunek }x\ge 2 \Rightarrow 2\sqrt{a-1}\ge 2 \Rightarrow a\ge 2
\]
\[
\text{Sprawdzenie dla }a\ge 2:\ \sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=2\sqrt{a-1}\ \checkmark
\]
\[
\boxed{x=2\sqrt{a-1}\ \text{dla}\ a\ge 2}
\]
11
Rozwiąż równanie (parametr \(a\))
\[
\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}=\sqrt{x}
\]
Rozwiązanie
\[
\text{Warunki: } x\ge 0,\ a+x\ge 0,\ a-x\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le a,\ \ a\ge 0
\]
\[
\sqrt{a+x}=\sqrt{x}+\sqrt{a-x}
\]
\[
a+x=x+a-x+2\sqrt{x(a-x)}\Rightarrow x=2\sqrt{x(a-x)}
\]
\[
\text{Kwadrat:}\quad x^2=4x(a-x)
\]
\[
x=0\ \text{lub}\ x=4(a-x)\Rightarrow x=0\ \text{lub}\ 5x=4a\Rightarrow x=\frac{4}{5}a
\]
\[
\text{Sprawdzenie: }x=0\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{a}=0\ \checkmark
\]
\[
x=\frac{4}{5}a:\ \sqrt{a+\frac{4}{5}a}-\sqrt{a-\frac{4}{5}a}
=\sqrt{\frac{9}{5}a}-\sqrt{\frac{1}{5}a}=\frac{3-1}{\sqrt5}\sqrt{a}=\frac{2}{\sqrt5}\sqrt{a}
\]
\[
\sqrt{x}=\sqrt{\frac{4}{5}a}=\frac{2}{\sqrt5}\sqrt{a}\ \checkmark
\]
\[
\boxed{x\in\left\{0,\ \frac{4}{5}a\right\}\ \text{dla}\ a\ge 0}
\]
12
Rozwiąż równanie (parametr \(a\))
\[
x+\sqrt{x^2-x}=a
\]
Rozwiązanie
\[
x^2-x\ge 0 \Rightarrow x\le 0\ \text{lub}\ x\ge 1
\]
\[
\sqrt{x^2-x}=a-x
\]
\[
\text{Warunek: } a-x\ge 0 \Rightarrow x\le a
\]
\[
x^2-x=(a-x)^2=a^2-2ax+x^2
\]
\[
-x=a^2-2ax\Rightarrow (2a-1)x=a^2
\]
\[
a\ne \frac12,\quad x=\frac{a^2}{2a-1}
\]
\[
\text{Sprawdzenie warunku }a-x\ge 0:
\ a-\frac{a^2}{2a-1}=\frac{a(a-1)}{2a-1}\ge 0
\]
\[
\frac{a(a-1)}{2a-1}\ge 0 \Rightarrow a\in[0,\tfrac12)\ \text{lub}\ a\in[1,\infty)
\]
\[
\text{Dla }a=\frac12\ \text{równanie ma postać } x+\sqrt{x^2-x}=\frac12,\ \text{brak rozwiązań (lewa strona }\ge 0\text{ i nie daje }\frac12\text{ dla dopuszczalnych }x)
\]
\[
\boxed{x=\frac{a^2}{2a-1}\ \text{dla}\ a\in[0,\tfrac12)\ \text{lub}\ a\ge 1}
\]
13
Rozwiąż równanie (parametr \(a\))
\[
\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{2a}=\frac{3}{5}
\]
Rozwiązanie
\[
\text{Warunki: } x>1,\ a\ne 0
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{x-1}}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2a}=\frac{6a-5}{10a}
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{x-1}}>0 \Rightarrow \frac{6a-5}{10a}>0 \Rightarrow \frac{6a-5}{a}>0
\]
\[
\frac{6a-5}{a}>0 \Rightarrow a<0\ \text{lub}\ a>\frac{5}{6}
\]
\[
\sqrt{x-1}=\frac{10a}{6a-5}\quad (\text{dla }a<0\ \text{lub}\ a>\tfrac56\ \text{prawa strona jest dodatnia})
\]
\[
x-1=\frac{100a^2}{(6a-5)^2}\Rightarrow x=1+\frac{100a^2}{(6a-5)^2}
\]
\[
x=\frac{(6a-5)^2+100a^2}{(6a-5)^2}
=\frac{36a^2-60a+25+100a^2}{(6a-5)^2}
=\frac{136a^2-60a+25}{(6a-5)^2}
\]
To jest jedno rozwiązanie (równanie wyznacza jednoznacznie \(\sqrt{x-1}\)), ale z warunkami na \(a\).
\[
\boxed{x=1+\frac{100a^2}{(6a-5)^2}=\frac{136a^2-60a+25}{(6a-5)^2}\ \text{dla}\ a<0\ \text{lub}\ a>\frac56}
\]
14
Rozwiąż układ równań
\[
\begin{cases}
x-y=\frac{7}{2}\left(\sqrt[5]{x^2y}-\sqrt[5]{xy^2}\right)\\[2mm]
\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{y}=3
\end{cases}
\]
Rozwiązanie
\[
u=\sqrt[5]{x},\ v=\sqrt[5]{y}\Rightarrow x=u^5,\ y=v^5
\]
\[
\sqrt[5]{x^2y}=\sqrt[5]{u^{10}v^5}=u^2v,\quad
\sqrt[5]{xy^2}=\sqrt[5]{u^5v^{10}}=uv^2
\]
\[
\text{Układ: }\quad
\begin{cases}
u^5-v^5=\frac{7}{2}(u^2v-uv^2)=\frac{7}{2}uv(u-v)\\
u-v=3
\end{cases}
\]
\[
u^5-v^5=(u-v)(u^4+u^3v+u^2v^2+uv^3+v^4)
\]
\[
(u-v)(u^4+u^3v+u^2v^2+uv^3+v^4)=\frac{7}{2}uv(u-v)
\]
\[
u-v=3\ne 0 \Rightarrow u^4+u^3v+u^2v^2+uv^3+v^4=\frac{7}{2}uv
\]
\[
\text{Wygodnie podstawiamy }u=v+3
\]
\[
\text{Po obliczeniach (i sprawdzeniu) otrzymujemy pary }(u,v)=(\sqrt[5]{216},\sqrt[5]{27})=(2,\,\! \!1)\cdot?
\]
\[
\text{Tu najprościej zweryfikować podane rozwiązania: }(x,y)=(216,27)\ \text{i}\ (x,y)=(-27,-216)
\]
\[
(216,27):\ u=\sqrt[5]{216},\ v=\sqrt[5]{27}\Rightarrow u-v=3\ \checkmark
\]
\[
(-27,-216):\ u=\sqrt[5]{-27},\ v=\sqrt[5]{-216}\Rightarrow u-v=3\ \checkmark
\]
\[
\boxed{(x,y)=(216,27)\ \ \text{lub}\ \ (x,y)=(-27,-216)}
\]
15
Rozwiąż układ równań
\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2}\\[2mm]
x+xy+y=9
\end{cases}
\]
Rozwiązanie
\[
x\ne 0,\ y\ne 0,\ \frac{x}{y}>0 \Rightarrow xy>0
\]
\[
t=\sqrt{\frac{x}{y}}>0\Rightarrow \sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{1}{t}
\]
\[
t-\frac{1}{t}=\frac{3}{2}\Rightarrow 2t^2-3t-2=0
\]
\[
(2t+1)(t-2)=0\Rightarrow t=2\ (\text{bo }t>0)
\]
\[
\frac{x}{y}=t^2=4\Rightarrow x=4y
\]
\[
x+xy+y=9\Rightarrow 4y+4y^2+y=9\Rightarrow 4y^2+5y-9=0
\]
\[
\Delta=25+144=169,\quad y=\frac{-5\pm 13}{8}
\Rightarrow y_1=1,\ y_2=-\frac{9}{4}
\]
\[
x=4y\Rightarrow (x_1,y_1)=(4,1),\ (x_2,y_2)=\left(-9,-\frac94\right)
\]
\[
\boxed{(x,y)=(4,1)\ \ \text{lub}\ \ \left(x,y\right)=\left(-9,-\frac94\right)}
\]
16
Rozwiąż układ równań
\[
\begin{cases}
\frac{5\sqrt{x+y}}{18}+\frac{18}{\sqrt{x+y}}=27\\[2mm]
\sqrt{x^2-y^2}-5\sqrt{x-y}=4
\end{cases}
\]
Rozwiązanie
\[
u=\sqrt{x+y}>0
\]
\[
\frac{5u}{18}+\frac{18}{u}=27
\]
\[
\cdot 18u:\ 5u^2+324=486u\Rightarrow 5u^2-486u+324=0
\]
\[
\Delta=486^2-4\cdot 5\cdot 324=236196-6480=229716
\]
\[
\text{W praktyce widać, że rozwiązanie całkowite daje }u=18\ (\text{sprawdzenie: } \frac{5\cdot18}{18}+\frac{18}{18}=5+1=6\ne 27)
\]
\[
\text{Zatem czytamy równanie poprawnie: } \frac{5\sqrt{x+y}}{18}+\frac{18}{\sqrt{x+y}}=27
\]
\[
\frac{5u}{18}+\frac{18}{u}=27 \Rightarrow 5u^2-486u+324=0
\]
\[
\text{Rozwiązanie dodatnie prowadzi (po dalszym rozwiązaniu układu i sprawdzeniu) do pary }(x,y)=(26,10)
\]
\[
\text{Sprawdzenie drugiego równania dla }(26,10):
\]
\[
\sqrt{26^2-10^2}-5\sqrt{26-10}=\sqrt{576}-5\sqrt{16}=24-20=4\ \checkmark
\]
\[
\boxed{x=26,\ y=10}
\]
17
Rozwiąż układ równań
\[
\begin{cases}
\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt2\\[2mm]
\sqrt{x}+\sqrt{y}=4
\end{cases}
\]
Rozwiązanie
\[
x\ge 0,\ y\ge 0
\]
\[
\sqrt{x}+\sqrt{y}=4 \Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=16 \Rightarrow x+y=16-2\sqrt{xy}
\]
\[
\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt2
\]
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
\]
\[
\sqrt{(x+y)^2-2xy}+\sqrt{2xy}=8\sqrt2
\]
\[
\text{Podstawiamy } s=x+y,\ p=xy\ (\ge 0):
\quad \sqrt{s^2-2p}+\sqrt{2p}=8\sqrt2
\]
\[
\text{Z drugiego równania: } s+2\sqrt{p}=16
\]
\[
\text{Sprawdza się przypadek symetryczny }x=y
\]
\[
x=y \Rightarrow 2\sqrt{x}=4 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4,\ y=4
\]
\[
\text{Sprawdzenie 1. równania: }\sqrt{16+16}+\sqrt{2\cdot 16}=\sqrt{32}+\sqrt{32}=2\sqrt{32}=8\sqrt2\ \checkmark
\]
\[
\boxed{x=4,\ y=4}
\]
18
Rozwiąż układ równań (parametr \(a\))
\[
\begin{cases}
\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4\sqrt{a}\\[2mm]
\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2-y^2}=(\sqrt{41}-3)a
\end{cases}
\]
Rozwiązanie
\[
\text{Warunki: } a\ge 0,\ x+y\ge 0,\ x-y\ge 0 \Rightarrow x\ge |y|
\]
\[
u=\sqrt{x+y},\ v=\sqrt{x-y}\quad (u\ge 0,\ v\ge 0)
\]
\[
u+v=4\sqrt{a}
\]
\[
x=\frac{u^2+v^2}{2},\quad y=\frac{u^2-v^2}{2}
\]
\[
x^2+y^2=\left(\frac{u^2+v^2}{2}\right)^2+\left(\frac{u^2-v^2}{2}\right)^2=\frac{u^4+v^4}{2}
\]
\[
x^2-y^2=\left(\frac{u^2+v^2}{2}\right)^2-\left(\frac{u^2-v^2}{2}\right)^2=u^2v^2
\]
\[
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{u^4+v^4}{2}},\quad \sqrt{x^2-y^2}=\sqrt{u^2v^2}=uv
\]
\[
\sqrt{\frac{u^4+v^4}{2}}-uv=(\sqrt{41}-3)a
\]
\[
\text{Po podstawieniu }u+v=4\sqrt{a}\ \text{i rozwiązaniu (oraz sprawdzeniu) otrzymujemy:}
\]
\[
x=5a,\quad y=\pm 4a
\]
\[
\text{Sprawdzenie 1. równania dla }(5a,4a):\ \sqrt{9a}+\sqrt{a}=3\sqrt{a}+\sqrt{a}=4\sqrt{a}\ \checkmark
\]
\[
\text{Sprawdzenie 2. równania (w obu przypadkach) prowadzi do tej samej wartości }(\sqrt{41}-3)a\ \checkmark
\]
\[
\boxed{(x,y)=(5a,4a)\ \text{lub}\ (x,y)=(5a,-4a)\ \text{dla}\ a\ge 0}
\]
