Równania wielomianowe
Wielomiany Odsłon: 144

RÓWNANIA WIELOMIANOWE

Zadania od poziomu podstawowego do mocno rozszerzonego. Rozwiązania są rozwijane pod każdym równaniem.

Podstawy

Równanie wielomianowe to równanie postaci \(\;P(x)=0\;\), gdzie \(\;P(x)\;\) jest wielomianem.

Jeśli \(\;P(x)=A(x)\cdot B(x)\;\), to z zasady iloczynu:

\[ A(x)\cdot B(x)=0 \iff A(x)=0 \;\;\text{lub}\;\; B(x)=0. \]

Gdy szukamy pierwiastków całkowitych/wymiernych, korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i sprawdzamy kandydatów (często mówimy "iksy podejrzane"), a następnie dzielimy wielomian schematem Hornera.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

Jeśli wielomian \(\;P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\;\) ma pierwiastek wymierny \(\;\frac{p}{q}\;\) w postaci nieskracalnej, to:

\[ p \mid a_0,\qquad q \mid a_n. \]

W szczególności, gdy \(a_n=1\), to każdy pierwiastek wymierny jest całkowity i dzieli wyraz wolny \(a_0\).

Zadanie 1

Rozwiąż równanie:

\[ (x-5)(x+2)=0 \]
Rozwiązanie
\[ (x-5)(x+2)=0 \iff x-5=0 \;\;\text{lub}\;\; x+2=0 \]
\[ x=5 \;\;\text{lub}\;\; x=-2 \]

Zadanie 2

Rozwiąż równanie:

\[ (2x-3)(x+7)=0 \]
Rozwiązanie
\[ (2x-3)(x+7)=0 \iff 2x-3=0 \;\;\text{lub}\;\; x+7=0 \]
\[ x=\frac{3}{2}\;\;\text{lub}\;\;x=-7 \]

Zadanie 3

Rozwiąż równanie:

\[ (x^2-9)(x-1)=0 \]
Rozwiązanie
\[ (x^2-9)(x-1)=0 \iff x^2-9=0 \;\;\text{lub}\;\; x-1=0 \]
\[ x^2-9=0 \iff (x-3)(x+3)=0 \iff x=3 \;\text{lub}\; x=-3 \]
\[ x-1=0 \iff x=1 \]
\[ x\in\{-3,1,3\} \]

Zadanie 4

Rozwiąż równanie:

\[ (x^2-5x)(x+4)=0 \]
Rozwiązanie
\[ (x^2-5x)(x+4)=0 \iff x^2-5x=0 \;\;\text{lub}\;\; x+4=0 \]
\[ x^2-5x=0 \iff x(x-5)=0 \iff x=0 \;\text{lub}\; x=5 \]
\[ x+4=0 \iff x=-4 \]
\[ x\in\{-4,0,5\} \]

Zadanie 5

Rozwiąż równanie:

\[ (x^2-4x+4)(x^3-8)=0 \]
Rozwiązanie
\[ (x^2-4x+4)(x^3-8)=0 \iff x^2-4x+4=0 \;\;\text{lub}\;\; x^3-8=0 \]
\[ x^2-4x+4=0 \iff (x-2)^2=0 \iff x=2 \]
\[ x^3-8=0 \iff x^3=8 \iff x=2 \]
\[ x=2 \]

Zadanie 6

Rozwiąż równanie:

\[ (x^2+3x-10)(x-6)=0 \]
Rozwiązanie
\[ (x^2+3x-10)(x-6)=0 \iff x^2+3x-10=0 \;\;\text{lub}\;\; x-6=0 \]
\[ x^2+3x-10=0 \iff (x+5)(x-2)=0 \iff x=-5 \;\text{lub}\; x=2 \]
\[ x-6=0 \iff x=6 \]
\[ x\in\{-5,2,6\} \]

Zadanie 7

Rozwiąż równanie:

\[ 3x^3-12x^2=0 \]
Rozwiązanie
\[ 3x^3-12x^2=0 \iff 3x^2(x-4)=0 \]
\[ 3x^2(x-4)=0 \iff 3x^2=0 \;\;\text{lub}\;\; x-4=0 \]
\[ x=0 \;\;\text{lub}\;\; x=4 \]

Zadanie 8

Rozwiąż równanie metodą grupowania:

\[ x^3-2x^2-9x+18=0 \]
Rozwiązanie
\[ x^3-2x^2-9x+18=(x^3-2x^2)+(-9x+18)=x^2(x-2)-9(x-2) \]
\[ x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3) \]
\[ (x-2)(x-3)(x+3)=0 \iff x-2=0 \;\text{lub}\; x-3=0 \;\text{lub}\; x+3=0 \]
\[ x\in\{-3,2,3\} \]

Zadanie 9

Rozwiąż równanie:

\[ x^3-27=0 \]
Rozwiązanie
\[ x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9) \]
\[ (x-3)(x^2+3x+9)=0 \iff x-3=0 \;\text{lub}\; x^2+3x+9=0 \]
\[ x-3=0 \iff x=3 \]
\[ x^2+3x+9=0,\quad \Delta=9-36=-27<0 \;\Rightarrow\; \text{brak rozwiązań rzeczywistych} \]
\[ x=3 \]

Zadanie 10

Rozwiąż równanie:

\[ x^3+8=0 \]
Rozwiązanie
\[ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) \]
\[ (x+2)(x^2-2x+4)=0 \iff x+2=0 \;\text{lub}\; x^2-2x+4=0 \]
\[ x=-2 \]
\[ x^2-2x+4=0,\quad \Delta=4-16=-12<0 \;\Rightarrow\; \text{brak rozwiązań rzeczywistych} \]
\[ x=-2 \]

Zadanie 11

Rozwiąż równanie (zastosuj pierwiastki całkowite i schemat Hornera):

\[ x^3-4x^2-x+4=0 \]
Rozwiązanie

Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\). Widzimy, że \(x=1\) daje \(1-4-1+4=0\), więc \(x=1\) jest pierwiastkiem.

Schemat Hornera dla \(x=1\)
1-4-14
1 ×1-3-4
1-3-40
\[ x^3-4x^2-x+4=(x-1)(x^2-3x-4) \]
\[ (x-1)(x^2-3x-4)=0 \iff x-1=0 \;\text{lub}\; x^2-3x-4=0 \]
\[ x-1=0 \iff x=1 \]
\[ x^2-3x-4=0 \iff (x-4)(x+1)=0 \iff x=4 \;\text{lub}\; x=-1 \]
\[ x\in\{-1,1,4\} \]

Zadanie 12

Rozwiąż równanie (pierwiastki wymierne + Horner):

\[ 2x^3-3x^2-8x+12=0 \]
Rozwiązanie

Kandydaci na pierwiastki wymierne: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12,\pm \frac12,\pm \frac32\).

Sprawdzenie daje \(x=2\): \(2\cdot 8-3\cdot 4-16+12=16-12-16+12=0\), więc \(x=2\) jest pierwiastkiem.

Schemat Hornera dla \(x=2\)
2-3-812
2 ×42-12
21-60
\[ 2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x^2+x-6) \]
\[ (x-2)(2x^2+x-6)=0 \iff x-2=0 \;\text{lub}\; 2x^2+x-6=0 \]
\[ x=2 \]
\[ 2x^2+x-6=0,\quad \Delta=1+48=49,\quad x=\frac{-1\pm 7}{4} \]
\[ x=\frac{3}{2}\;\;\text{lub}\;\;x=-2 \]
\[ x\in\left\{-2,\frac{3}{2},2\right\} \]

Zadanie 13

Rozwiąż równanie metodą grupowania:

\[ x^4-5x^3+2x-10=0 \]
Rozwiązanie
\[ x^4-5x^3+2x-10=(x^4-5x^3)+(2x-10)=x^3(x-5)+2(x-5) \]
\[ x^3(x-5)+2(x-5)=(x-5)(x^3+2) \]
\[ (x-5)(x^3+2)=0 \iff x-5=0 \;\text{lub}\; x^3+2=0 \]
\[ x=5 \;\;\text{lub}\;\; x=-\sqrt[3]{2} \]

Zadanie 14

Rozwiąż równanie:

\[ x^4-7x^2=0 \]
Rozwiązanie
\[ x^4-7x^2=x^2(x^2-7)=0 \]
\[ x^2(x^2-7)=0 \iff x^2=0 \;\text{lub}\; x^2-7=0 \]
\[ x=0 \;\;\text{lub}\;\; x=\pm\sqrt{7} \]

Zadanie 15

Rozwiąż równanie:

\[ (x+1)(x-2)(x^2+1)=0 \]
Rozwiązanie
\[ (x+1)(x-2)(x^2+1)=0 \iff x+1=0 \;\text{lub}\; x-2=0 \;\text{lub}\; x^2+1=0 \]
\[ x=-1 \;\text{lub}\; x=2 \]
\[ x^2+1=0 \;\Rightarrow\; \text{brak rozwiązań rzeczywistych} \]
\[ x\in\{-1,2\} \]

Zadanie 16

Rozwiąż:

\[(x^2-1)(x^2-16)=0\]
Rozwiązanie▾
\[ (x^2-1)(x^2-16)=0 \iff x^2-1=0 \;\text{lub}\; x^2-16=0 \]
\[ x=\pm 1 \;\text{lub}\; x=\pm 4 \]

Zadanie 17

Rozwiąż:

\[(x-3)^2(x+6)=0\]
Rozwiązanie▾
\[ (x-3)^2(x+6)=0 \iff (x-3)^2=0 \;\text{lub}\; x+6=0 \]
\[ x=3 \;\text{lub}\; x=-6 \]

Zadanie 18

Rozwiąż:

\[x^3-6x^2+11x-6=0\]
Rozwiązanie▾

Kandydaci całkowici: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\). Sprawdzenie daje \(x=1\): \(1-6+11-6=0\).

Schemat Hornera dla \(x=1\)
1-611-6
1×1-56
1-560
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
\[ (x-1)(x^2-5x+6)=0 \iff x-1=0 \;\text{lub}\; x^2-5x+6=0 \]
\[ x=1 \]
\[ x^2-5x+6=0 \iff (x-2)(x-3)=0 \iff x=2 \;\text{lub}\; x=3 \]
\[ x\in\{1,2,3\} \]

Zadanie 19

Rozwiąż metodą wyłączania przed nawias:

\[x^5-3x^3=0\]
Rozwiązanie▾
\[ x^5-3x^3=x^3(x^2-3)=0 \]
\[ x^3(x^2-3)=0 \iff x^3=0 \;\text{lub}\; x^2-3=0 \]
\[ x=0 \;\text{lub}\; x=\pm\sqrt{3} \]

Zadanie 20

Rozwiąż metodą grupowania:

\[2x^3+6x^2-8x-24=0\]
Rozwiązanie▾
\[ 2x^3+6x^2-8x-24=(2x^3+6x^2)+(-8x-24)=2x^2(x+3)-8(x+3) \]
\[ 2x^2(x+3)-8(x+3)=(x+3)(2x^2-8)=2(x+3)(x^2-4) \]
\[ 2(x+3)(x^2-4)=0 \iff x+3=0 \;\text{lub}\; x^2-4=0 \]
\[ x=-3 \;\text{lub}\; x=\pm 2 \]

Zadanie 21

Rozwiąż:

\[(x^2-6x+9)(x^2-2x-3)=0\]
Rozwiązanie▾
\[ (x^2-6x+9)(x^2-2x-3)=0 \iff x^2-6x+9=0 \;\text{lub}\; x^2-2x-3=0 \]
\[ x^2-6x+9=0 \iff (x-3)^2=0 \iff x=3 \]
\[ x^2-2x-3=0 \iff (x-3)(x+1)=0 \iff x=3 \;\text{lub}\; x=-1 \]
\[ x\in\{-1,3\} \]

Zadanie 22

Rozwiąż (Horner):

\[x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0\]
Rozwiązanie▾

Sprawdzamy dzielniki 12: \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12\). Dla \(x=2\): \(16-16-28+16+12=0\), więc \(x=2\).

Schemat Hornera dla \(x=2\)
1-2-7812
2×20-14-12
10-7-60
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12=(x-2)(x^3-7x-6) \]

Dalej sprawdzamy \(x^3-7x-6\). Dla \(x=3\): \(27-21-6=0\), więc \(x=3\).

Schemat Hornera dla \(x=3\)
10-7-6
3×396
1320
\[ x^3-7x-6=(x-3)(x^2+3x+2)=(x-3)(x+1)(x+2) \]
\[ (x-2)(x-3)(x+1)(x+2)=0 \]
\[ x=2 \;\text{lub}\; x=3 \;\text{lub}\; x=-1 \;\text{lub}\; x=-2 \]

Zadanie 23

Rozwiąż:

\[(x^3-1)(x^2-4x+4)=0\]
Rozwiązanie▾
\[ (x^3-1)(x^2-4x+4)=0 \iff x^3-1=0 \;\text{lub}\; x^2-4x+4=0 \]
\[ x^3-1=0 \iff x=1 \]
\[ x^2-4x+4=0 \iff (x-2)^2=0 \iff x=2 \]
\[ x\in\{1,2\} \]

Zadanie 24

Rozwiąż:

\[(x^2-11x+30)(x^2-1)=0\]
Rozwiązanie▾
\[ (x^2-11x+30)(x^2-1)=0 \iff x^2-11x+30=0 \;\text{lub}\; x^2-1=0 \]
\[ x^2-11x+30=0 \iff (x-5)(x-6)=0 \iff x=5 \;\text{lub}\; x=6 \]
\[ x^2-1=0 \iff (x-1)(x+1)=0 \iff x=1 \;\text{lub}\; x=-1 \]
\[ x\in\{-1,1,5,6\} \]

Zadanie 25

Rozwiąż w zależności od parametru \(m\):

\[ x^2-(m+3)x+3m=0 \]
Rozwiązanie▾
\[ \Delta=(m+3)^2-12m=m^2+6m+9-12m=m^2-6m+9=(m-3)^2 \]
\[ x=\frac{(m+3)\pm |m-3|}{2} \]
\[ x_1=\frac{(m+3)+(m-3)}{2}=m,\qquad x_2=\frac{(m+3)-(m-3)}{2}=3 \]
\[ \text{Dla każdego } m\in\mathbb{R}:\; x\in\{3,m\} \]
\[ \text{Gdy } m=3,\; \text{pierwiastek podwójny: } x=3 \]

Zadanie 26

Rozwiąż:

\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Rozwiązanie▾

Podstawienie \(t=x^3\).

\[ x^6-13x^3+36=0 \iff t^2-13t+36=0 \]
\[ t^2-13t+36=0 \iff (t-4)(t-9)=0 \iff t=4 \;\text{lub}\; t=9 \]
\[ x^3=4 \;\text{lub}\; x^3=9 \]
\[ x=\sqrt[3]{4} \;\text{lub}\; x=\sqrt[3]{9} \]

Zadanie 27

Rozwiąż:

\[ (x^2+2x-8)(x^2+4x+4)=0 \]
Rozwiązanie▾
\[ x^2+2x-8=0 \;\text{lub}\; x^2+4x+4=0 \]
\[ x^2+2x-8=0 \iff (x+4)(x-2)=0 \iff x=-4 \;\text{lub}\; x=2 \]
\[ x^2+4x+4=0 \iff (x+2)^2=0 \iff x=-2 \]
\[ x\in\{-4,-2,2\} \]

Zadanie 28

Rozwiąż metodą grupowania:

\[ x^3+4x^2-x-4=0 \]
Rozwiązanie▾
\[ x^3+4x^2-x-4=(x^3+4x^2)+(-x-4)=x^2(x+4)-1(x+4) \]
\[ x^2(x+4)-(x+4)=(x+4)(x^2-1)=(x+4)(x-1)(x+1) \]
\[ (x+4)(x-1)(x+1)=0 \iff x=-4 \;\text{lub}\; x=1 \;\text{lub}\; x=-1 \]

Zadanie 29

Rozwiąż (pierwiastki wymierne + Horner):

\[ x^3+2x^2-5x-6=0 \]
Rozwiązanie▾

Kandydaci: \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Dla \(x=2\): \(8+8-10-6=0\), więc \(x=2\).

Schemat Hornera dla \(x=2\)
12-5-6
2×286
1430
\[ x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3) \]
\[ (x-2)(x^2+4x+3)=0 \iff x-2=0 \;\text{lub}\; x^2+4x+3=0 \]
\[ x=2 \]
\[ x^2+4x+3=0 \iff (x+1)(x+3)=0 \iff x=-1 \;\text{lub}\; x=-3 \]
\[ x\in\{-3,-1,2\} \]

Zadanie 30

Rozwiąż:

\[ (x^2+1)^2-10(x^2+1)+9=0 \]
Rozwiązanie▾

Podstawienie \(t=x^2+1\).

\[ t^2-10t+9=0 \iff (t-1)(t-9)=0 \iff t=1 \;\text{lub}\; t=9 \]
\[ x^2+1=1 \;\text{lub}\; x^2+1=9 \]
\[ x^2=0 \Rightarrow x=0 \]
\[ x^2=8 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2} \]
\[ x\in\{-2\sqrt2,0,2\sqrt2\} \]

Zadanie 31

Rozwiąż:

\[ x^4+2x^3-x-2=0 \]
Rozwiązanie▾
\[ x^4+2x^3-x-2=(x^4+2x^3)+(-x-2)=x^3(x+2)-1(x+2) \]
\[ x^3(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^3-1)=(x+2)(x-1)(x^2+x+1) \]
\[ (x+2)(x-1)(x^2+x+1)=0 \]
\[ x=-2 \;\text{lub}\; x=1 \]
\[ x^2+x+1=0,\quad \Delta=1-4=-3<0 \Rightarrow \text{brak rozwiązań rzeczywistych} \]
\[ x\in\{-2,1\} \]

Zadanie 32

Rozwiąż:

\[ x^5-32=0 \]
Rozwiązanie▾
\[ x^5-32=0 \iff x^5=32 \iff x=2 \]

Zadanie 33

Rozwiąż (pierwiastki wymierne + Horner):

\[ 3x^3-5x^2-8x+4=0 \]
Rozwiązanie▾

Kandydaci: \(\pm1,\pm2,\pm4,\pm\frac13,\pm\frac23,\pm\frac43\). Dla \(x=2\): \(24-20-16+4=-8\). Dla \(x=\frac{1}{3}\): \(3\cdot\frac{1}{27}-5\cdot\frac{1}{9}-8\cdot\frac{1}{3}+4=\frac{1}{9}-\frac{5}{9}-\frac{8}{3}+4=0\), więc \(x=\frac13\).

Schemat Hornera dla \(x=\frac13\)
\[ \text{Dla wygody mnożymy równanie przez }3:\quad 9x^3-15x^2-24x+12=0 \]
9-15-2412
\(\frac13\)×3-4-\(\frac{28}{3}\)
9-12-280
\[ 9x^3-15x^2-24x+12=(3x-1)(3x^2-4x-12) \]
\[ (3x-1)(3x^2-4x-12)=0 \iff 3x-1=0 \;\text{lub}\; 3x^2-4x-12=0 \]
\[ 3x-1=0 \iff x=\frac13 \]
\[ 3x^2-4x-12=0,\quad \Delta=16+144=160,\quad x=\frac{4\pm 4\sqrt{10}}{6}=\frac{2\pm 2\sqrt{10}}{3} \]
\[ x\in\left\{\frac13,\frac{2-2\sqrt{10}}{3},\frac{2+2\sqrt{10}}{3}\right\} \]

Zadanie 34

Rozwiąż:

\[ x^4-6x^2+8x-3=0 \]
Rozwiązanie▾

Sprawdzamy kandydatów całkowitych: \(\pm1,\pm3\). Dla \(x=1\): \(1-6+8-3=0\), więc \(x=1\).

Schemat Hornera dla \(x=1\)
10-68-3
1×11-53
11-530
\[ x^4-6x^2+8x-3=(x-1)(x^3+x^2-5x+3) \]

Dalej sprawdzamy \(x^3+x^2-5x+3\). Dla \(x=1\): \(1+1-5+3=0\), więc znowu \(x=1\).

Schemat Hornera dla \(x=1\)
11-53
1×12-3
12-30
\[ x^3+x^2-5x+3=(x-1)(x^2+2x-3)=(x-1)(x+3)(x-1) \]
\[ x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3) \]
\[ (x-1)^3(x+3)=0 \iff (x-1)^3=0 \;\text{lub}\; x+3=0 \]
\[ x=1 \;\text{lub}\; x=-3 \]

Related Articles

Wielomiany - definicje i twierdzenia

logo 2022 joomla footer