WIELOMIANY
Najważniejsze informacje o wielomianach – definicje, twierdzenia i własności, które przydają się zarówno na lekcjach, jak i na maturze.
Po co nam wielomiany?
Wielomiany to jedne z najważniejszych „klocków” w matematyce. Pojawiają się w:
- opisie ruchu (tor lotu piłki, tory planet – przybliżenia wielomianowe),
- modelowaniu zjawisk fizycznych (prąd, napięcie, drgania),
- ekonomii (modele wzrostu, zysku, kosztów),
- informatyce (algorytmy, kryptografia, interpolacja).
Wielomiany – definicje i twierdzenia
1
DEFINICJA
Wielomian stopnia n
Wielomianem stopnia n jednej zmiennej x nazywamy funkcję określoną wzorem:
\[
W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0
\]
gdzie:
\[
n\in\mathbb{N},\quad a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R},\quad a_n\neq 0.
\]
Liczby \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) nazywamy współczynnikami wielomianu, a \(a_0\) – wyrazem wolnym.
To po prostu „zwykłe” wyrażenie typu \(2x^3-5x+1\), tylko zapisane w ogólnej postaci.
2
RÓWNOŚĆ WIELOMIANÓW
Kiedy dwa wielomiany są równe?
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
- są tego samego stopnia,
- mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Jeśli wszystkie współczynniki są takie same, to choćby zapis wyglądał inaczej – to ten sam wielomian.
3
PODZIELNOŚĆ
Podzielność wielomianów
Wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez wielomian \(P(x)\neq 0\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(Q(x)\) taki, że:
\[
W(x)=P(x)\cdot Q(x).
\]
Dokładnie jak dla liczb: „\(P\) jest podzielny przez \(Q\)” oznacza „\(P=Q\cdot R\)” dla pewnego \(R\).
4
ALGORYTM DZIELENIA
Dzielenie wielomianów z resztą
Jeżeli \(W(x)\) i \(P(x)\) są wielomianami oraz \(P(x)\neq 0\), to istnieją jednoznacznie wyznaczone wielomiany \(Q(x)\) i \(R(x)\) takie, że:
\[
W(x)=Q(x)\cdot P(x)+R(x),
\]
przy czym albo \(R(x)=0\), albo stopień wielomianu \(R(x)\) jest mniejszy niż stopień wielomianu \(P(x)\).
To odpowiednik dzielenia pisemnego liczb: iloraz i reszta.
5
ILORAZ I RESZTA
Oznaczenia przy dzieleniu
\[
\frac{W(x)}{P(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{P(x)}.
\]
\(Q(x)\) – iloraz, \(\;R(x)\) – reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \(P(x)\).
6
PIERWIASTKI
Pierwiastki (miejsca zerowe)
Każdą liczbę \(r\), dla której
\[
W(r)=0,
\]
nazywamy pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu \(W(x)\).
To liczby, dla których wykres wielomianu przecina oś \(OX\).
7
LICZBA PIERWIASTKÓW
Maksymalna liczba pierwiastków
Wielomian stopnia \(n\) ma co najwyżej \(n\) pierwiastków.
8
WŁASNOŚĆ OGÓLNA
Wielomian nieparzystego stopnia
Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek.
9
TWIERDZENIE BEZOUTA
Związek pierwiastka z dzieleniem
Twierdzenie Bezouta: liczba \(r\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \((x-r)\).
\[
\text{Reszta z dzielenia } W(x) \text{ przez } (x-r) \text{ jest równa } W(r).
\]
10
PIERWIASTKI CAŁKOWITE
Związek z wyrazem wolnym
Jeżeli liczba całkowita \(r\neq 0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) o współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
11
PIERWIASTKI WYMIERNE
Kryterium pierwiastka wymiernego
Jeżeli ułamek nieskracalny \(\dfrac{p}{q}\), gdzie \(p,q\in\mathbb{Z}\) i \(q\neq 0\), jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) o współczynnikach całkowitych, to:
- licznik \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\),
- mianownik \(q\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze \(a_n\).
12
POSTAĆ ILOCZYNOWA
Rozkład na czynniki
Postać iloczynowa wielomianu:
\[
W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n),
\]
gdzie liczby \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x)\) stopnia \(n\).
13
PIERWIASTKI WIELOKROTNE
k-krotny pierwiastek wielomianu
Liczbę \(r\) nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) stopnia \(n\), gdy dla:
\[
(k,n\in\mathbb{N}\ \wedge\ k\le n)
\]
wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \((x-r)^k\) i nie jest podzielny przez \((x-r)^{k+1}\).
