WIELOMIANY
Temat: Obliczanie wartości wielomianu – dużo przykładów z podstawieniami: liczby całkowite, ułamki, pierwiastki i wyrażenia typu \(\sqrt2-1\).
Jak obliczać wartość wielomianu?
Aby obliczyć wartość wielomianu \(W(x)\) dla \(x=a\):
- podstaw \(x=a\),
- zachowaj nawiasy (szczególnie dla liczb ujemnych i ułamków),
- policz potęgi, następnie wykonaj mnożenia i dodawania,
- na końcu uporządkuj wynik.
Najczęstszy błąd: brak nawiasów, np. \(x=-2\) podstawiamy jako \((-2)^2\), a nie \(-2^2\).
Przykłady (24)
1
PODSTAWIENIE
Oblicz \(W(2)\)
Dane:
\[
W(x)=3x^2-5x+1
\]
\[
\begin{aligned}
W(2)&=3\cdot 2^2-5\cdot 2+1\\
&=3\cdot 4-10+1\\
&=12-10+1=3
\end{aligned}
\]
2
LICZBA UJEMNA
Oblicz \(W(-3)\)
\[
W(x)=x^3-2x^2+x-4
\]
\[
\begin{aligned}
W(-3)&=(-3)^3-2(-3)^2+(-3)-4\\
&=-27-2\cdot 9-3-4\\
&=-27-18-3-4=-52
\end{aligned}
\]
3
UŁAMEK
Oblicz \(W\!\left(\frac12\right)\)
\[
W(x)=4x^2-3x+2
\]
\[
\begin{aligned}
W\!\left(\frac12\right)&=4\left(\frac12\right)^2-3\left(\frac12\right)+2\\
&=4\cdot\frac14-\frac32+2\\
&=1-\frac32+2=\frac32
\end{aligned}
\]
4
UŁAMEK UJEMNY
Oblicz \(W\!\left(-\frac23\right)\)
\[
W(x)=9x^2+6x+1
\]
\[
\begin{aligned}
W\!\left(-\frac23\right)&=9\left(-\frac23\right)^2+6\left(-\frac23\right)+1\\
&=9\cdot\frac49-4+1\\
&=4-4+1=1
\end{aligned}
\]
5
PIERWIASTEK
Oblicz \(W(\sqrt{3})\)
\[
W(x)=x^2-3
\]
\[
\begin{aligned}
W(\sqrt3)&=(\sqrt3)^2-3\\
&=3-3=0
\end{aligned}
\]
6
PIERWIASTEK
Oblicz \(W(-\sqrt{2})\)
\[
W(x)=2x^2+5
\]
\[
\begin{aligned}
W(-\sqrt2)&=2(-\sqrt2)^2+5\\
&=2\cdot 2+5=9
\end{aligned}
\]
7
WYRAŻENIE
Oblicz \(W(\sqrt2-1)\)
\[
W(x)=x^2+2x
\]
\[
\begin{aligned}
W(\sqrt2-1)
&=(\sqrt2-1)^2+2(\sqrt2-1)\\
&=(2-2\sqrt2+1)+(2\sqrt2-2)\\
&=3-2\sqrt2+2\sqrt2-2=1
\end{aligned}
\]
8
WYRAŻENIE
Oblicz \(W(\sqrt5+1)\)
\[
W(x)=x^2-2x
\]
\[
\begin{aligned}
W(\sqrt5+1)
&=(\sqrt5+1)^2-2(\sqrt5+1)\\
&=(5+2\sqrt5+1)-(2\sqrt5+2)\\
&=6+2\sqrt5-2\sqrt5-2=4
\end{aligned}
\]
9
LICZBA 0
Oblicz \(W(0)\)
\[
W(x)=7x^4-3x^2+x-9
\]
\[
W(0)=7\cdot 0-3\cdot 0+0-9=-9
\]
10
DUŻA LICZBA
Oblicz \(W(10)\)
\[
W(x)=x^2-20x+99
\]
\[
\begin{aligned}
W(10)&=10^2-20\cdot 10+99\\
&=100-200+99=-1
\end{aligned}
\]
11
UŁAMEK
Oblicz \(W\!\left(\frac34\right)\)
\[
W(x)=16x^2-8x+1
\]
\[
\begin{aligned}
W\!\left(\frac34\right)
&=16\left(\frac34\right)^2-8\left(\frac34\right)+1\\
&=16\cdot\frac{9}{16}-6+1\\
&=9-6+1=4
\end{aligned}
\]
12
UŁAMEK
Oblicz \(W\!\left(-\frac12\right)\)
\[
W(x)=8x^3+2x
\]
\[
\begin{aligned}
W\!\left(-\frac12\right)
&=8\left(-\frac12\right)^3+2\left(-\frac12\right)\\
&=8\left(-\frac18\right)-1\\
&=-1-1=-2
\end{aligned}
\]
13
PIERWIASTEK
Oblicz \(W(\sqrt2)\)
\[
W(x)=x^4-4x^2+4
\]
\[
\begin{aligned}
W(\sqrt2)&=(\sqrt2)^4-4(\sqrt2)^2+4\\
&=4-8+4=0
\end{aligned}
\]
14
LICZBA UJEMNA
Oblicz \(W(-1)\)
\[
W(x)=2x^5-x^3+4x-7
\]
\[
\begin{aligned}
W(-1)&=2(-1)^5-(-1)^3+4(-1)-7\\
&=-2-(-1)-4-7\\
&=-2+1-4-7=-12
\end{aligned}
\]
15
LICZBA 1
Oblicz \(W(1)\)
\[
W(x)=x^4-3x^3+3x^2-x
\]
\[
W(1)=1-3+3-1=0
\]
16
WYRAŻENIE
Oblicz \(W(1-\sqrt3)\)
\[
W(x)=x^2-2x+1
\]
\[
\begin{aligned}
W(1-\sqrt3)
&=(1-\sqrt3)^2-2(1-\sqrt3)+1\\
&=(1-2\sqrt3+3)-(2-2\sqrt3)+1\\
&=4-2\sqrt3-2+2\sqrt3+1=3
\end{aligned}
\]
17
UŁAMEK
Oblicz \(W\!\left(\frac{5}{2}\right)\)
\[
W(x)=4x^2-20x+25
\]
\[
\begin{aligned}
W\!\left(\frac52\right)
&=4\left(\frac52\right)^2-20\left(\frac52\right)+25\\
&=4\cdot\frac{25}{4}-50+25\\
&=25-50+25=0
\end{aligned}
\]
18
PIERWIASTEK
Oblicz \(W(2\sqrt2)\)
\[
W(x)=x^2-8
\]
\[
\begin{aligned}
W(2\sqrt2)&=(2\sqrt2)^2-8\\
&=8-8=0
\end{aligned}
\]
19
WYRAŻENIE
Oblicz \(W(\sqrt2+1)\)
\[
W(x)=x^2-2x
\]
\[
\begin{aligned}
W(\sqrt2+1)
&=(\sqrt2+1)^2-2(\sqrt2+1)\\
&=(2+2\sqrt2+1)-(2\sqrt2+2)\\
&=3+2\sqrt2-2\sqrt2-2=1
\end{aligned}
\]
20
LICZBA UJEMNA
Oblicz \(W(-4)\)
\[
W(x)=x^3+4x^2-16
\]
\[
\begin{aligned}
W(-4)&=(-4)^3+4(-4)^2-16\\
&=-64+4\cdot 16-16\\
&=-64+64-16=-16
\end{aligned}
\]
21
UŁAMEK
Oblicz \(W\!\left(\frac{1}{3}\right)\)
\[
W(x)=27x^3-9x+2
\]
\[
\begin{aligned}
W\!\left(\frac13\right)
&=27\left(\frac13\right)^3-9\left(\frac13\right)+2\\
&=27\cdot\frac{1}{27}-3+2\\
&=1-3+2=0
\end{aligned}
\]
22
WYRAŻENIE
Oblicz \(W\!\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)\)
\[
W(x)=4x^2-4x+1
\]
\[
\begin{aligned}
W\!\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)
&=4\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)^2-4\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)+1\\
&=(1-\sqrt3)^2-2(1-\sqrt3)+1\\
&=(1-2\sqrt3+3)-(2-2\sqrt3)+1\\
&=4-2\sqrt3-2+2\sqrt3+1=3
\end{aligned}
\]
23
PIERWIASTEK
Oblicz \(W(\sqrt7)\)
\[
W(x)=x^2+2x\sqrt7
\]
\[
\begin{aligned}
W(\sqrt7)&=(\sqrt7)^2+2(\sqrt7)\sqrt7\\
&=7+2\cdot 7\\
&=21
\end{aligned}
\]
24
DWUMIAN
Oblicz \(W(\sqrt2-1)\)
\[
W(x)=x^3+3x^2+3x+1
\]
\[
\begin{aligned}
W(\sqrt2-1)
&=(\sqrt2-1)^3+3(\sqrt2-1)^2+3(\sqrt2-1)+1\\
&=(\sqrt2-1+1)^3\\
&=(\sqrt2)^3=2\sqrt2
\end{aligned}
\]
Zauważ: \(x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3\), więc liczenie jest błyskawiczne.
