WIELOMIANY
Temat: Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów. Zasady + dużo przykładów (ponad 20).
Dodawanie i odejmowanie wielomianów – zasada
Dodając lub odejmując wielomiany:
- zapisz sumę lub różnicę w jednym wierszu,
- usuń nawiasy (przy odejmowaniu uważaj na znaki),
- zredukuj wyrazy podobne (czyli te same potęgi zmiennej).
Przy odejmowaniu: minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w nawiasie.
Mnożenie wielomianów – zasada
Aby pomnożyć wielomiany:
- pomnóż każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego,
- zsumuj otrzymane iloczyny,
- na końcu zredukuj wyrazy podobne.
Najwygodniej pilnować porządku: najpierw rozpisz nawiasy, potem dopiero redukuj.
Przykłady – dodawanie i odejmowanie (13)
1
DODAWANIE
Oblicz \(W(x)+G(x)\)
\[
W(x)=4x^3-2x^2+7x-5,\qquad G(x)=3x^3+5x^2-9x+1
\]
\[
\begin{aligned}
W(x)+G(x)
&=\left(4x^3-2x^2+7x-5\right)+\left(3x^3+5x^2-9x+1\right)\\
&=7x^3+3x^2-2x-4
\end{aligned}
\]
2
ODEJMOWANIE
Oblicz \(P(x)-Q(x)\)
\[
P(x)=2x^4-3x^2+8,\qquad Q(x)=x^4+5x^2-6x+1
\]
\[
\begin{aligned}
P(x)-Q(x)
&=\left(2x^4-3x^2+8\right)-\left(x^4+5x^2-6x+1\right)\\
&=2x^4-3x^2+8-x^4-5x^2+6x-1\\
&=x^4-8x^2+6x+7
\end{aligned}
\]
3
DODAWANIE
Zredukuj wyrazy podobne
\[
(7x^2-4x+9)+(2x^2+11x-3)
\]
\[
9x^2+7x+6
\]
4
ODEJMOWANIE
Uważaj na minus przed nawiasem
\[
(3x^3+2x-1)-(5x^3-4x+6)
\]
\[
\begin{aligned}
&=3x^3+2x-1-5x^3+4x-6\\
&=-2x^3+6x-7
\end{aligned}
\]
5
DODAWANIE
Wielomiany z „luką” w stopniach
\[
(x^5-4x^2+3)+(2x^5+x^3+7x-10)
\]
\[
3x^5+x^3-4x^2+7x-7
\]
6
ODEJMOWANIE
Różnica wielomianów
\[
(6x^4-x^3+2x^2-9)-\left(4x^4+3x^3-x^2+5\right)
\]
\[
\begin{aligned}
&=6x^4-x^3+2x^2-9-4x^4-3x^3+x^2-5\\
&=2x^4-4x^3+3x^2-14
\end{aligned}
\]
7
DODAWANIE
Porządkowanie na końcu
\[
(5-2x+4x^2)+(3x-7x^2+1)
\]
\[
-3x^2+x+6
\]
8
ODEJMOWANIE
Dwa nawiasy
\[
(2x^2-3x+4)-(-x^2+5x-9)
\]
\[
\begin{aligned}
&=2x^2-3x+4+x^2-5x+9\\
&=3x^2-8x+13
\end{aligned}
\]
9
DODAWANIE
Współczynniki ułamkowe
\[
\left(\frac12x^2-\frac34x+2\right)+\left(\frac32x^2+\frac14x-5\right)
\]
\[
2x^2-\frac12x-3
\]
10
ODEJMOWANIE
Ułamki i porządkowanie
\[
\left(\frac23x^3-\frac12x+1\right)-\left(\frac13x^3+\frac32x-4\right)
\]
\[
\frac13x^3-2x+5
\]
11
DODAWANIE
Dwie zmienne
\[
(2x^2y-3xy^2+4y)+(x^2y+5xy^2-7y)
\]
\[
3x^2y+2xy^2-3y
\]
12
ODEJMOWANIE
Redukcja do stałej
\[
(x^3-4x+7)-(x^3-4x+2)
\]
\[
5
\]
13
DODAWANIE
Trzy wielomiany naraz
\[
(x^2-2x+1)+(3x^2+x-5)+(-2x^2+4x+2)
\]
\[
2x^2+3x-2
\]
Przykłady – mnożenie wielomianów (13)
14
MNOŻENIE
Dwumian razy trójmian
\[
(3x-2)(x^2+4x-1)
\]
\[
\begin{aligned}
(3x-2)(x^2+4x-1)
&=3x(x^2+4x-1)-2(x^2+4x-1)\\
&=3x^3+12x^2-3x-2x^2-8x+2\\
&=3x^3+10x^2-11x+2
\end{aligned}
\]
15
MNOŻENIE
Dwa dwumiany
\[
(2x+5)(x-3)
\]
\[
(2x+5)(x-3)=2x^2-6x+5x-15=2x^2-x-15
\]
16
MNOŻENIE
Trójmian razy trójmian
\[
(x^2-x+2)(x^2+3x-1)
\]
\[
\begin{aligned}
(x^2-x+2)(x^2+3x-1)
&=x^2(x^2+3x-1)-x(x^2+3x-1)+2(x^2+3x-1)\\
&=x^4+3x^3-x^2-x^3-3x^2+x+2x^2+6x-2\\
&=x^4+2x^3-2x^2+7x-2
\end{aligned}
\]
17
MNOŻENIE
Wielomian razy jednomian
\[
-4x^3\,(2x^2-5x+7)
\]
\[
-4x^3(2x^2-5x+7)=-8x^5+20x^4-28x^3
\]
18
MNOŻENIE
Dwa wielomiany wyższych stopni
\[
(x^3+2x-1)(x^2-3)
\]
\[
\begin{aligned}
(x^3+2x-1)(x^2-3)
&=x^3(x^2-3)+2x(x^2-3)-1(x^2-3)\\
&=x^5-3x^3+2x^3-6x-x^2+3\\
&=x^5-x^3-x^2-6x+3
\end{aligned}
\]
19
MNOŻENIE
Ułamkowe współczynniki
\[
\left(\frac12x-3\right)(4x^2-x+2)
\]
\[
\begin{aligned}
\left(\frac12x-3\right)(4x^2-x+2)
&=\frac12x(4x^2-x+2)-3(4x^2-x+2)\\
&=2x^3-\frac12x^2+x-12x^2+3x-6\\
&=2x^3-\frac{25}{2}x^2+4x-6
\end{aligned}
\]
20
MNOŻENIE
Iloczyn z minusem
\[
(x-4)(-2x^2+x+3)
\]
\[
\begin{aligned}
(x-4)(-2x^2+x+3)
&=x(-2x^2+x+3)-4(-2x^2+x+3)\\
&=-2x^3+x^2+3x+8x^2-4x-12\\
&=-2x^3+9x^2-x-12
\end{aligned}
\]
21
MNOŻENIE
Dwa zmienne
\[
(x^2-2y)(x+y)
\]
\[
(x^2-2y)(x+y)=x^3+x^2y-2xy-2y^2
\]
22
MNOŻENIE
Trzy składniki w jednym nawiasie
\[
(2x+1)(x^2-5x+6)
\]
\[
(2x+1)(x^2-5x+6)=2x^3-10x^2+12x+x^2-5x+6=2x^3-9x^2+7x+6
\]
23
MNOŻENIE
Wielomiany z „luką”
\[
(x^4-2x+3)(x-1)
\]
\[
(x^4-2x+3)(x-1)=x^5-x^4-2x^2+2x+3x-3=x^5-x^4-2x^2+5x-3
\]
24
MNOŻENIE
Dwa trójmiany – proste współczynniki
\[
(x^2+2x+1)(x^2-2x+3)
\]
\[
\begin{aligned}
(x^2+2x+1)(x^2-2x+3)
&=x^2(x^2-2x+3)+2x(x^2-2x+3)+1(x^2-2x+3)\\
&=x^4-2x^3+3x^2+2x^3-4x^2+6x+x^2-2x+3\\
&=x^4+0x^3+0x^2+4x+3\\
&=x^4+4x+3
\end{aligned}
\]
25
MNOŻENIE
Wielomian razy wielomian – porządkowanie
\[
(x^3-3x^2+2)(2x^2+x-4)
\]
\[
\begin{aligned}
(x^3-3x^2+2)(2x^2+x-4)
&=x^3(2x^2+x-4)-3x^2(2x^2+x-4)+2(2x^2+x-4)\\
&=2x^5+x^4-4x^3-6x^4-3x^3+12x^2+4x^2+2x-8\\
&=2x^5-5x^4-7x^3+16x^2+2x-8
\end{aligned}
\]
26
MNOŻENIE
Iloczyn z wyrazem ujemnym w nawiasie
\[
(x+2)(-x^3+4x-5)
\]
\[
(x+2)(-x^3+4x-5)=x(-x^3+4x-5)+2(-x^3+4x-5)=-x^4-2x^3+4x^2+3x-10
\]
