Proste równoległe
Warunek równoległości
Rozważmy dwie proste w postaci kierunkowej:
\[
y=a_1x+b_1 \quad \text{oraz} \quad y=a_2x+b_2
\]
Proste te są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy:
\[
a_1=a_2
\]
Interpretacja: współczynnik kierunkowy \(a\) określa „nachylenie” prostej.
Jeśli nachylenie jest takie samo, proste nigdy się nie przetną — są równoległe.
Uwaga: wyrazy wolne \(b_1\) i \(b_2\) mogą być różne — wtedy proste są różne, ale równoległe.
Zadania
1
Proste \(y=(2m+4)x-10\) oraz \(y=(3m-2)x+6\) są równoległe. Oblicz \(m\).
🔍 Rozwiązanie
Krok 1. Odczytujemy współczynniki kierunkowe prostych.
\[
a_1=2m+4,\quad a_2=3m-2
\]
Krok 2. Warunek równoległości: współczynniki muszą być równe.
\[
2m+4=3m-2
\]
Krok 3. Rozwiązujemy równanie.
\[
4+2=3m-2m
\]
\[
6=m
\]
Odpowiedź: \(m=6\).
2
Proste \(y=4x-3\) oraz \(y=\frac{m-1}{2}x+5\) są równoległe. Oblicz \(m\).
🔍 Rozwiązanie
Krok 1. Współczynniki kierunkowe:
\[
a_1=4,\quad a_2=\frac{m-1}{2}
\]
Krok 2. Przyrównujemy.
\[
4=\frac{m-1}{2}
\]
Krok 3. Mnożymy przez 2.
\[
8=m-1
\]
\[
m=9
\]
Odpowiedź: \(m=9\).
3
Wyznacz równanie prostej równoległej do \(2x-y-7=0\), przechodzącej przez punkt \(P=(2,3)\).
🔍 Rozwiązanie
Krok 1. Sprowadzamy równanie do postaci kierunkowej.
\[
y=2x-7
\]
Krok 2. Prosta równoległa ma taki sam współczynnik kierunkowy.
\[
y=2x+b
\]
Krok 3. Podstawiamy punkt \(P\).
\[
3=4+b
\]
\[
b=-1
\]
Krok 4. Zapisujemy wynik.
\[
y=2x-1
\]
Odpowiedź: \(y=2x-1\).
4
Prosta równoległa do \(y=-\frac{1}{3}x+2\) przechodzi przez punkt \(P=(3,-1)\). Wyznacz jej równanie.
🔍 Rozwiązanie
Krok 1. Zapisujemy równanie prostej.
\[
y=-\frac{1}{3}x+b
\]
Krok 2. Podstawiamy punkt.
\[
-1=-1+b
\]
\[
b=0
\]
Krok 3. Wynik.
\[
y=-\frac{1}{3}x
\]
Odpowiedź: \(y=-\frac{1}{3}x\).
5
Sprawdź, czy proste \(3x+2y-4=0\) oraz \(6x+4y+7=0\) są równoległe.
🔍 Rozwiązanie
Krok 1. Sprowadzamy do postaci kierunkowej.
\[
y=-\frac{3}{2}x+2
\]
\[
y=-\frac{3}{2}x-\frac{7}{4}
\]
Krok 2. Porównujemy współczynniki.
\[
a_1=a_2=-\frac{3}{2}
\]
Wniosek: proste są równoległe.
