GRANICA FUNKCJI - DEFINICJE I TWIERDZENIA
Definicja granicy funkcji według Heinego
Liczbę \(g\) nazywamy granicą funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_{0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu \(\left(x_{n}\right)\) o wyrazach \(x_{n} \in S\), zbieżnego do \(x_{0}\), ciąg wartości funkcji \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest zbieżny do \(g\), co zapisujemy
\[
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)= &g \Longleftrightarrow\forall\left(x_{n}\right) \forall n \in \mathcal{N}, x_{n} \in S \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0} \Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=g
\end{aligned}
\]
Definicja granicy funkcji według Cauchy'ego
Liczbę \(g\) nazywamy granicą funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_{0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\varepsilon>0\) istnieje liczba \(\delta>0\) taka, że dla każdego argumentu x spełniającego nierówność \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) zachodzi nierówność \(|f(x)-g|<\varepsilon\), co zapisujemy
\[
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) &=g \Longleftrightarrow\left(\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\left(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\right)\right) \Longrightarrow(|f(x)-g|<\varepsilon)
\end{aligned}
\]
Definicja Heinego jest równoważna Definicji Cauchy'ego. Granice \(g \in \mathcal{R}\) nazywamy granicą wtaściwą.
Twierdzenie
Jeżeli
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=g \quad i \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} h(x)=p, \text { to }
\]
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \pm h(x)]=g \pm p
\]
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot h(x)]=g \cdot p
\]
oraz przy dodatkowym założeniu, że \(p \neq 0\)
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{h(x)}=\frac{g}{p}
\]
Twierdzenie - granica funkcji złożonej
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=y_{0} \quad i \quad \lim _{y \rightarrow y_{0}} h(y)=g\) oraz \(f(x) \neq y_{0}\) dla każdego \(x\) z pewnego sąsiedztwa punktu \(x_{0}\), to
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}} h(f(x))=\lim _{y \rightarrow y_{0}} h(y)=g
\]
Definicjagranicy niewłaściwej w punkcie według Heinego
Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę niewłaściwą \(+\infty\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciagu \(\left(x_{n}\right)\) o wyrazach \(x_{n} \in S\) i zbieżnego do \(x_{0}\), ciąg \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest rozbieżny do \(+\infty\).
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty
\]
Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę niewłaściwą \(-\infty\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciagu \(\left(x_{n}\right)\) o wyrazach \(x_{n} \in S\) i zbieżnego do \(x_{0}\), ciag \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest rozbieżny do \(-\infty\)
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty
\]
Definicja granicy niewłaściwej w punkcie według Cauchy'ego
Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę niewłaściwą \(+\infty\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(M\) istnieje liczba \(\delta>0\) taka, że dla każego argumentu \(x\) spełniającego nierówność \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) zachodzi nierówność \(f(x)>M\)
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty \Longleftrightarrow \forall M \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\left(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\right) \Longrightarrow(f(x)>M)
\]
Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę niewłaściwą \(-\infty\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każej liczby \(M\) istnieje liczba \(\delta>0\) taka, że dla każego argumentu \(x\) spełniającego nierówność \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) zachodzi nierówność \(f(x)<M\)
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty \Longleftrightarrow \forall M \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\left(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\right) \Longrightarrow(f(x)<M)
\]
Jeżeli w określeniu granicy (właściwej lub niewłaściwej) funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_{0}\) zastąpimy sąsiedztwo \(S\) tego punktu przez sąsiedztwo lewostronne \(\left(x_{0}-\delta ; x_{0}\right)\) lub prawostronne \(\left(x ; x_{0}+\delta\right)\), to otrzymamy określenie tzw. granicy jednostronnej
- lewostronnej \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0^{-}}} f(x)\)
- prawostronnej \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}+} f(x)\).
Twierdzenie
Funkcja \(f(x)\) ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) w punkcie \(x_{0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0^{-}}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0^{+}}} f(x)
\]
Niech funkcja \(f(x)\) jest określona na przedziale \((a ; \infty) .\)
Definicja granicy według Cauchy'ego w \(+\infty\)
Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie niewłaściwym \(+\infty\) granicę \(g\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\varepsilon>0\) istnieje liczba \(\delta\) taka, że dla każdego argumentu \(x>\delta\) zachodzi nierówność: \(|f(x)-g|<\varepsilon\), co zapisujemy
\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=g \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta \quad \forall x>\delta \Longrightarrow|f(x)-g|<\varepsilon
\]
Definicja granicy według Heinego \(w+\infty\)
Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie niewłaściwym \(+\infty\) granicę \(g\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każego ciagu \(\left(x_{n}\right)\) o wyrazach \(x_{n} \in(a ; \infty)\), rozbieżnego do \(+\infty\), ciag \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest zbieżny do g, co zapisujemy
\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=g
\]
Niech funkcja \(f(x)\) jest określona na przedziale \((-\infty ; a) .\)
Definicja granicy według Heinego w \(-\infty\)
Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie niewłaściwym \(-\infty\) granicę \(g\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego ciagu \(\left(x_{n}\right)\) o wyrazach \(x_{n} \in(-\infty ; a)\), rozbieżnego do \(-\infty\), ciżg \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest zbieżny do \(g\), co zapisujemy
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=g
\]
Definicja granicy według Cauchy'ego w \(-\infty\)
Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie niewłaściwym \(-\infty\) granicę \(g\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\varepsilon>0\) istnieje liczba \(\delta\) taka, że dla każdego argumentu \(x<\delta\) zachodzi nierówność \(|f(x)-g|<\varepsilon\), co zapisujemy
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=g \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta \quad \forall x<\delta \Longrightarrow|f(x)-g|<\varepsilon
\]
Podobnie określamy granice niewtaściwe \(-\infty\) oraz \(+\infty\) funkcji w punktach niewtaściwych \(-\infty\) i \(+\infty\).
Wybrane granice (przydatne przy rozwiązywaniu zadań)
\[
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow a} \sin x &=\sin a \\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} &=1 \\
\lim _{x \rightarrow 0} a^{x} &=1, \quad a>0 \\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} &=\ln a, \quad a>0 \\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x} &=1 \\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+m x)}{x} &=m \\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{m}-1}{x} &=m
\end{aligned}
\]
Definicja Liczby e
Liczbę e określamy wzorem:
\[
e=\lim _{|x| \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}
\]
WARUNKI ISTNIENIA GRANIC
Twierdzenie (O granicy lewostronnej)
Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest rosnąca i ograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie \(S\) punktu \(x_{0}\), to istnieje skończona granica lewostronna funkcji w punkcie \(x_{0}\)
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0^{-}}} f(x)=g
\]
i granica ta jest większa od wszystkich wartości, które \(f(x)\) przyjmuje w \(S\).
Twierdzenie (O granicy prawostronnej)
Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest rosnąca i ograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie \(S\) punktu \(x_{0}\), to istnieje skończona granica prawostronna funkcji w punkcie \(x_{0}\)
\[
\lim _{x \rightarrow x_{0^{+}}} f(x)=g
\]
i granica ta jest mniejsza od wartości, które \(f(x)\) przyjmuje dla dowolnego \(x \in S\).
Twierdzenie (O trzech funkcjach)
Załóżmy, że funkcja \(f(x)\) oraz dwie funkcje \(g(x)\) i \(h(x)\) sa określone w pewnym sżsiedztwie \(S\) punktu \(x_{0}\). Jeżeli dla każdego \(x \in S\) jest
\[
g(x) \leq f(x) \leq h(x)
\]
i jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} h(x)=g\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=g\).
Analogiczne twierdzenie istnieją dla granic jednostronnych, dla granic w nieskończoności oraz dla granic niewłaściwych.
Twierdzenie (O warunku nieistnienia granicy skończonej)
Jeżeli funkcja \(f(x)\) określona w pewnym sąsiedztwie \(S\) punktu \(x_{0}\) nie ma granicy skończonej w punkcie \(x_{0}\), to istnieje ciąg \(\left(x_{n}\right), x_{n} \in S, x_{n} \rightarrow x_{0}\) taki, że odpowiadający mu ciąg wartości funkcji \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest rozbieżny.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja \(f\) jest określona w pewnym sąsiedztwie \(S\) punktu \(x_{0}\) i dla pewnego ciągu \(\left(x_{n}\right), x_{n} \in S, x_{n} \rightarrow x_{0}, \operatorname{ciag}\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest rozbieżny, to funkcja \(f(x)\) nie ma \(w\) punkcie \(x_{0}\) granicy skończonej.
Twierdzenie (O warunkach Cauchy'ego istnienia granicy skończonej)
Niech \(x_{0}\) oznacza liczbe skończona albo \(+\infty\) albo \(-\infty\) i zatozmy, ze \(f(x)\) jest funkcja określona w pewnym sasiedztwie punktu \(x_{0}\). Warunkiem koniecznym i wystarczajaccym istnienia granicy skończonej \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) jest, aby dla \(\forall \varepsilon>0 \quad \exists S\left(x_{0} ; \delta\right)\) takie, ize dla każdych dwóch punktów \(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\) należacych do \(S\left(x_{0}, \delta\right)\) zachodzi nierówność
\[
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon
\]
Twierdzenie
Jeżeli funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę skończoną, to istnieje sąsiedztwo punktu \(x_{0}\), w którym funkcja \(f(x)\) jest ograniczona.
Z istnienia granicy skończonej wynika ograniczoność funkcji. Natomiast z ograniczoności funkcji nie wynika istnienie granicy.
Twierdzenie o granicach funkcji
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0^{+}\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=+\infty\)
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0^{-}\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=-\infty\)
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0\) i \((x) \neq 0\) dla \(x \in S\left(x_{0} ; \delta\right)\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{|f(x)|}=+\infty\)
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\) albo \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{|f(x)|}=0\)
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\) i \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=G>0\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot g(x)=+\infty\)
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\) i \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=G<0\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot g(x)=-\infty\)
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\) i funkcja \(g(x)\) jest ograniczona w sąsiedztwie punktu \(x_{0}\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=+\infty\)
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\) i \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]=+\infty\)
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\) i \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0\), to granice \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot g(x)\) można wyznaczyć po szczegółowej analizie funkcji \(f(x)\) i \(g(x)\).
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\) i \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty\), to granice \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\) można wyznaczyć po szczegółowej analizie funkcji \(f(x)\) i \(g(x)\).
SYMBOLE NIEOZNACZONE
Podczas obliczania granic napotykamy na symbole zwnane "nieoznaczonymi". Nalezy wtedy przekształcić wzór funkcji lub zastosować odpowiednie "chwyty"
\[
\infty \cdot 0 ; \quad \infty-\infty ; \quad \frac{0}{0} ; \quad \frac{\infty}{\infty} ; \quad \infty^{0} ; \quad 1^{\infty} ; \quad 0^{0}
\]
Definicja
Jezeli funkcja \(u(x)\) określona w sąsiedztwie \(S(x ; \delta)\) jest zapisana w postaci ilorazu \(u(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\), przy czym \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}|f(x)|=\infty, \lim _{x \rightarrow x_{0}}|g(x)|=\infty\), to mówimy, íe u \((x)\) jest dla \(x\) dązacego do \(x_{0}\) funkcja typu \(\frac{\infty}{\infty}\) lub nieoznaczonościa typu \(\frac{\infty}{\infty}\).
Definicja
Jeżeli funkcja \(u(x)\) określona w sąsiedztwie \(S(x ; \delta)\) jest zapisana w postaci ilorazu \(u(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\), przy czym \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0\), to mówimy, że \(u(x)\) jest dla \(x\) dążącego do \(x_{0}\) funkcja typu \(\frac{0}{0}\) lub nieoznaczonościż typu \(\frac{0}{0}\).
Definicja
Jeżeli funkcja \(u(x)\) określona w sąsiedztwie \(S(x ; \delta)\) jest zapisana w postaci iloczynu \(u(x)=f(x) \cdot g(x)\), przy czym \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}|f(x)|=+\infty, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0\), to mówimy, íe \(u(x)\) jest dla \(x\) dążącego do \(x_{0}\) funkcja typu \(\infty \cdot 0\) lub nieoznaczonością typu \(\infty \cdot 0\).
Przekształcając funkcję \(u(x)\) do postaci \(u(x)=f(x) / 1 / g(x)\) lub \(u(x)=g(x) / 1 / f(x)\), sprowadzamy to zagadnienie do przypadku nieoznaczoności typu \(\frac{\infty}{\infty}\) lub \(\frac{0}{0}\).
Definicja
Jeżeli funkcja u \((x)\) określona \(w\) sąsiedztwie \(S(x ; \delta)\) jest dana w postaci różnicy \(u(x)=f(x)-g(x)\), przy czym \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}|f(x)|=\infty, \displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}|g(x)|=\infty\), to mówimy, \(\dot{z} e ~ u(x)\) jest dla \(x\) dążącego do \(x_{0}\) funkcja typu \(\infty-\infty\) lub nieoznaczonością typu \(\infty-\infty\).
