Analiza matematyczna - granice funkcji

Analiza matematyczna Odsłon: 6365

 GRANICA FUNKCJI - DEFINICJE I TWIERDZENIA

 

---

Definicja granicy funkcji według Heinego
Liczbę $g$ nazywamy granicą funkcji $f(x)$ w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $\left(x_{n}\right)$ o wyrazach $x_{n} \in S$, zbieżnego do $x_{0}$, ciąg wartości funkcji $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ jest zbieżny do $g$, co zapisujemy
$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)= &g \Longleftrightarrow\forall\left(x_{n}\right) \forall n \in \mathcal{N}, x_{n} \in S \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0} \Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=g \end{aligned}$$

---

Definicja granicy funkcji według Cauchy'ego
Liczbę $g$ nazywamy granicą funkcji $f(x)$ w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $\varepsilon>0$ istnieje liczba $\delta>0$ taka, że dla każdego argumentu x spełniającego nierówność $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ zachodzi nierówność $|f(x)-g|<\varepsilon$, co zapisujemy
$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) &=g \Longleftrightarrow\left(\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\left(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\right)\right) \Longrightarrow(|f(x)-g|<\varepsilon) \end{aligned}$$

---

 Definicja Heinego jest równoważna Definicji Cauchy'ego. Granice $g \in \mathcal{R}$ nazywamy granicą wtaściwą.

---

Twierdzenie
Jeżeli
$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=g \quad i \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} h(x)=p, \text { to }$$
$$\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \pm h(x)]=g \pm p$$
$$\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot h(x)]=g \cdot p$$
oraz przy dodatkowym założeniu, że $p \neq 0$
$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{h(x)}=\frac{g}{p}$$

---

Twierdzenie - granica funkcji złożonej
Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=y_{0} \quad i \quad \lim _{y \rightarrow y_{0}} h(y)=g$ oraz $f(x) \neq y_{0}$ dla każdego $x$ z pewnego sąsiedztwa punktu $x_{0}$, to
$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} h(f(x))=\lim _{y \rightarrow y_{0}} h(y)=g$$

---

Definicjagranicy niewłaściwej w punkcie według Heinego
Mówimy, że funkcja $f(x)$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę niewłaściwą $+\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciagu $\left(x_{n}\right)$ o wyrazach $x_{n} \in S$ i zbieżnego do $x_{0}$, ciąg $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ jest rozbieżny do $+\infty$.

$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty$$
Mówimy, że funkcja $f(x)$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę niewłaściwą $-\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciagu $\left(x_{n}\right)$ o wyrazach $x_{n} \in S$ i zbieżnego do $x_{0}$, ciag $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ jest rozbieżny do $-\infty$
$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty$$

---

Definicja granicy niewłaściwej w punkcie według Cauchy'ego
Mówimy, że funkcja $f(x)$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę niewłaściwą $+\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $M$ istnieje liczba $\delta>0$ taka, że dla każego argumentu $x$ spełniającego nierówność $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ zachodzi nierówność $f(x)>M$
$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty \Longleftrightarrow \forall M \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\left(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\right) \Longrightarrow(f(x)>M)$$
Mówimy, że funkcja $f(x)$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę niewłaściwą $-\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każej liczby $M$ istnieje liczba $\delta>0$ taka, że dla każego argumentu $x$ spełniającego nierówność $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ zachodzi nierówność $f(x)<M$
$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty \Longleftrightarrow \forall M \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\left(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\right) \Longrightarrow(f(x)<M)$$

---

 Jeżeli w określeniu granicy (właściwej lub niewłaściwej) funkcji $f(x)$ w punkcie $x_{0}$ zastąpimy sąsiedztwo $S$ tego punktu przez sąsiedztwo lewostronne $\left(x_{0}-\delta ; x_{0}\right)$ lub prawostronne $\left(x ; x_{0}+\delta\right)$, to otrzymamy określenie tzw. granicy jednostronnej
- lewostronnej $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0^{-}}} f(x)$
- prawostronnej $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}+} f(x)$.

---

Twierdzenie
Funkcja $f(x)$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy
$$\lim _{x \rightarrow x_{0^{-}}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0^{+}}} f(x)$$

---

Niech funkcja $f(x)$ jest określona na przedziale $(a ; \infty) .$

 

Definicja granicy według Cauchy'ego w $+\infty$
Mówimy, że funkcja $f(x)$ ma w punkcie niewłaściwym $+\infty$ granicę $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $\varepsilon>0$ istnieje liczba $\delta$ taka, że dla każdego argumentu $x>\delta$ zachodzi nierówność: $|f(x)-g|<\varepsilon$, co zapisujemy
$$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=g \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta \quad \forall x>\delta \Longrightarrow|f(x)-g|<\varepsilon$$

Definicja granicy według Heinego $w+\infty$
Mówimy, że funkcja $f(x)$ ma w punkcie niewłaściwym $+\infty$ granicę $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każego ciagu $\left(x_{n}\right)$ o wyrazach $x_{n} \in(a ; \infty)$, rozbieżnego do $+\infty$, ciag $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ jest zbieżny do g, co zapisujemy
$$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=g$$

---

Niech funkcja $f(x)$ jest określona na przedziale $(-\infty ; a) .$

Definicja granicy według Heinego w $-\infty$
Mówimy, że funkcja $f(x)$ ma w punkcie niewłaściwym $-\infty$ granicę $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego ciagu $\left(x_{n}\right)$ o wyrazach $x_{n} \in(-\infty ; a)$, rozbieżnego do $-\infty$, ciżg $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ jest zbieżny do $g$, co zapisujemy
$$\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=g$$

Definicja granicy według Cauchy'ego w $-\infty$
Mówimy, że funkcja $f(x)$ ma w punkcie niewłaściwym $-\infty$ granicę $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $\varepsilon>0$ istnieje liczba $\delta$ taka, że dla każdego argumentu $x<\delta$ zachodzi nierówność $|f(x)-g|<\varepsilon$, co zapisujemy
$$\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=g \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta \quad \forall x<\delta \Longrightarrow|f(x)-g|<\varepsilon$$

 

Podobnie określamy granice niewtaściwe $-\infty$ oraz $+\infty$ funkcji w punktach niewtaściwych $-\infty$ i $+\infty$.

---

Wybrane granice (przydatne przy rozwiązywaniu zadań)
$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow a} \sin x &=\sin a \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} &=1 \\ \lim _{x \rightarrow 0} a^{x} &=1, \quad a>0 \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} &=\ln a, \quad a>0 \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x} &=1 \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+m x)}{x} &=m \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{m}-1}{x} &=m \end{aligned}$$

---

Definicja Liczby e
Liczbę e określamy wzorem:
$$e=\lim _{|x| \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$$

---

 

WARUNKI ISTNIENIA GRANIC

 

Twierdzenie (O granicy lewostronnej)
Jeżeli funkcja $f(x)$ jest rosnąca i ograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie $S$ punktu $x_{0}$, to istnieje skończona granica lewostronna funkcji w punkcie $x_{0}$
$$\lim _{x \rightarrow x_{0^{-}}} f(x)=g$$
i granica ta jest większa od wszystkich wartości, które $f(x)$ przyjmuje w $S$.

Twierdzenie (O granicy prawostronnej)
Jeżeli funkcja $f(x)$ jest rosnąca i ograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie $S$ punktu $x_{0}$, to istnieje skończona granica prawostronna funkcji w punkcie $x_{0}$
$$\lim _{x \rightarrow x_{0^{+}}} f(x)=g$$
i granica ta jest mniejsza od wartości, które $f(x)$ przyjmuje dla dowolnego $x \in S$.

Twierdzenie (O trzech funkcjach)
Załóżmy, że funkcja $f(x)$ oraz dwie funkcje $g(x)$ i $h(x)$ sa określone w pewnym sżsiedztwie $S$ punktu $x_{0}$. Jeżeli dla każdego $x \in S$ jest
$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$
i jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} h(x)=g$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=g$.

 

 Analogiczne twierdzenie istnieją dla granic jednostronnych, dla granic w nieskończoności oraz dla granic niewłaściwych.

---

Twierdzenie (O warunku nieistnienia granicy skończonej)
Jeżeli funkcja $f(x)$ określona w pewnym sąsiedztwie $S$ punktu $x_{0}$ nie ma granicy skończonej w punkcie $x_{0}$, to istnieje ciąg $\left(x_{n}\right), x_{n} \in S, x_{n} \rightarrow x_{0}$ taki, że odpowiadający mu ciąg wartości funkcji $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ jest rozbieżny.

Twierdzenie
Jeżeli funkcja $f$ jest określona w pewnym sąsiedztwie $S$ punktu $x_{0}$ i dla pewnego ciągu $\left(x_{n}\right), x_{n} \in S, x_{n} \rightarrow x_{0}, \operatorname{ciag}\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ jest rozbieżny, to funkcja $f(x)$ nie ma $w$ punkcie $x_{0}$ granicy skończonej.

Twierdzenie (O warunkach Cauchy'ego istnienia granicy skończonej)
Niech $x_{0}$ oznacza liczbe skończona albo $+\infty$ albo $-\infty$ i zatozmy, ze $f(x)$ jest funkcja określona w pewnym sasiedztwie punktu $x_{0}$. Warunkiem koniecznym i wystarczajaccym istnienia granicy skończonej $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ jest, aby dla $\forall \varepsilon>0 \quad \exists S\left(x_{0} ; \delta\right)$ takie, ize dla każdych dwóch punktów $x^{\prime}, x^{\prime \prime}$ należacych do $S\left(x_{0}, \delta\right)$ zachodzi nierówność
$$\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$$

Twierdzenie
Jeżeli funkcja $f(x)$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę skończoną, to istnieje sąsiedztwo punktu $x_{0}$, w którym funkcja $f(x)$ jest ograniczona.

 

Z istnienia granicy skończonej wynika ograniczoność funkcji. Natomiast z ograniczoności funkcji nie wynika istnienie granicy.

---

 Twierdzenie o granicach funkcji

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0^{+}$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=+\infty$

 

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0^{-}$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=-\infty$

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ i $(x) \neq 0$ dla $x \in S\left(x_{0} ; \delta\right)$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{|f(x)|}=+\infty$

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty$ albo $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{|f(x)|}=0$

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty$ i $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=G>0$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot g(x)=+\infty$

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty$ i $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=G<0$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot g(x)=-\infty$

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty$ i funkcja $g(x)$ jest ograniczona w sąsiedztwie punktu $x_{0}$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=+\infty$

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty$ i $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$, to $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]=+\infty$

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty$ i $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0$, to granice $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot g(x)$ można wyznaczyć po szczegółowej analizie funkcji $f(x)$ i $g(x)$.

 

Jeżeli $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty$ i $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$, to granice $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]$ można wyznaczyć po szczegółowej analizie funkcji $f(x)$ i $g(x)$.

 

---

 

SYMBOLE NIEOZNACZONE

 

Podczas obliczania granic napotykamy na symbole zwnane "nieoznaczonymi". Nalezy wtedy przekształcić wzór funkcji lub zastosować odpowiednie "chwyty"
$$\infty \cdot 0 ; \quad \infty-\infty ; \quad \frac{0}{0} ; \quad \frac{\infty}{\infty} ; \quad \infty^{0} ; \quad 1^{\infty} ; \quad 0^{0}$$

Definicja

Jezeli funkcja $u(x)$ określona w sąsiedztwie $S(x ; \delta)$ jest zapisana w postaci ilorazu $u(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, przy czym $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}|f(x)|=\infty, \lim _{x \rightarrow x_{0}}|g(x)|=\infty$, to mówimy, íe u $(x)$ jest dla $x$ dązacego do $x_{0}$ funkcja typu $\frac{\infty}{\infty}$ lub nieoznaczonościa typu $\frac{\infty}{\infty}$.

Definicja

Jeżeli funkcja $u(x)$ określona w sąsiedztwie $S(x ; \delta)$ jest zapisana w postaci ilorazu $u(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, przy czym $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0$, to mówimy, że $u(x)$ jest dla $x$ dążącego do $x_{0}$ funkcja typu $\frac{0}{0}$ lub nieoznaczonościż typu $\frac{0}{0}$.

Definicja 

Jeżeli funkcja $u(x)$ określona w sąsiedztwie $S(x ; \delta)$ jest zapisana w postaci iloczynu $u(x)=f(x) \cdot g(x)$, przy czym $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}|f(x)|=+\infty, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0$, to mówimy, íe $u(x)$ jest dla $x$ dążącego do $x_{0}$ funkcja typu $\infty \cdot 0$ lub nieoznaczonością typu $\infty \cdot 0$.

Przekształcając funkcję $u(x)$ do postaci $u(x)=f(x) / 1 / g(x)$ lub $u(x)=g(x) / 1 / f(x)$, sprowadzamy to zagadnienie do przypadku nieoznaczoności typu $\frac{\infty}{\infty}$ lub $\frac{0}{0}$.

Definicja
Jeżeli funkcja u $(x)$ określona $w$ sąsiedztwie $S(x ; \delta)$ jest dana w postaci różnicy $u(x)=f(x)-g(x)$, przy czym $\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}|f(x)|=\infty, \displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}|g(x)|=\infty$, to mówimy, $\dot{z} e ~ u(x)$ jest dla $x$ dążącego do $x_{0}$ funkcja typu $\infty-\infty$ lub nieoznaczonością typu $\infty-\infty$.

---