Analiza matematyczna - Asymptoty - praktyczne porady

Analiza matematyczna Odsłon: 7912

Asymptoty - jak je wyznaczać?

ASYMPTOTY PIONOWE

Asymptoty pionowe - związane z punktami, które nie należą do dziedziny funkcji. Aby istniała asymptota pionowa w punkcie $x_{0}$, granica funkcji w tym punkcie musi być niewłaściwa, czyli równa $+\infty$ lub $-\infty$.

Przykład

Wyznacz asymptoty pionowe (o ile istnieją) funkcji $f(x)=\frac{2 x-6}{x^{2}-9}$.

Rozwiązanie

Określamy dziedzinę

$$D: x \in R-\{-3,3\}$$

Zatem asymptoty pionowe mogą być w punktach $\{-3,3\}$. Obliczamy granice funkcji w tych punktach.

$$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x-6}{x^{2}-9}=\left[\frac{-12}{0}\right]=\left\{\begin{array}{l} g_{L}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-3^{-}} \frac{2 x-6}{x^{2}-9}=\left[\frac{-12}{0^{+}}\right]=-\infty \\ g_{P}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-3^{+}} \frac{2 x-6}{x^{2}-9}=\left[\frac{-12}{0^{-}}\right]=+\infty \end{array}\right.$$

Zatem istnieje asymptota pionowa w punkcie $-3$ i ma równanie $x=-3$.

$$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2 x-6}{x^{2}-9}=\left[\frac{0}{0}\right]=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2}{(x+3)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Zatem w punkcie 3 nie istnieje asymptota pionowa.

ASYMPTOTY POZIOME

Asymptoty poziome $-$ związane z granicą funkcji przy $x$ dążącym do $+\infty$ lub $-\infty$. Jeśli ta granica jest skończona (oznaczmy ją $g$ ), to $y=g$ jest asymptotą poziomą.

Przykład

Wyznacz asymptoty poziome (o ile istnieją) funkcji $f(x)=\frac{2 x^{2}-6 x}{x^{2}-9}$.

Rozwiązanie

$$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{2}-6 x}{x^{2}-9}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2-\frac{6}{x}}{1-\frac{9}{x^{2}}}=2$$

Zatem istnieje asymptota pozioma i ma równanie $y=2$.

Uwaga: warto wiedzieć, że dla funkcji wymiernych asymptota pozioma istnieje wtedy, gdy stopień licznika jest mniejszy bądź równy stopniowi mianownika.

ASYMPTOTY UKOŚNE

Asymptoty ukośne - to funkcje liniowe postaci $y=a x+b$, gdzie $a=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$, zaś $b=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-a x]$

Przykład

Wyznacz asymptoty ukośne (o ile istnieją) funkcji $f(x)=\frac{2 x^{3}-6 x}{x^{2}-9}$.

Rozwiązanie

$$\begin{aligned} a &=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\frac{2 x^{3}-6 x}{x^{2}-9}}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{3}-6 x}{x^{3}-9 x}=2 \\ b &=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-a x]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[\frac{2 x^{3}-6 x}{x^{2}-9}-2 x\right]=\\ &=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[\frac{2 x^{3}-6 x-2 x^{3}+18 x}{x^{2}-9}\right]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[\frac{12 x}{x^{2}-9}\right]=0 \end{aligned}$$

Zatem istnieje asymptota ukośna i ma równanie $y=2 x$.

Uwaga: warto wiedzieć, że dla funkcji wymiernych asymptota ukośna istnieje wtedy, gdy stopień licznika jest o jeden większy od stopnia mianownika.

Więcej praktycznych porad możecie znaleźć w mojej książce: