Funkcja liniowa - zbiór zadań powtórzeniowych i rozwijających
Rozwiązać równania:
Pokaż rozwiązanie
Upraszczamy wyrażenie w liczniku po lewej stronie:
\[20y-(10-3y)=23y-10.\]Następnie sprowadzamy obie strony do mianownika \(156\):
\[\frac{133y+10}{156}=\frac{150y-177}{156}.\]Porównujemy liczniki:
\[133y+10=150y-177,\qquad 17y=187.\]Zatem \(\boxed{y=11}\).
Pokaż rozwiązanie
Rozwijamy obie strony równania:
\[6(t^2+t+1)=6t^2+6t+6,\]\[(t+1)^3-(t-1)^3=(t^3+3t^2+3t+1)-(t^3-3t^2+3t-1)=6t^2+2.\]Otrzymujemy
\[6t^2+6t+6=6t^2+2,\qquad 6t=-4.\]Stąd \(\boxed{t=-\frac23}\).
Pokaż rozwiązanie
Najpierw ustalamy dziedzinę:
\[y\ne\frac32,\qquad y\ne-\frac32.\]Korzystamy z rozkładu \(9-4y^2=(3-2y)(3+2y)\) i mnożymy równanie przez \((3-2y)^2(3+2y)^2\):
\[(3+2y)^2-3(3-2y)(3+2y)=4(3-2y)^2.\]Po rozwinięciu nawiasów wyrazy z \(y^2\) redukują się:
\[60y-54=0.\]Zatem \(\boxed{y=\frac9{10}}\), a otrzymana liczba należy do dziedziny.
Pokaż rozwiązanie
Rozkładamy mianowniki na czynniki:
\[x^2+2x+1=(x+1)^2,\quad x+2x^2+x^3=x(x+1)^2,\quad 2x+2x^2=2x(x+1).\]Dziedzina: \(x\ne0\) i \(x\ne-1\). Mnożymy równanie przez \(2x(x+1)^2\):
\[2x+8=5(x+1).\]Stąd
\[2x+8=5x+5,\qquad 3x=3,\qquad \boxed{x=1}.\]Wartość \(x=1\) spełnia warunki dziedziny.
Pokaż rozwiązanie
Dla \(x\ne3\) mnożymy równanie przez \(x-3\):
\[2(x-3)+1=4-x,\qquad 3x=9.\]Otrzymana wartość \(x=3\) nie należy do dziedziny. Równanie jest sprzeczne.
Pokaż rozwiązanie
Przenosimy wszystko na jedną stronę i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:
\[(x+a)^2-(x+b)^2=0,\]\[((x+a)-(x+b))((x+a)+(x+b))=0.\]Otrzymujemy
\[(a-b)(2x+a+b)=0.\]- Jeżeli \(a\ne b\), to \(2x+a+b=0\), zatem \(\displaystyle \boxed{x=-\frac{a+b}{2}}\).
- Jeżeli \(a=b\), obie strony równania są identyczne, więc rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista \(x\).
Pokaż rozwiązanie
Lewą stronę traktujemy jako iloczyn sumy i różnicy:
\[(a-b+x)(a-b-x)=(a-b)^2-x^2.\]Prawa strona po wymnożeniu ma postać
\[(a^2-x)(b^2+x)-a^2b^2=x(a^2-b^2)-x^2.\]Po skróceniu składników \(-x^2\) dostajemy
\[(a-b)^2=x(a^2-b^2)=x(a-b)(a+b).\]- Dla \(a^2\ne b^2\): \(\displaystyle \boxed{x=\frac{a-b}{a+b}}\).
- Dla \(a=b\) równanie jest tożsamościowe.
- Dla \(a=-b\) i \(a\ne0\) równanie jest sprzeczne.
Pokaż rozwiązanie
Mianowniki muszą być różne od zera, więc
\[3a+b\ne0,\qquad 3a-b\ne0,\qquad 9a^2-b^2\ne0.\]Mnożymy równanie przez \((3a-b)(3a+b)\) i porządkujemy wyrazy:
\[(12a+b)x=12a^2+25ab+2b^2.\]Prawą stronę rozkładamy na czynniki:
\[12a^2+25ab+2b^2=(12a+b)(a+2b).\]- Jeżeli \(12a+b\ne0\), to \(\boxed{x=a+2b}\).
- Jeżeli \(12a+b=0\), po uwzględnieniu warunków dziedziny równanie jest nieoznaczone.
Pokaż rozwiązanie
Warunek dziedziny ma postać \(m^2-n^2\ne0\). Mnożymy równanie przez \((m-n)(m+n)\):
\[(m-x)(m+n)-(x-n)(m-n)=2mn.\]Po rozwinięciu nawiasów i redukcji wyrazów otrzymujemy
\[m^2-n^2-2mx=0,\qquad 2mx=m^2-n^2.\]- Dla \(m\ne0\): \(\displaystyle \boxed{x=\frac{m^2-n^2}{2m}}\).
- Dla \(m=0\), przy zachowaniu warunku \(m^2-n^2\ne0\), równanie jest sprzeczne.
Pokaż rozwiązanie
Równanie przyjmuje postać
\[2|x-4|=5x+7.\]Dla \(x\ge4\) otrzymalibyśmy \(x=-5\), co przeczy założeniu. Dla \(x<4\):
\[2(4-x)=5x+7,\qquad x=\frac17.\]Pokaż rozwiązanie
Punkty \(-1\) i \(0\) dzielą oś na przedziały, w których możemy opuścić wartości bezwzględne.
- Dla \(x<-1\): \(-2x-(-x-1)=2\), co prowadzi do wartości granicznej \(x=-1\).
- Dla \(-1\le x<0\): \(-2x-(x+1)=2\), stąd \(x=-1\).
- Dla \(x\ge0\): \(2x-(x+1)=2\), stąd \(x=3\).
Po sprawdzeniu otrzymujemy dwa rozwiązania:
\[\boxed{x_1=-1,\qquad x_2=3}.\]Pokaż rozwiązanie
Rozpatrujemy cztery przedziały:
- dla \(x\le-6\): \(2(-x-6)-(-x)+(-x+6)=18\), więc \(x=-12\);
- dla \(-6<x\le0\): \(2(x+6)+x-x+6=18\), więc \(x=0\);
- dla \(0<x\le6\): równanie jest tożsamością;
- dla \(x>6\): \(2(x+6)-x+x-6=18\), więc \(x=6\).
Ostatecznie: \(x=-12\) lub \(0\le x\le6\).
Sporządzić wykresy funkcji:
Pokaż rozwiązanie
Wyrażenie pod wartością bezwzględną zmienia znak dla \(x=-1\). Dlatego
\[y=\begin{cases}x+1,&x\ge-1,\\-x-1,&x\le-1.\end{cases}\]Wykres ma wierzchołek w punkcie \((-1,0)\) i składa się z dwóch półprostych o współczynnikach kierunkowych \(-1\) i \(1\).
Pokaż rozwiązanie
Znaki wyrażeń pod modułami zmieniają się dla \(x=-1\) i \(x=0\). Po opuszczeniu wartości bezwzględnych w trzech przedziałach otrzymujemy
\[y=\begin{cases}-x-1,&x\le-1,\\-3x-3,&-1\le x\le0,\\x-3,&x\ge0.\end{cases}\]Łączymy odcinki wykresów w punktach \((-1,0)\) i \((0,-3)\). Miejsca zerowe funkcji to \(x=-1\) oraz \(x=3\).
Pokaż rozwiązanie
Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez liczby \(-1\) i \(1\). Po opuszczeniu modułów:
\[y=\begin{cases}x,&x\ge1,\\1,&-1\le x\le1,\\-x,&x\le-1.\end{cases}\]Na przedziale \([-1,1]\) wykres jest poziomym odcinkiem \(y=1\), a poza nim tworzą go półproste \(y=-x\) i \(y=x\).
Pokaż rozwiązanie
Dla \(x\ge-1\):
\[y=|x-1|=\begin{cases}x-1,&x\ge1,\\-x+1,&-1\le x\le1.\end{cases}\]Dla \(x\le-1\):
\[y=|x+3|=\begin{cases}x+3,&-3\le x\le-1,\\-x-3,&x\le-3.\end{cases}\]Rozwiązać układy równań:
Pokaż rozwiązanie
Rozpatrujemy dwa przypadki zależne od znaku \(y\).
1. \(y\ge0\). Wtedy \(|y|=y\), więc
\[\begin{cases}2x+3y=13,\\3x-y=3.\end{cases}\]Z drugiego równania \(y=3x-3\). Po podstawieniu do pierwszego otrzymujemy \(11x=22\), czyli \(x=2\) i \(y=3\).
2. \(y<0\). Wtedy \(|y|=-y\), zatem
\[\begin{cases}2x-3y=13,\\3x-y=3.\end{cases}\]Rozwiązaniem jest \(\displaystyle x=-\frac47\), \(\displaystyle y=-\frac{33}{7}\), przy czym \(y<0\), więc warunek jest spełniony.
Ostatecznie:
\[\boxed{(x,y)=(2,3)\quad\text{lub}\quad (x,y)=\left(-\frac47,-\frac{33}{7}\right)}.\]Pokaż rozwiązanie
Ze względu na mianowniki zakładamy \(a\ne0\) i \(b\ne0\). Drugie równanie mnożymy przez \(ab\):
\[a(a+x)=b(b+y),\]czyli
\[ax-by=b^2-a^2.\]Łączymy je z pierwszym równaniem \(ax+by=c^2\). Po dodaniu równań:
\[2ax=b^2+c^2-a^2.\]Po odjęciu drugiego równania od pierwszego:
\[2by=c^2+a^2-b^2.\]Zatem
\[\boxed{x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2a},\qquad y=\frac{c^2+a^2-b^2}{2b}}.\]Pokaż rozwiązanie
Wyznacznik układu wynosi
\[W=\begin{vmatrix}4&k\\2k&18\end{vmatrix}=72-2k^2=2(6-k)(6+k).\]Dla \(k\ne6\) i \(k\ne-6\) układ ma jedno rozwiązanie. Eliminując \(x\), otrzymujemy
\[(36-k^2)y=-9(k+6),\qquad y=\frac9{k-6}.\]Po podstawieniu do pierwszego równania:
\[x=-\frac{27}{2(k-6)}.\]- Dla \(k\ne\pm6\): \(\displaystyle \boxed{x=-\frac{27}{2(k-6)},\quad y=\frac9{k-6}}\).
- Dla \(k=6\) równania mają proporcjonalne lewe strony i różne prawe strony, więc układ jest sprzeczny.
- Dla \(k=-6\) oba równania są równoważne, więc układ jest nieoznaczony.
Pokaż rozwiązanie
Zakładamy \(a\ne0\) i \(b\ne0\). Po usunięciu mianowników pierwsze równanie przyjmuje postać
\[a^2bx-ab^2y=a^2+b^2,\]a drugie, po pomnożeniu przez \(a^2b^2\), ma postać
\[ab^2x+a^2by=a^2+b^2.\]Rozwiązując otrzymany układ liniowy, dostajemy
\[\boxed{x=\frac{a+b}{ab},\qquad y=\frac{a-b}{ab}}.\]Podstawienie tych wartości do obu równań potwierdza wynik.
Pokaż rozwiązanie
Upraszczamy licznik i mianownik ułamka z pierwszego równania:
\[a+b-\frac{ab}{a+b}=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b},\]\[a-b+\frac{ab}{a-b}=\frac{a^2-ab+b^2}{a-b}.\]Korzystając ze wzorów
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\]otrzymujemy
\[\frac{x}{y}=\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}.\]Ponieważ \(x+y=2a^3\), dostajemy
\[\boxed{x=a^3-b^3,\qquad y=a^3+b^3}.\]Pokaż rozwiązanie
Pierwsze równanie mnożymy przez \(3\):
\[9x-12y=36.\]Odejmujemy je od drugiego równania:
\[(a+12)y=b-36.\]- Dla \(a\ne-12\): \(\displaystyle y=\frac{b-36}{a+12}\), a następnie \(\displaystyle x=\frac{12a+4b}{3(a+12)}\).
- Dla \(a=-12\) i \(b=36\) drugie równanie jest wielokrotnością pierwszego, więc układ jest nieoznaczony.
- Dla \(a=-12\) i \(b\ne36\) lewe strony są proporcjonalne, lecz prawe nie, więc układ jest sprzeczny.
Pokaż rozwiązanie
Z pierwszego równania wyznaczamy \(x=8-2y-(a+3)z\). Po podstawieniu do dwóch pozostałych:
\[\begin{cases}y+(a+2)z=4,\\(6a-1)y-(3a+2)z=-4.\end{cases}\]- Dla \(a\ne0\) i \(a\ne-\frac73\): \(\displaystyle x=\frac{12(a+1)}{3a+7},\ y=\frac4{3a+7},\ z=\frac{12}{3a+7}\).
- Dla \(a=-\frac73\) układ jest sprzeczny.
- Dla \(a=0\) układ jest nieoznaczony: dla dowolnego \(z\), \(y=4-2z\) i \(x=z\).
Pokaż rozwiązanie
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, a następnie dwukrotność pierwszego od trzeciego:
\[\begin{cases}(a-1)x+3y=-1,\\4x+ay=1.\end{cases}\]Wyznacznik tego układu jest równy
\[a(a-1)-12=(a-4)(a+3).\]- Dla \(a\ne4\) i \(a\ne-3\): \(\displaystyle x=\frac1{4-a},\quad y=\frac1{a-4}\), a z pierwszego równania \(z=6\).
- Dla \(a=4\) układ jest sprzeczny.
- Dla \(a=-3\) układ jest nieoznaczony: \(\displaystyle y=\frac{4x-1}{3},\quad z=\frac{19-7x}{3}\).
Pokaż rozwiązanie
Po dodaniu równań stronami:
\[(n-1)(x_1+x_2+\ldots+x_n)=a_1+a_2+\ldots+a_n.\]Stąd
\[x_i=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n-1}-a_i,\qquad i=1,2,\ldots,n.\]Pokaż rozwiązanie
Oznaczmy \(s=x_1+x_2+\ldots+x_n\). Układ można zapisać jako
\[-s+2x_1=2a,\quad -s+4x_2=4a,\quad\ldots,\quad -s+2^nx_n=2^na.\]Zatem \(x_i=a+\frac{s}{2^i}\). Po dodaniu tych równości:
\[s=na+s\left(\frac12+\frac14+\ldots+\frac1{2^n}\right)=na+s\left(1-\frac1{2^n}\right),\]czyli \(s=n2^na\). Ostatecznie
\[x_i=a+n2^{\,n-i}a=a\bigl(1+n2^{\,n-i}\bigr),\qquad i=1,2,\ldots,n.\]Dany jest układ równań
\[\begin{cases}2x+3y=4,\\4x+my=2m.\end{cases}\]Dla jakich wartości parametru \(m\) liczby \(x\) i \(y\) spełniające układ równań są dodatnie?
Pokaż rozwiązanie
Z pierwszego równania mamy \(2x=4-3y\). Po podstawieniu do drugiego:
\[2(4-3y)+my=2m,\]czyli
\[(m-6)y=2(m-4).\]Dla \(m\ne6\):
\[x=\frac{m}{6-m},\qquad y=\frac{2(4-m)}{6-m}.\]Warunek \(x>0\) daje \(0<m<6\), natomiast \(y>0\) zachodzi dla \(m<4\) lub \(m>6\). Częścią wspólną tych warunków jest
\[\boxed{0<m<4}.\]Rozwiązać nierówności:
Pokaż rozwiązanie
Pokaż rozwiązanie
stąd \(x>1\) lub \(x<-5\).
Pokaż rozwiązanie
Dla \(x\ge0\) nierówność jest prawdziwa. Dla \(-1\le x<0\) przyjmuje postać
\[x+1-(-x)>0,\qquad x>-\frac12.\]Dla \(x<-1\) otrzymujemy nierówność sprzeczną. Ostatecznie \(x>-\frac12\).
Pokaż rozwiązanie
Nierówność zapisujemy jako \(|5x-2|>x\). Wszystkie \(x<0\) ją spełniają. Dla \(0\le x<\frac25\):
\[-(5x-2)>x,\qquad x<\frac13.\]Dla \(x>\frac25\):
\[5x-2>x,\qquad x>\frac12.\]Ostatecznie \(x<\frac13\) lub \(x>\frac12\).
Pokaż rozwiązanie
Punkty \(-1\), \(1\) i \(2\) wyznaczają cztery przedziały.
- Dla \(x<-1\): \(1\ge-x-6\), więc \(x\ge-7\).
- Dla \(-1\le x<1\): \(1\ge x-4\), co jest spełnione w całym rozpatrywanym przedziale.
- Dla \(1\le x<2\): \(3-2x\ge x-4\), czyli \(x\le\frac73\); cały przedział spełnia nierówność.
- Dla \(x\ge2\): \(-1\ge x-4\), więc \(x\le3\).
Po złączeniu otrzymanych części:
\[\boxed{-7\le x\le3}.\]Pokaż rozwiązanie
Nierówność jest równoważna nierówności
\[(3m-2)x<-5.\]- Dla \(m>\frac23\): \(\displaystyle x<\frac5{2-3m}\).
- Dla \(m<\frac23\): \(\displaystyle x>\frac5{2-3m}\).
- Dla \(m=\frac23\) nierówność nie ma rozwiązań.
Pokaż rozwiązanie
Dla \(a\ne2\), po pomnożeniu i uporządkowaniu, otrzymujemy zależnie od znaku \(a-2\):
- gdy \(a>2\): \(\displaystyle x<\frac{5(a-2)}{2(a+10)}\);
- gdy \(-10<a<2\): \(\displaystyle x>\frac{5(a-2)}{2(a+10)}\);
- gdy \(a<-10\): \(\displaystyle x<\frac{5(a-2)}{2(a+10)}\);
- gdy \(a=-10\): nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in\mathbb R\).
Dla \(a=2\) wyrażenie nie jest określone.
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczyć punkty, których współrzędne spełniają układ nierówności:
Pokaż rozwiązanie
Nierówności zapisujemy w postaci
\[y\ge-2x+2,\qquad y\ge\frac12x+1.\]Rozwiązaniem jest część wspólna półpłaszczyzn leżących nad obiema prostymi (wraz z prostymi brzegowymi).
Pokaż rozwiązanie
Druga nierówność jest prawdziwa dla każdego \(y\in\mathbb R\), a pierwsza daje \(1\le x\le3\). Rozwiązaniem jest pionowy pas wraz z jego brzegami.
Pokaż rozwiązanie
Układ jest równoważny warunkom
\[x-1\le y\le x+1,\qquad -4\le x\le-2.\]Rozwiązaniem jest równoległobok ograniczony prostymi \(y=x-1\), \(y=x+1\), \(x=-4\) i \(x=-2\), wraz z brzegiem.
Zadania tekstowe:
Pokaż rozwiązanie
Objętość czystego kwasu w pierwszym roztworze wynosi
\[3{,}5\cdot\frac{20}{100}=0{,}7\ \text{l},\]a w drugim
\[3\cdot\frac{40}{100}=1{,}2\ \text{l}.\]Po zmieszaniu mamy więc \(6{,}5\) l roztworu zawierającego \(1{,}9\) l kwasu. Jeśli \(x\) oznacza stężenie procentowe mieszaniny, to
\[6{,}5\cdot\frac{x}{100}=1{,}9.\]Zatem
\[\boxed{x=\frac{190}{6{,}5}=29\frac3{13}\%}.\]Pokaż rozwiązanie
Niech \(x\) oznacza liczbę kilogramów dolewanego roztworu 10-procentowego. Porównujemy ilość czystego kwasu przed i po zmieszaniu:
\[0{,}15\cdot5+0{,}10x=0{,}13(5+x).\]Po wymnożeniu:
\[0{,}75+0{,}10x=0{,}65+0{,}13x,\]\[0{,}10=0{,}03x,\qquad x=\frac{10}{3}=3\frac13.\]Należy dolać \(\boxed{3\frac13\text{ kg}}\) roztworu 10-procentowego.
Uwaga: w odpowiedziach w skanie podano 3,5 kg, jednak podstawienie tej wartości daje stężenie około 12,94%. Z równania wynika dokładnie \(3\frac13\) kg, więc w książce najprawdopodobniej występuje błąd drukarski.
Pokaż rozwiązanie
Niech \(x\) oznacza objętość odlaną z każdego naczynia. Stężenia po wymianie wynoszą odpowiednio
\[\frac{ap-xp+xq}{a}\quad\text{oraz}\quad\frac{bq-xq+xp}{b}.\]Zatem
\[\frac{ap-xp+xq}{a}=\frac{bq-xq+xp}{b},\]czyli \((a+b)(q-p)x=ab(q-p)\). Dla \(p\ne q\):
\[x=\frac{ab}{a+b}.\]Dla \(p=q\) równanie jest nieoznaczone, co wynika bezpośrednio z treści zadania.
Pokaż rozwiązanie
Niech \(x\) oznacza objętość roztworu 5-procentowego, a \(y\) — 40-procentowego. Mamy
\[\begin{cases}x+y=140,\\0{,}05x+0{,}40y=0{,}30\cdot140.\end{cases}\]Drugie równanie mnożymy przez \(100\):
\[5x+40y=4200.\]Podstawiamy \(x=140-y\):
\[5(140-y)+40y=4200,\qquad 35y=3500,\qquad y=100.\]Wtedy \(x=40\). Należy wziąć \(\boxed{40\text{ l}}\) z pierwszego naczynia i \(\boxed{100\text{ l}}\) z drugiego.
Pokaż rozwiązanie
Niech \(x\) oznacza liczbę krzeseł, a \(y\) — liczbę ławek. Liczba sprzętów daje równanie \(x+y=268\). Miejsc siedzących jest \(x+3y\), a osób stojących \(480-(x+3y)\). Zatem
\[\frac{39}{160}<\frac{480-(x+3y)}{x+3y}<\frac{41}{160}.\]Po podstawieniu \(x=268-y\) i skróceniu licznika oraz mianownika przez \(2\):
\[\frac{39}{160}<\frac{106-y}{134+y}<\frac{41}{160}.\]Ponieważ \(134+y>0\), możemy pomnożyć nierówności przez mianowniki:
\[y<\frac{11734}{199}\approx58{,}96,\qquad y>\frac{11466}{201}\approx57{,}04.\]Liczba ławek jest całkowita, więc \(y=58\), a \(x=268-58=210\). W sali było \(\boxed{58\text{ ławek i }210\text{ krzeseł}}\).
Pokaż rozwiązanie
Niech \(x\) oznacza masę każdego odciętego kawałka, a \(p\) i \(q\) — udziały miedzi w obu stopach, przy czym \(p\ne q\). Po zamianie kawałków zawartości miedzi w otrzymanych stopach są równe, więc
\[\frac{(m-x)p+xq}{m}=\frac{(n-x)q+xp}{n}.\]Po usunięciu mianowników i uporządkowaniu:
\[mn(p-q)=x(m+n)(p-q).\]Ponieważ stopy miały różne zawartości miedzi, \(p-q\ne0\), dlatego
\[\boxed{x=\frac{mn}{m+n}\ \text{kg}}.\]Pokaż rozwiązanie
Niech \(x:y\) oznacza stosunek ilości roztworu 7-procentowego do 18-procentowego. Porównujemy ilość cukru:
\[0{,}07x+0{,}18y=0{,}13(x+y).\]Po uporządkowaniu:
\[0{,}05y=0{,}06x,\qquad 5y=6x.\]Zatem \(\boxed{x:y=5:6}\). Roztwory należy zmieszać w stosunku \(5:6\).
Pokaż rozwiązanie
Niech \(v\) oznacza prędkość statku na wodzie stojącej, \(u\) — prędkość prądu, a \(s\) — drogę. Wtedy
\[s=3(v+u)=6(v-u).\]Stąd \(v=3u\), więc \(s=12u\). Woda przepływa tę drogę w ciągu 12 dni.
Pokaż rozwiązanie
Niech wolniejszy pociąg jedzie z prędkością \(v\), szybszy z prędkością \(v+15\), a odległość między stacjami będzie równa \(s\). Czas 40 minut to \(\frac23\) godziny, więc
\[s=\frac23\bigl(v+(v+15)\bigr).\tag{1}\]Gdy spotkanie następuje w połowie drogi, wolniejszy pociąg jedzie o \(\frac9{60}\) godziny dłużej:
\[\frac{s}{2v}=\frac{s}{2(v+15)}+\frac9{60}.\tag{2}\]Z równania (2) otrzymujemy \(\displaystyle s=\frac{v(v+15)}{50}\). Po połączeniu z (1):
\[3v^2-155v-1500=0.\]Dodatnim rozwiązaniem jest \(v=60\) km/godz., zatem drugi pociąg jedzie z prędkością \(75\) km/godz. i
\[s=\frac23(60+75)=\boxed{90\text{ km}}.\]Pokaż rozwiązanie
36 g cynku traci w wodzie \(5\) g, więc cynk traci \(\frac5{36}\) swojej masy. Ołów traci \(2\) g z \(23\) g, czyli \(\frac2{23}\) swojej masy. Cały stop traci \(292-261=31\) g.
Jeżeli \(x\) i \(y\) oznaczają masy cynku i ołowiu, to
\[\begin{cases}x+y=292,\\\dfrac5{36}x+\dfrac2{23}y=31.\end{cases}\]Podstawiamy \(y=292-x\) do drugiego równania. Po usunięciu mianowników otrzymujemy \(43x=4644\), zatem \(x=108\). Wtedy \(y=292-108=184\).
Stop zawiera \(\boxed{108\text{ g cynku i }184\text{ g ołowiu}}\).
Pokaż rozwiązanie
Niech \(x\) oznacza liczbę kilogramów pierwszego stopu. Porównując zawartość cynku, otrzymujemy
\[\frac{xm}{m+n}+\frac{sp}{p+q}=\frac{(x+s)a}{a+b}.\]Po uporządkowaniu:
\[\frac{mb-na}{m+n}x=\frac{aq-bp}{p+q}s.\]- Jeżeli \(\frac mn\ne\frac ab\), to \(\displaystyle x=\frac{m+n}{p+q}\cdot\frac{(aq-bp)s}{mb-na}\).
- Jeżeli \(\frac mn=\frac ab=\frac pq\), równanie jest nieoznaczone.
- Jeżeli \(\frac mn=\frac ab\ne\frac pq\), równanie jest sprzeczne.
Pokaż rozwiązanie
Niech \(x\) i \(y\) oznaczają masy pierwszego i drugiego stopu. Udziały cyny wynoszą odpowiednio \(\frac35\), \(\frac23\) oraz
\[65\frac57\%=\frac{23}{35}.\]Otrzymujemy układ
\[\begin{cases}x+y=45{,}5,\\\dfrac35x+\dfrac23y=\dfrac{23}{35}\cdot45{,}5.\end{cases}\]Podstawiamy \(y=45{,}5-x\) do drugiego równania. Po uproszczeniu dostajemy \(x=6{,}5\), a następnie \(y=39\).
Wzięto \(\boxed{6{,}5\text{ kg pierwszego stopu i }39\text{ kg drugiego}}\).
Pokaż rozwiązanie
Niech \(v\) oznacza planowaną prędkość, a \(s\) — długość trasy. Z planu podróży mamy
\[s=21v.\]Pierwszą połowę trasy pociąg przejechał z prędkością \(v\), następnie stał pół godziny, a drugą połowę jechał z prędkością \(v+2\):
\[\frac{s}{2v}+\frac12+\frac{s}{2(v+2)}=21.\]Po podstawieniu \(s=21v\):
\[\frac{21}{2}+\frac12+\frac{21v}{2(v+2)}=21,\]\[\frac{21v}{2(v+2)}=10,\qquad 21v=20v+40.\]Stąd \(v=40\) km/godz., a \(s=21\cdot40=840\) km. Odpowiedź: \(\boxed{40\text{ km/godz. i }840\text{ km}}\).
Pokaż rozwiązanie
Niech pierwsze ciało porusza się do chwili spotkania przez \(t\) godzin, a \(x\) oznacza szukany czas. Porównujemy drogi:
\[at=b(t-2)=c(t-2-x).\]Z pierwszej równości \(\displaystyle t=\frac{2b}{b-a}\). Po podstawieniu do drugiej otrzymujemy
\[x=\frac{2a(c-b)}{c(b-a)}\ \text{godz.}\]Pokaż rozwiązanie
Szukana liczba ma postać \(10x+y\), gdzie \(x\) jest cyfrą dziesiątek, a \(y\) — cyfrą jedności. Mamy
\[\begin{cases}x+y=11,\\10x+y+27=10y+x.\end{cases}\]Stąd \(x=4\), \(y=7\). Szukana liczba to 47.
Pokaż rozwiązanie
Niech cyfry setek, dziesiątek i jedności będą równe \(x,y,z\). Wtedy
\[\begin{cases}x+y+z=15,\\100z+10y+x=100x+10y+z+396,\\2y=x+z.\end{cases}\]Rozwiązaniem jest \((x,y,z)=(3,5,7)\), zatem szukana liczba to 357.
Pokaż rozwiązanie
Niech \(C\) będzie punktem, do którego autobus dowiózł drugą grupę, a \(D\) — punktem, z którego zabrał pierwszą grupę. Oznaczmy przez \(t\) szukany czas, przez \(t_1\) czas jazdy autobusu z \(A\) do \(C\), a przez \(t_2\) czas jazdy z \(D\) do \(C\).
Dla podróży drugiej grupy:
\[ut_1+v(t-t_1)=s.\tag{I}\]W czasie \(t\) autobus przebywa drogę \(ut=s+2DC\), a ponieważ \(DC=ut_2\), mamy
\[ut=s+2ut_2.\tag{II}\]Pierwsza grupa idzie pieszo przez \(t_1+t_2\), a następnie jedzie autobusem:
\[v(t_1+t_2)+u(t-t_1-t_2)=s.\tag{III}\]Z układu równań (I)–(III) otrzymujemy
\[\boxed{t=\frac{s(v+3u)}{u(3v+u)}}.\]