Prawdopodobieństwo — Schemat Bernoulliego
Próba Bernoulliego • schemat \(N\) prób • wzór Bernoulliego • najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów
Teoria
Próba Bernoulliego
Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie losowe, w którym możliwe są tylko dwa wyniki,
będące zdarzeniami przeciwnymi. Jeden z wyników nazywa się sukcesem,
a drugi porażką.
Schemat \(N\) prób Bernoulliego
Schematem \(N\) prób Bernoulliego nazywamy doświadczenie polegające na
\(N\)-krotnym powtórzeniu ustalonej próby Bernoulliego,
przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników prób poprzednich
i nie wpływa na wyniki prób następnych.
Wzór
Prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Bernoulliego o \(N\) próbach
sukces otrzyma się dokładnie \(k\) razy, gdzie \(0\le k\le N\), jest równe:
\[
P_N(k)=\binom{N}{k}\,p^k\,q^{N-k},
\]
gdzie:
- \(p\gt0\),
- \(q\gt0\),
- \(p+q=1\),
- \(p\) – prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie,
- \(q\) – prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie.
Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów
Jeżeli w schemacie \(N\) prób Bernoulliego liczba \((N+1)p\):
- nie jest liczbą całkowitą – najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest największa liczba całkowita mniejsza od \((N+1)p\),
- jest liczbą całkowitą – najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są równe \((N+1)p-1\) oraz \((N+1)p\).
Zadania
Zadanie 1
Oblicz prawdopodobieństwo, że w ośmiu rzutach kostką:
- a) szóstkę otrzymamy trzy razy,
- b) co najwyżej dwa razy wypadnie szóstka,
- c) co najmniej raz wypadnie szóstka.
Zadanie 2
Rzucamy sześć razy trzema monetami.
Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reszki otrzymamy:
- a) cztery razy,
- b) co najwyżej raz,
- c) co najmniej cztery razy.
Zadanie 3
Rzucamy siedem razy dwiema kostkami.
Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy sumę oczek podzielną przez cztery:
- a) jeden raz,
- b) co najwyżej dwa razy,
- c) co najmniej sześć razy.
Zadanie 4
Z urny, w której znajdują się 4 kule białe i 6 czarnych,
losujemy pięć razy po dwie kule, zwracając za każdym razem parę wylosowanych kul do urny.
Oblicz prawdopodobieństwo, że parę kul różnego koloru otrzymamy:
- a) trzy razy,
- b) dwa lub trzy razy.
Zadanie 5
W dwunastu rzutach monetą cztery razy wypadł orzeł.
Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadł w piątym rzucie tej serii rzutów.
Zadanie 6
W dziesięciu rzutach kostką sześć razy wypadła jedynka.
Oblicz prawdopodobieństwo, że jedynka wypadła w drugim rzucie tej serii rzutów.
Video lekcja
Wideolekcja dostępna w abonamencie PREMIUM.
Masz już aktywny dostęp? Zaloguj się, aby obejrzeć materiał.
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
