Geometria analityczna — kąt między wektorami
Równoległość i prostopadłość wektorów • Od teorii do praktyki
Wzory i warunki
1. Wyznaczanie kąta między wektorami
Kąt \(\alpha\) między dwoma niezerowymi wektorami \(u=[u_1,u_2]\) oraz \(v=[v_1,v_2]\) można obliczać za pomocą funkcji trygonometrycznych:
\[
\cos\alpha=
\frac{u_1v_1+u_2v_2}
{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}
\]
\[
\sin\alpha=
\frac{|u_1v_2-u_2v_1|}
{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}
\]
\[
|u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}
\]
Powyższych wzorów na sinus i cosinus kąta między wektorami nie ma w tablicach maturalnych.
2. Warunki równoległości i prostopadłości wektorów
- Równoległość \((u\parallel v)\): \(u_1v_2-u_2v_1=0\).
- Prostopadłość \((u\perp v)\): \(u_1v_1+u_2v_2=0\).
3. Wzory z tablic maturalnych (dotyczące prostych)
Dla prostych o równaniach ogólnych \(A_1x+B_1y+C_1=0\) oraz \(A_2x+B_2y+C_2=0\):
- Równoległość prostych: \(A_1B_2-A_2B_1=0\).
- Prostopadłość prostych: \(A_1A_2+B_1B_2=0\).
4. Operacje na wektorach
- Mnożenie wektora przez liczbę: \(a\cdot[u_1,u_2]=[a\cdot u_1,\;a\cdot u_2]\).
- Różnica wektorów: \([u_1,u_2]-[v_1,v_2]=[u_1-v_1,\;u_2-v_2]\).
Zadania
Zadanie 1
Wyznacz kąt między wektorami \(\vec{u}=[7,-1]\) i \(\vec{v}=[-2,2]\).
Zadanie 2
Wyznacz kąt między wektorami \(\vec{u}=[-4,8]\) i \(\vec{v}=[1,2]\).
Zadanie 3
Zbadaj czy wektory \(\vec{u}=[2,5]\) i \(\vec{v}=[\sqrt{28},\,5\sqrt{7}]\)
są równoległe czy prostopadłe?
Zadanie 4
Zbadaj czy wektory \(\vec{u}=[2\sqrt{3},-9]\) i \(\vec{v}=[9,\sqrt{12}]\)
są równoległe czy prostopadłe?
Zadanie 5
Dla jakiego parametru \(a\) wektory \(\vec{u}=[a-2,3]\) i
\(\vec{v}=[a-2,\,a^2+2a+4]\) są równoległe?
Zadanie 6
Wykaż, że jeżeli \(\vec{u}=[3,-1]\), \(\vec{v}=[-2,5]\) i \(\vec{p}=[1,-2]\),
oraz wiedząc, że wektor \(\vec{p}\) jest prostopadły do wektora \(\vec{r}\),
gdzie \(\vec{r}=a\cdot\vec{u}-b\cdot\vec{v}\), to \(12b+5a=0\).
Video lekcja
Wideolekcja dostępna w abonamencie PREMIUM.
Masz już aktywny dostęp? Zaloguj się, aby obejrzeć materiał.
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
