Odległość punktu od prostej i zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej - video lekcja

Geometria analityczna - video lekcje

• Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą.
• Odcinek ten jest zawsze prostopadły do danej prostej.
• Aby skorzystać z gotowego wzoru, równanie prostej musi być zapisane w postaci ogólnej: \(Ax+By+C=0\).

Dla punktu \(P(x_0,y_0)\) i prostej \(k\) o równaniu \(Ax+By+C=0\), odległość \(d\) wyraża się wzorem:

W filmie przedstawiono przykład obliczenia odległości punktu \(P(4,-2)\) od prostej \(y=3x+5\):

• Krok 1: przekształcenie równania prostej do postaci ogólnej: \(3x-y+5=0\).
• Krok 2: wypisanie współczynników: \(A=3,\;B=-1,\;C=5\) oraz współrzędnych punktu: \(x_0=4,\;y_0=-2\).
• Krok 3: podstawienie do wzoru, co daje wynik \(\frac{19}{\sqrt{10}}\).

Najczęstszym zastosowaniem tego wzoru jest obliczanie długości wysokości trójkąta o danych wierzchołkach. W przykładzie rozpatrywany jest trójkąt o wierzchołkach \(A(-2,-1)\), \(B(3,2)\) i \(C(1,5)\).

• Aby obliczyć wysokość opuszczoną z wierzchołka \(C\) na podstawę \(AB\), należy najpierw wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
• W przykładzie prosta \(AB\) ma równanie \(y=\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}\), co po przekształceniu daje postać ogólną \(3x-5y+1=0\).
• Długość wysokości to odległość punktu \(C(1,5)\) od prostej \(AB\), co daje wynik \(\frac{21}{\sqrt{34}}\).