Odległość punktu od prostej i zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej - video lekcja

Geometria analityczna - video lekcje Odsłon: 3519

• Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą.
• Odcinek ten jest zawsze prostopadły do danej prostej.
• Aby skorzystać z gotowego wzoru, równanie prostej musi być zapisane w postaci ogólnej: \(Ax+By+C=0\).

Dla punktu \(P(x_0,y_0)\) i prostej \(k\) o równaniu \(Ax+By+C=0\), wzór na odległość (\(d\)) wygląda następująco:

Autor zaznacza, że wzór ten znajduje się w oficjalnych tablicach maturalnych.

W filmie przedstawiono przykład obliczenia odległości punktu \(P(4,-2)\) od prostej \(y=3x+5\):

• Krok 1: Przekształcenie równania prostej do postaci ogólnej: \(3x-y+5=0\).
• Krok 2: Wypisanie współczynników: \(A=3,\; B=-1,\; C=5\) oraz współrzędnych punktu: \(x_0=4,\; y_0=-2\).
• Krok 3: Podstawienie do wzoru, co daje wynik \( \displaystyle \frac{19}{\sqrt{10}} \) (po ewentualnym usunięciu niewymierności).

Najczęstszym zastosowaniem tego wzoru jest obliczanie długości wysokości trójkąta o danych wierzchołkach. Autor prezentuje to na przykładzie trójkąta o wierzchołkach \(A(-2,-1)\), \(B(3,2)\) i \(C(1,5)\):

• Aby obliczyć wysokość opuszczoną z wierzchołka \(C\) na podstawę \(AB\), należy najpierw wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
• W przykładzie prosta \(AB\) ma równanie \( \displaystyle y=\frac{3}{5}x+\frac{1}{5} \), co po przekształceniu daje postać ogólną: \(3x-5y+1=0\).
• Długość wysokości to odległość punktu \(C(1,5)\) od prostej \(AB\), co w obliczeniach daje wynik \( \displaystyle \frac{21}{\sqrt{34}} \).