Geometria analityczna — zadania na okrąg i koło
Zadania z okręgu/koła + symetrie, izometrie i działania na zbiorach.
1 Zadania na video lekcji
Zad. 1
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A\) i \(B\), którego środek znajduje się na prostej \(k\),
jeśli:
\[
k:\ y=-2x-2,\qquad A(5,10),\qquad B(3,12).
\]
Zad. 2
Dany jest okrąg
\[
o:\ x^2+y^2-4x+6y-3=0.
\]
Wyznacz równanie okręgu \(o_1\) będącego obrazem okręgu \(o\) w symetrii środkowej względem punktu:
- a) \(O(0,0)\)
- b) \(A(-4,6)\)
- c) \(B(5,1)\)
- d) \(C(3,-2)\)
Zad. 3
Dany jest okrąg
\[
o:\ (x-3)^2+(y+1)^2=7.
\]
Wyznacz równanie okręgu \(o_1\), będącego obrazem okręgu \(o\) w symetrii osiowej względem prostej \(k\), jeśli:
- a) \(k:\ x-4=0\)
- b) \(k:\ y+2=0\)
- c) \(k:\ y=x-2\)
- d) \(k:\ 2x+y-1=0\)
Zad. 4
Przekształcenie \(P\) określone jest wzorem
\[
P((x,y))=(y+2,\,-x+1),\qquad x,y\in\mathbb{R}.
\]
- a) Wykaż, że przekształcenie \(P\) jest izometrią.
- b) Wyznacz równanie obrazu okręgu \[ o:\ x^2+y^2-4x+6y+12=0 \] w przekształceniu \(P\).
- c) Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są: środek \(S\) danego okręgu, środek \(S'\) — obrazu okręgu w przekształceniu \(P\) oraz punkt \(A(2,0)\).
Zad. 5
W prostokątnym układzie współrzędnych zilustruj zbiory:
\[
A=\{(x,y): x\in\mathbb{R}\ \wedge\ y\in\mathbb{R}\ \wedge\ x^2+y^2+4x-2y-4=0\},
\]
\[
B=\{(x,y): x\in\mathbb{R}\ \wedge\ y\in\mathbb{R}\ \wedge\ x^2+y^2-4x+4y-8=0\},
\]
a następnie wyznacz zbiory: \(A\cup B,\ A-B,\ B-A,\ A\cap B\).
Zad. 6
W prostokątnym układzie współrzędnych zilustruj zbiory:
\[
A=\{(x,y): x\in\mathbb{R}\ \wedge\ y\in\mathbb{R}\ \wedge\ x^2+y^2+6x-8y+21\le 0\},
\]
\[
B=\{(x,y): x\in\mathbb{R}\ \wedge\ y\in\mathbb{R}\ \wedge\ x^2+y^2+2x+2y-14\le 0\},
\]
a następnie wyznacz zbiory: \(A\cup B,\ A-B,\ B-A,\ A\cap B\).
