Trygonometria — wyznaczanie okresu funkcji trygonometrycznych
Jak wyznaczyć okres funkcji trygonometrycznych? Dwie metody: z definicji funkcji okresowej i metoda „na szybko”.
Wstęp do lekcji
Najważniejsze okresy bazowe
- Dla funkcji sin i cos kluczową liczbą jest \(2\pi\).
- Dla funkcji tg i ctg kluczową liczbą jest \(\pi\).
Metoda formalna (z definicji okresowości)
- We wzorze funkcji podstaw \(x+T\), gdzie \(T\) to szukany okres podstawowy.
- Przyrównaj argument do argumentu „bazowego” powiększonego o właściwy okres: \(2\pi\) (dla sin/cos) lub \(\pi\) (dla tg/ctg).
- Po redukcji wyznacz \(T\).
Przykład zapisu: dla \(\sin(3x)\) bierzemy \(3(x+T)=3x+2\pi\), stąd \(3T=2\pi\) i \(T=\frac{2\pi}{3}\).
Metoda „na szybko”
Wystarczy podzielić okres bazowy przez współczynnik stojący przy \(x\):- \(y=\sin(ax)\) lub \(y=\cos(ax)\) → \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{a}\)
- \(y=tg(ax)\) lub \(y=ctg(ax)\) → \(\displaystyle T=\frac{\pi}{a}\)
Uwaga: gdy przy \(x\) jest ułamek (np. \(\frac{2}{\pi}x\)), najpierw potraktuj go jako współczynnik \(a\).
Praktyczne wskazówki
- Okres nie musi „zawierać” \(\pi\) — może wyjść liczba całkowita, ułamek, a nawet \(\pi^2\), jeśli współczynnik przy \(x\) zawiera \(\pi\).
- Intuicyjnie: okres podstawowy to najmniejsza odległość na osi \(x\), po której wartości funkcji zaczynają się powtarzać.
Zadania
Zadanie 1
Wyznacz okres funkcji:
\[
y=\sin 3x
\]
Zadanie 2
Wyznacz okres funkcji:
\[
y=tg 4x
\]
Zadanie 3
Wyznacz okres funkcji:
\[
y=\cos\!\left(\frac{2x}{\pi}\right)
\]
Zadanie 4
Wyznacz okres funkcji:
\[
y=ctg(4\pi x)
\]
Video lekcja
Wideolekcja dostępna w abonamencie PREMIUM.
Masz już aktywny dostęp? Zaloguj się, aby obejrzeć materiał.
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
