Funkcję \(f\) nazywamy funkcją parzystą, jeśli dla każdego \(x\) należącego do dziedziny funkcji, \(-x\) również należy do dziedziny oraz zachodzi: \[ f(-x)=f(x). \] Graficznie wygląda to tak, że funkcja \(f\) jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór \(D_f\) jest symetryczny względem zera oraz oś \(OY\) jest osią symetrii wykresu tej funkcji. Inaczej mówiąc, wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(OY\).

Funkcję \(f\) nazywamy funkcją nieparzystą, jeśli dla każdego \(x\) należącego do dziedziny funkcji, \(-x\) również należy do dziedziny oraz zachodzi: \[ f(-x)=-f(x). \] Graficznie wygląda to tak, że funkcja \(f\) jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór \(D_f\) jest symetryczny względem zera oraz punkt \(O=(0,0)\) jest środkiem symetrii wykresu tej funkcji. Inaczej mówiąc, wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu \((0,0)\), czyli względem początku układu współrzędnych.

Należy pamiętać, że własność parzystości funkcji nie jest równoznaczna z własnością nieparzystości funkcji i odwrotnie. Jeśli funkcja nie jest parzysta, to nie oznacza to, że jest nieparzysta. Może być, ale nie musi. Dlatego ze względu na parzystość funkcji, dzielimy je na:

• funkcje parzyste
• funkcje nieparzyste
• funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste

Rozpoznanie funkcji parzystej lub nieparzystej na podstawie jej wykresu jest dość proste.

W poleceniach zadań często czytamy: „zbadaj parzystość funkcji”. Chodzi tu zarówno o parzystość, jak i nieparzystość funkcji.

Aby określić parzystość/nieparzystość funkcji należy obliczyć \(f(-x)\). Jeśli otrzymamy:

1. \(f(-x)=f(x)\), to oznacza, że funkcja jest parzysta
2. \(f(-x)=-f(x)\), to oznacza, że funkcja jest nieparzysta

W przypadku funkcji nieparzystości nie można sprawdzać, czy \(-f(-x)=f(x)\). Czasem ułatwia to podjęcie decyzji.

Jeżeli nie otrzymamy któregoś z powyższych przypadków, to oznacza to, że funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Zad. 1. Wykaż, że funkcja \( f(x)=x^{4}-2x^{2}+7 \) jest parzysta.

Zad. 2. Wykaż, że funkcja \( f(x)=\dfrac{3x^{5}-x}{x^{2}+1} \) jest nieparzysta.

Zad. 3. Zbadaj parzystość funkcji \( f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+5} \).

Zad. 4. Zbadaj parzystość funkcji \( f(x)=x^{3}-x \).

Zad. 5. Zbadaj parzystość funkcji \( f(x)=\dfrac{x^{5}-7x^{3}}{x^{7}} \).

Zad. 6. Zbadaj parzystość funkcji \( f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{2x-3} \).