Twierdzenia o stycznej i siecznej i nie tylko
Materiał obejmuje: twierdzenie o stycznej i siecznej, twierdzenie o siecznych oraz twierdzenie o cięciwach (wzory, wskazówki dowodowe i zadania).
Video lekcja
1 Główne twierdzenia
2 Dowody i wyprowadzenia
3 Zadania z filmu
Zadanie A Styczna i sieczna
Wyznacz długość odcinka \(x\), wiedząc, że odcinek stycznej ma długość \(12\),
a sieczna dzieli się na odcinki o długościach \(9\) i \(x\).
Zadanie B Dwie przecinające się cięciwy
Oblicz \(x\) dla dwóch przecinających się cięciw, jeśli odcinki jednej cięciwy to \(4\) i \(x\),
a drugiej \(2\) i \(10\).
Zadanie C Dwie sieczne z punktu \(P\)
Oblicz \(x\) dla dwóch siecznych wychodzących z punktu \(P\).
Pierwsza sieczna ma odcinek zewnętrzny \(x\) i wewnętrzny \(10\).
Druga sieczna ma odcinek zewnętrzny \(3\), a jej całkowita długość wynosi \(8\).
Zadanie D Sieczna przez środek okręgu
Wyznacz promień okręgu \(x\), wiedząc, że jedna sieczna składa się z odcinków \(3\) i \(4\) (całość \(7\)),
a druga przechodzi przez środek okręgu, przy czym odległość od punktu \(P\) do środka wynosi \(6\).
Zadanie 1 Styczna i sieczna — cięciwa \(BC\)
Przez punkt \(P\) poprowadzono styczną do okręgu w punkcie \(A\) i sieczną przecinającą ten okrąg
w kolejnych punktach \(B\) i \(C\). Wiedząc, że \(PA=8\) oraz \(PB=4\), oblicz długość cięciwy \(BC\).
Zadanie 2 Cięciwy — wyznacz \(CP\)
W okręgu poprowadzono dwie cięciwy \(AB\) i \(CD\), które przecięły się w punkcie \(P\).
Wiedząc, że \(AP=10\), \(BP=4\) oraz \(PD=2{,}5\), oblicz długość odcinka \(CP\).
Zadanie 3 Trójkąt i okrąg — zadanie złożone
Okrąg jest styczny do boków trójkąta w punktach \(E\) i \(D\), a bok \(AC\) przecina w punktach \(P\) i \(Q\).
Odległość punktu \(C\) od środka okręgu wynosi \(5\). Wiedząc, że \(PQ=PC=2\sqrt{2}\):
- a) oblicz promień okręgu,
- b) oblicz długości odcinków, na jakie punkty \(A\) i \(E\) dzielą bok \(BC\).
Zadanie końcowe Okrąg, styczna i sieczna — oblicz \(DB\)
Środek okręgu o promieniu \(15\) jest jednocześnie środkiem odcinka \(AB\), którego długość wynosi \(50\).
Przez punkt \(A\) poprowadzono styczną do okręgu w punkcie \(C\). Odcinek \(CB\) przecina okrąg w punkcie \(D\).
Oblicz długość odcinka \(DB\).
