Logika matematyczna
Ocena wartości logicznych zdań
Na filmie omówiono alternatywę, koniunkcję, implikację i równoważność zdań.
Dużo zadań na ocenianie wartości logicznych zdań: od zadań podstawowych do zadań
ze zdaniami złożonymi oraz zdań z kwantyfikatorami.
Mini teoria – najważniejsze pojęcia
\[
p\wedge q\ \text{(koniunkcja)}\quad\Rightarrow\quad
\text{prawda tylko, gdy oba zdania są prawdziwe}
\]
\[
p\vee q\ \text{(alternatywa)}\quad\Rightarrow\quad
\text{prawda, gdy przynajmniej jedno zdanie jest prawdziwe}
\]
\[
p\Rightarrow q\ \text{(implikacja)}\quad\Rightarrow\quad
\text{fałsz tylko, gdy }p\text{ jest prawdą i }q\text{ jest fałszem}
\]
\[
p\Leftrightarrow q\ \text{(równoważność)}\quad\Rightarrow\quad
\text{prawda, gdy mają tę samą wartość logiczną}
\]
\[
\forall x\in A\ p(x)\ \text{(dla każdego)}\qquad\qquad
\exists x\in A\ p(x)\ \text{(istnieje)}
\]
Poniżej podane są same treści zadań (bez rozwiązań).
Rozwiązania i uzasadnienia znajdują się na filmie.
Zadania (bez rozwiązań)
AZdania podstawowe
1) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\frac12>0\ \wedge\ \sqrt{2}\in\mathbb{C}
\]
2) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
2\mid 4\ \vee\ -2^2=4
\]
3) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\sqrt{3}\approx 1{,}7\ \Rightarrow\ \sqrt{3}<2
\]
4) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\sqrt{2^2+3^2}=5\ \Leftrightarrow\ \frac13<\frac12
\]
5) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
3\cdot 9=27\ \Rightarrow\ 2\mid 11
\]
6) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
2^2=9\ \vee\ 3^2=9
\]
BZdania złożone
1) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\bigl(-3<-2\Rightarrow 5^2=25\bigr)\ \wedge\
\bigl(\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\ \vee\ 2\ \text{jest liczbą pierwszą}\bigr)
\]
2) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\Bigl(\,-2>-2\ \wedge\ -\frac12>-\frac13\Bigr)\Rightarrow
\Bigl(( -3)^3=27\ \Leftrightarrow\ \sqrt{2}<1{,}4\Bigr)
\]
3) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\bigl(2+4=-6\ \vee\ 2+4=5\bigr)\ \Leftrightarrow\
\Bigl((1+2)^2=(-3)^2\ \wedge\ (-5)^2<(-1)^2\Bigr)
\]
CZdania z kwantyfikatorami
1) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\forall x\in\mathbb{R}\ \ (x^2>5)
\]
2) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\exists x\in\mathbb{R}\ \ (x^2>5)
\]
3) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\forall x\in\mathbb{R}\ \ (x^2\ge 0)
\]
4) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\forall x\in\mathbb{R}\ \ (x<\sqrt{2}\ \vee\ x>\sqrt{2})
\]
5) Oceń wartość logiczną zdania:
\[
\exists x\in\mathbb{N}\ \ (x<-3\ \vee\ x>5)
\]
Video lekcja
Rozwiązania znajdują się na filmie
