1990 woj. jeleniogóskie - licea ogólnokształcące o profilu podstawowym, bilogiczno-chemicznym, pedagogicznym oraz technika 5-letnie młodzieżowe
Zadanie 1.
Rozwiąż uklad równań $$\left\{\begin{array}{l}(k+1) x+(k-1) y=k^2+1 \\ (k-1) x+(k+1) y=k^2-1\end{array}\right.$$ i narysuj wykres funkcji $$f(k)=\frac{|x|}{y}$$, gdzie $$x$$ i $$y$$ spelniają podany uklad równań.
Zadanie 2.
Zbadaj, dla jakich wartości $$x \neq-1$$ nierówność $$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(x^3-2\right) n^2+3 n x-1}{(x+1) n^2+2 n-3} \leqslant x-2$$ jest prawdziwa?
Zadanie 3.
Wykres funkcji $$f(x)=x^3-3 x^2+b x+c$$ przechodzi przez punkt $$A=(2 ; 5)$$. Wspólczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie $$A$$ jest rozwiązaniem równania
$$\left(\frac{4}{9}\right)^{x+1}=\left(\frac{81}{16}\right)^{x+13}$$. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale $$\langle-2 ; 3\rangle$$
Zadanie 4.
Zbadaj, dla jakich wartości $$m$$ pole trójkąta o wierzchołkach $$A=$$ $$=(3 ;-1), B=(m+1 ;-2), C=(-1 ; m-3)$$ jest równe 2. Dla $$m$$ będącego liczbą calkowita oblicz pole kola opisanego na tym trójkacie.
Zadanie 5.
Pole powierzchni bocznej ostroshupa prawidlowego o podstawie trójkątnej wynosi $$0,25 a^2 \sqrt{15}$$. Długość krawędzi podstawy jest równa $$a$$. Obliczyć miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do plaszczyzny podstawy.
