1990 woj. bielsko-podlaskie - licea ogólnokształcące o profilu podstawowym, bilogiczno-chemicznym, pedagogicznym oraz technika 5-letnie młodzieżowe
Zadanie 1.
Zbadaj, dla jakiej wartości \(\alpha\), pierwiastki równania
\(x^2+2 x \sin \alpha-\cos ^2 \alpha=0\)
spelniają równanie \(x_1^2+x_2^2=3\).
Zadanie 2.
Prosta o równaniu \(y=2 x+3\) przecina parabole \(y=2 x^2-4 x+3\) odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\).
Wyznacz:
a) pole trójkata \(A S B\), gdzie \(S\) jest wierzcholkiem paraboli,
b) równanie stycznej do tej paraboli, równoleglej do prostej \(y=2 x+3\).
Zadanie 3.
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Udowodnij, że jego różnicą jest długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 4.
Wyznacz długość promienia podstawy i wysokości walca wpisanego w kulę o danym promieniu \(R\) tak, aby jego objętość byla największa.
Zadanie 5.
Turysta chce rozpalić ognisko mając dwie zapalki i wiedząc, że w danych warunkach prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska jedną zapalka jest równe 0,6; natomiast prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska dwiema zlączonymi zapałkami wynosi 0,85. Przy którym z tych sposobów turysta ma większe szanse na rozpalenie ogniska?
