1990 woj. bielsko-bialskie - licea ogólnokształcące o profilu podstawowym, bilogiczno-chemicznym, pedagogicznym oraz technika 5-letnie młodzieżowe
Zadanie 1.
Zbadaj istnienie i liczbę rozwiązań układu \(\left\{\begin{array}{l}x-y=m(1+x y) \\ 2+x+y+x y=0\end{array}\right.\) w zależności od parametru \(m\). Rozwiąż układ dla \(m=1\).
Zadanie 2.
Rozwiąż nierówność
\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+x)^3}+\ldots<3 x-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^2+5 n+3}{2 n^2+3 n}\)
Zadanie 3.
Zbadaj przebieg znienności i naszkicuj wykres funkcji
\(f(x)=\frac{x+1}{x^2+x+1}\). Ustal liczbę rozwiązań równania \(\frac{x+1}{\mathrm{x}^2+x+1}=m\) w zależności od parametru \(m\).
Zadanie 4.
Sześcian o krawędzi długości \(a=3\) przecięto płaszczyzną przechodząca przez przekątna podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\). Oblicz pole i obwód otrzymanego przekroju dla: a) \(\alpha=30^{\circ}\), b) \(\alpha=60^{\circ}\).
Zadanie 5.
W sześciu jednakowych urnach \(U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6\) znajduje się po 6 kul, przy czym w urnie o numerze \(n,(1 \leqslant n \leqslant 6)\) znajduje się \(n\) kul białych i (\(6-n\)) kul czarnych. Rzucamy kostka do gry, a następnie losujemy 2 kule z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania tym sposobem dwóch kul czarnych?
