Prawdopodobieństwo klasyczne

Kompendium wiedzy o prawdopodobieństwie klasycznym. Część 1.

1 Ustalenia

Oznaczenia

Zdarzenia oznaczamy dużymi literami alfabetu, np. \(A, B, C,\) itd.
\(A'\) – zdarzenie przeciwne do \(A\).
Zdarzenie niemożliwe oznaczamy: \(\varnothing\) (zbiór pusty).

2 Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Definicje

Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą \(\Omega\).

\(\Omega\) nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami \(\omega\) i nazywa zdarzeniami elementarnymi.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych = wszystkie zdarzenia
Zdarzenie elementarne = pojedyncze zdarzenie
Zdarzenie losowe = jedno lub kilka zdarzeń elementarnych

3 Moc zbioru

Pojęcie mocy zbioru

Georg Cantor, twórca teorii mnogości, określał moc zbioru jako pewne uporządkowanie. Moc zbioru określa wielkość danego zbioru, a zbiory mają tę samą moc, gdy mają tyle samo elementów. Określeniem mocy zbioru jest liczba kardynalna tego zbioru. Liczba kardynalna zbioru skończonego jest równa liczbie jego elementów.

Moc zbioru to liczba jego elementów.

Moc zbioru oznaczamy symbolami:

\[\overline{\overline{\Omega}}\quad \text{lub}\quad |\Omega|\]

4 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Definicja

Prawdopodobieństwem \(P(A)\) zajścia zdarzenia \(A\) nazywa się stosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych należących do zbioru \(\Omega\). Innymi słowy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(P(A)\) to liczba

\[P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}\]

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]

czyli

\[P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}\]

5 Najważniejsze własności

Własności

\(P(\varnothing)=0,\)
\(P(A')=1-P(A),\)
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\)
\(A\subset B \Rightarrow P(A)\le P(B),\)
\(0\le P(A)\le 1,\) dla każdego \(A\subset \Omega\).

6 Zadania

Zadanie 1

Rzucamy 3 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie:

a) dokładnie dwa razy,
b) dokładnie 3 razy,
c) co najmniej raz?

Zadanie 2

Rzucamy 10 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że reszka wypadnie co najmniej raz?

Zadanie 3

Rzucamy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:

a) wypadła parzysta liczba oczek lub mniejsza niż 3
b) wypadła nieparzysta liczba oczek i jednocześnie nie będąca dzielnikiem liczby 6.

Zadanie 4

Rzucamy dwiema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma liczb wyrzuconych oczek jest:

a) mniejsza od 10
b) parzysta
c) podzielna przez 3
d) dzielnikiem liczby 24.

Video lekcja dostępna w abonamencie PREMIUM [Zaloguj się]

Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM

Prawdopodobieństwo klasyczne - część 1 - video lekcja Rachunek prawdopodobieństwa - video lekcje Odsłon: 255