Wzajemne położenie dwóch okręgów
Warunki na rozłączność, styczność, przecięcie • zadania rachunkowe.
1 Ściąga — jak badać położenie okręgów
Warunki
- Okręgi rozłączne zewnętrznie: \(\;d>r_1+r_2\).
- Okręgi styczne zewnętrznie: \(\;d=r_1+r_2\).
- Okręgi przecinające się: \(\;\lvert r_1-r_2\rvert<d<r_1+r_2\).
- Okręgi styczne wewnętrznie: \(\;d=\lvert r_1-r_2\rvert\).
- Okręgi rozłączne wewnętrznie: \(\;d<\lvert r_1-r_2\rvert\).
- Okręgi współśrodkowe: \(\;S_1=S_2\) (wtedy porównujesz tylko promienie).
2 Zadania
Zad. 1
Zbadaj wzajemne położenie okręgów (bez wykonywania rysunku):
\[
(x-2)^2+(y-2)^2=1
\quad \text{i} \quad
(x-5)^2+(y-1)^2=9.
\]
Zad. 2
Wyznacz współrzędne punktów wspólnych okręgów (o ile istnieją):
\[
\begin{cases}
x^2+y^2-10x-4y-7=0,\\
x^2+y^2-6x-8y+24=0.
\end{cases}
\]
Zad. 3
Dla jakich wartości parametru \(m\) \((m\in\mathbb{R})\) okręgi opisane równaniami:
\[
o_1:\ (x+1)^2+(y-m)^2=4
\quad \text{oraz} \quad
o_2:\ (x+m)^2+(y-2)^2=1
\]
mają dokładnie jeden punkt wspólny?
Zad. 4
Wyznacz równanie zbioru środków wszystkich okręgów zewnętrznie stycznych do okręgu
\[
o:\ x^2+y^2=4
\]
i jednocześnie stycznych do prostej
\[
k:\ y+2=0.
\]
