Monotoniczność ciągów - video lekcja
Ciągi i szeregi liczbowe - video lekcje Odsłon: 2471

CIĄGI LICZBOWE

 

BADANIE MONOTONICZNOŚCI CIĄGÓW LICZBOWYCH

  untitled-document-45-ee2bfc4e-b393-4855-b522-805f745479ce

PORADNIK: Jak badać monotoniczność ciągów?

Monotoniczność ciągu to cecha, która określa, czy ciąg jest rosnący, malejący, czy może nie zmienia się w sposób monotoniczny. W tym poradniku krok po kroku wyjaśnię, jak to zbadać, na podstawie przykładów i metod przedstawionych w filmie oraz bardziej złożonych przykładów. Najpierw omówię metodę I, opartą na analizie różnicy a n + 1 − a n a n + 1 − a n a_(n+1)-a_(n)a_{n+1} - a_nan+1−an, a następnie metodę II, która szczególnie dobrze sprawdza się dla ciągów geometrycznych.
Zrozum, czym jest monotoniczność ciągu
Ciąg rosnący: Każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli a n + 1 > a n a n + 1 > a n a_(n+1) > a_(n)a_{n+1} > a_nan+1>an dla każdego n n nnn.
Ciąg nierosnący: Każdy kolejny wyraz jest mniejszy lub równy poprzedniemu, czyli a n + 1 ≤ a n a n + 1 ≤ a n a_(n+1) <= a_(n)a_{n+1} \leq a_nan+1≤an.
Ciąg malejący: Każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli a n + 1 < a n a n + 1 < a n a_(n+1) < a_(n)a_{n+1} < a_nan+1<an.
Ciąg niemalejący: Każdy kolejny wyraz jest większy lub równy poprzedniemu, czyli a n + 1 ≥ a n a n + 1 ≥ a n a_(n+1) >= a_(n)a_{n+1} \geq a_nan+1≥an.
Ciąg jest stały, jeśli a n + 1 = a n a n + 1 = a n a_(n+1)=a_(n)a_{n+1} = a_nan+1=an dla każdego n n nnn.

Metoda I: Analiza różnicy a n + 1 − a n a n + 1 − a n a_(n+1)-a_(n)a_{n+1} - a_nan+1−an

Krok 1: Zapisz wzór ciągu a n a n a_(n)a_nan i wyznacz a n + 1 a n + 1 a_(n+1)a_{n+1}an+1 (zastępując n n nnn przez n + 1 n + 1 n+1n+1n+1).
Krok 2: Oblicz różnicę a n + 1 − a n a n + 1 − a n a_(n+1)-a_(n)a_{n+1} - a_nan+1−an i uprość ją.
Krok 3: Zbadaj znak tej różnicy:
Jeśli a n + 1 − a n > 0 a n + 1 − a n > 0 a_(n+1)-a_(n) > 0a_{n+1} - a_n > 0an+1−an>0 dla każdego n n nnn, ciąg jest rosnący.
Jeśli a n + 1 − a n < 0 a n + 1 − a n < 0 a_(n+1)-a_(n) < 0a_{n+1} - a_n < 0an+1−an<0 dla każdego n n nnn, ciąg jest malejący.
Jeśli a n + 1 − a n = 0 a n + 1 − a n = 0 a_(n+1)-a_(n)=0a_{n+1} - a_n = 0an+1−an=0 dla każdego n n nnn, ciąg jest stały.
Jeśli znak się zmienia (np. raz dodatni, raz ujemny), ciąg nie jest monotoniczny.
Przykład 1: Ciąg a n = n 2 + 1 a n = n 2 + 1 a_(n)=n^(2)+1a_n = n^2 + 1an=n2+1
a n + 1 = ( n + 1 ) 2 + 1 = n 2 + 2 n + 1 + 1 = n 2 + 2 n + 2 a n + 1 = ( n + 1 ) 2 + 1 = n 2 + 2 n + 1 + 1 = n 2 + 2 n + 2 a_(n+1)=(n+1)^(2)+1=n^(2)+2n+1+1=n^(2)+2n+2a_{n+1} = (n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 1 + 1 = n^2 + 2n + 2an+1=(n+1)2+1=n2+2n+1+1=n2+2n+2.
a n + 1 − a n = ( n 2 + 2 n + 2 ) − ( n 2 + 1 ) = n 2 + 2 n + 2 − n 2 − 1 = 2 n + 1 a n + 1 − a n = ( n 2 + 2 n + 2 ) − ( n 2 + 1 ) = n 2 + 2 n + 2 − n 2 − 1 = 2 n + 1 a_(n+1)-a_(n)=(n^(2)+2n+2)-(n^(2)+1)=n^(2)+2n+2-n^(2)-1=2n+1a_{n+1} - a_n = (n^2 + 2n + 2) - (n^2 + 1) = n^2 + 2n + 2 - n^2 - 1 = 2n + 1an+1−an=(n2+2n+2)−(n2+1)=n2+2n+2−n2−1=2n+1.
2 n + 1 > 0 2 n + 1 > 0 2n+1 > 02n + 1 > 02n+1>0 dla n ≥ 0 n ≥ 0 n >= 0n \geq 0n≥0 (zakładamy n n nnn naturalne), np. dla n = 1 n = 1 n=1n = 1n=1: 2 ⋅ 1 + 1 = 3 > 0 2 ⋅ 1 + 1 = 3 > 0 2*1+1=3 > 02 \cdot 1 + 1 = 3 > 02⋅1+1=3>0.
Wniosek: Ciąg jest rosnący.
Przykład 2: Ciąg a n = 5 − n a n = 5 − n a_(n)=5-na_n = 5 - nan=5−n
a n + 1 = 5 − ( n + 1 ) = 5 − n − 1 = 4 − n a n + 1 = 5 − ( n + 1 ) = 5 − n − 1 = 4 − n a_(n+1)=5-(n+1)=5-n-1=4-na_{n+1} = 5 - (n+1) = 5 - n - 1 = 4 - nan+1=5−(n+1)=5−n−1=4−n.
a n + 1 − a n = ( 4 − n ) − ( 5 − n ) = 4 − n − 5 + n = 4 − 5 = − 1 a n + 1 − a n = ( 4 − n ) − ( 5 − n ) = 4 − n − 5 + n = 4 − 5 = − 1 a_(n+1)-a_(n)=(4-n)-(5-n)=4-n-5+n=4-5=-1a_{n+1} - a_n = (4 - n) - (5 - n) = 4 - n - 5 + n = 4 - 5 = -1an+1−an=(4−n)−(5−n)=4−n−5+n=4−5=−1.
− 1 < 0 − 1 < 0 -1 < 0-1 < 0−1<0 dla każdego n n nnn.
Wniosek: Ciąg jest malejący.
Przykład 3: Ciąg a n = 2 n a n = 2 n a_(n)=2^(n)a_n = 2^nan=2n
a n + 1 = 2 n + 1 a n + 1 = 2 n + 1 a_(n+1)=2^(n+1)a_{n+1} = 2^{n+1}an+1=2n+1.
a n + 1 − a n = 2 n + 1 − 2 n = 2 n ⋅ 2 − 2 n = 2 n ( 2 − 1 ) = 2 n a n + 1 − a n = 2 n + 1 − 2 n = 2 n ⋅ 2 − 2 n = 2 n ( 2 − 1 ) = 2 n a_(n+1)-a_(n)=2^(n+1)-2^(n)=2^(n)*2-2^(n)=2^(n)(2-1)=2^(n)a_{n+1} - a_n = 2^{n+1} - 2^n = 2^n \cdot 2 - 2^n = 2^n (2 - 1) = 2^nan+1−an=2n+1−2n=2n⋅2−2n=2n(2−1)=2n.
2 n > 0 2 n > 0 2^(n) > 02^n > 02n>0 dla każdego n n nnn (np. dla n = 1 n = 1 n=1n = 1n=1: 2 1 = 2 > 0 2 1 = 2 > 0 2^(1)=2 > 02^1 = 2 > 021=2>0).
Wniosek: Ciąg jest rosnący.
Przykład 4: Ciąg a n = 1 n a n = 1 n a_(n)=(1)/(n)a_n = \frac{1}{n}an=1n dla n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1n≥1
a n + 1 = 1 n + 1 a n + 1 = 1 n + 1 a_(n+1)=(1)/(n+1)a_{n+1} = \frac{1}{n+1}an+1=1n+1.
a n + 1 − a n = 1 n + 1 − 1 n = n − ( n + 1 ) n ( n + 1 ) = − 1 n ( n + 1 ) a n + 1 − a n = 1 n + 1 − 1 n = n − ( n + 1 ) n ( n + 1 ) = − 1 n ( n + 1 ) a_(n+1)-a_(n)=(1)/(n+1)-(1)/(n)=(n-(n+1))/(n(n+1))=(-1)/(n(n+1))a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}an+1−an=1n+1−1n=n−(n+1)n(n+1)=−1n(n+1).
− 1 n ( n + 1 ) < 0 − 1 n ( n + 1 ) < 0 (-1)/(n(n+1)) < 0\frac{-1}{n(n+1)} < 0−1n(n+1)<0 (bo n ( n + 1 ) > 0 n ( n + 1 ) > 0 n(n+1) > 0n(n+1) > 0n(n+1)>0 dla n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1n≥1), np. dla n = 1 n = 1 n=1n = 1n=1: − 1 1 ⋅ 2 = − 0.5 < 0 − 1 1 ⋅ 2 = − 0.5 < 0 (-1)/(1*2)=-0.5 < 0\frac{-1}{1 \cdot 2} = -0.5 < 0−11⋅2=−0.5<0.
Wniosek: Ciąg jest malejący.
Przykład 5: Ciąg a n = ( − 1 ) n a n = ( − 1 ) n a_(n)=(-1)^(n)a_n = (-1)^nan=(−1)n
a n + 1 = ( − 1 ) n + 1 a n + 1 = ( − 1 ) n + 1 a_(n+1)=(-1)^(n+1)a_{n+1} = (-1)^{n+1}an+1=(−1)n+1.
a n + 1 − a n = ( − 1 ) n + 1 − ( − 1 ) n = ( − 1 ) n ⋅ ( − 1 ) − ( − 1 ) n = − ( − 1 ) n − ( − 1 ) n = − 2 ( − 1 ) n a n + 1 − a n = ( − 1 ) n + 1 − ( − 1 ) n = ( − 1 ) n ⋅ ( − 1 ) − ( − 1 ) n = − ( − 1 ) n − ( − 1 ) n = − 2 ( − 1 ) n a_(n+1)-a_(n)=(-1)^(n+1)-(-1)^(n)=(-1)^(n)*(-1)-(-1)^(n)=-(-1)^(n)-(-1)^(n)=-2(-1)^(n)a_{n+1} - a_n = (-1)^{n+1} - (-1)^n = (-1)^n \cdot (-1) - (-1)^n = -(-1)^n - (-1)^n = -2(-1)^nan+1−an=(−1)n+1−(−1)n=(−1)n⋅(−1)−(−1)n=−(−1)n−(−1)n=−2(−1)n.
Sprawdź dla różnych n n nnn:
  • n = 1 n = 1 n=1n = 1n=1: a 2 − a 1 = ( − 1 ) 2 − ( − 1 ) 1 = 1 − ( − 1 ) = 2 > 0 a 2 − a 1 = ( − 1 ) 2 − ( − 1 ) 1 = 1 − ( − 1 ) = 2 > 0 a_(2)-a_(1)=(-1)^(2)-(-1)^(1)=1-(-1)=2 > 0a_2 - a_1 = (-1)^2 - (-1)^1 = 1 - (-1) = 2 > 0a2−a1=(−1)2−(−1)1=1−(−1)=2>0.
  • n = 2 n = 2 n=2n = 2n=2: a 3 − a 2 = ( − 1 ) 3 − ( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 2 < 0 a 3 − a 2 = ( − 1 ) 3 − ( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 2 < 0 a_(3)-a_(2)=(-1)^(3)-(-1)^(2)=-1-1=-2 < 0a_3 - a_2 = (-1)^3 - (-1)^2 = -1 - 1 = -2 < 0a3−a2=(−1)3−(−1)2=−1−1=−2<0.
    Znak się zmienia (raz 2 2 222, raz − 2 − 2 -2-2−2), więc ciąg nie jest monotoniczny.
Przykład 6: Ciąg a n = n 2 − 4 n + 5 a n = n 2 − 4 n + 5 a_(n)=n^(2)-4n+5a_n = n^2 - 4n + 5an=n2−4n+5 dla n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1n≥1.
a n + 1 = ( n + 1 ) 2 − 4 ( n + 1 ) + 5 = ( n 2 + 2 n + 1 ) − ( 4 n + 4 ) + 5 = n 2 + 2 n + 1 − 4 n − 4 + 5 = n 2 − 2 n + 2 a n + 1 = ( n + 1 ) 2 − 4 ( n + 1 ) + 5 = ( n 2 + 2 n + 1 ) − ( 4 n + 4 ) + 5 = n 2 + 2 n + 1 − 4 n − 4 + 5 = n 2 − 2 n + 2 a_(n+1)=(n+1)^(2)-4(n+1)+5=(n^(2)+2n+1)-(4n+4)+5=n^(2)+2n+1-4n-4+5=n^(2)-2n+2a_{n+1} = (n+1)^2 - 4(n+1) + 5 = (n^2 + 2n + 1) - (4n + 4) + 5 = n^2 + 2n + 1 - 4n - 4 + 5 = n^2 - 2n + 2an+1=(n+1)2−4(n+1)+5=(n2+2n+1)−(4n+4)+5=n2+2n+1−4n−4+5=n2−2n+2.
a n + 1 − a n = ( n 2 − 2 n + 2 ) − ( n 2 − 4 n + 5 ) = n 2 − 2 n + 2 − n 2 + 4 n − 5 = 2 n − 3 a n + 1 − a n = ( n 2 − 2 n + 2 ) − ( n 2 − 4 n + 5 ) = n 2 − 2 n + 2 − n 2 + 4 n − 5 = 2 n − 3 a_(n+1)-a_(n)=(n^(2)-2n+2)-(n^(2)-4n+5)=n^(2)-2n+2-n^(2)+4n-5=2n-3a_{n+1} - a_n = (n^2 - 2n + 2) - (n^2 - 4n + 5) = n^2 - 2n + 2 - n^2 + 4n - 5 = 2n - 3an+1−an=(n2−2n+2)−(n2−4n+5)=n2−2n+2−n2+4n−5=2n−3.
Zbadaj znak 2 n − 3 2 n − 3 2n-32n - 32n−3:
  • Dla n = 1 n = 1 n=1n = 1n=1: 2 ⋅ 1 − 3 = 2 − 3 = − 1 < 0 2 ⋅ 1 − 3 = 2 − 3 = − 1 < 0 2*1-3=2-3=-1 < 02 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1 < 02⋅1−3=2−3=−1<0.
  • Dla n = 2 n = 2 n=2n = 2n=2: 2 ⋅ 2 − 3 = 4 − 3 = 1 > 0 2 ⋅ 2 − 3 = 4 − 3 = 1 > 0 2*2-3=4-3=1 > 02 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 > 02⋅2−3=4−3=1>0.
  • Dla n ≥ 2 n ≥ 2 n >= 2n \geq 2n≥2: 2 n − 3 ≥ 1 > 0 2 n − 3 ≥ 1 > 0 2n-3 >= 1 > 02n - 3 \geq 1 > 02n−3≥1>0 (np. n = 3 n = 3 n=3n = 3n=3: 2 ⋅ 3 − 3 = 3 > 0 2 ⋅ 3 − 3 = 3 > 0 2*3-3=3 > 02 \cdot 3 - 3 = 3 > 02⋅3−3=3>0).
    Znak się zmienia (dla n = 1 n = 1 n=1n = 1n=1 ujemny, dla n ≥ 2 n ≥ 2 n >= 2n \geq 2n≥2 dodatni), więc ciąg nie jest monotoniczny w całej dziedzinie. Jednak dla n ≥ 2 n ≥ 2 n >= 2n \geq 2n≥2 jest rosnący.
Przykład 7: Ciąg a n = 2 n + 1 n + 1 a n = 2 n + 1 n + 1 a_(n)=(2n+1)/(n+1)a_n = \frac{2n + 1}{n + 1}an=2n+1n+1 dla n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1n≥1.
a n + 1 = 2 ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) + 1 = 2 n + 2 + 1 n + 2 = 2 n + 3 n + 2 a n + 1 = 2 ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) + 1 = 2 n + 2 + 1 n + 2 = 2 n + 3 n + 2 a_(n+1)=(2(n+1)+1)/((n+1)+1)=(2n+2+1)/(n+2)=(2n+3)/(n+2)a_{n+1} = \frac{2(n+1) + 1}{(n+1) + 1} = \frac{2n + 2 + 1}{n + 2} = \frac{2n + 3}{n + 2}an+1=2(n+1)+1(n+1)+1=2n+2+1n+2=2n+3n+2.
a n + 1 − a n = 2 n + 3 n + 2 − 2 n + 1 n + 1 = ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) − ( 2 n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 1 − a n = 2 n + 3 n + 2 − 2 n + 1 n + 1 = ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) − ( 2 n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) a_(n+1)-a_(n)=(2n+3)/(n+2)-(2n+1)/(n+1)=((2n+3)(n+1)-(2n+1)(n+2))/((n+2)(n+1))a_{n+1} - a_n = \frac{2n + 3}{n + 2} - \frac{2n + 1}{n + 1} = \frac{(2n + 3)(n + 1) - (2n + 1)(n + 2)}{(n + 2)(n + 1)}an+1−an=2n+3n+2−2n+1n+1=(2n+3)(n+1)−(2n+1)(n+2)(n+2)(n+1).
Licznik: ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) − ( 2 n + 1 ) ( n + 2 ) = ( 2 n 2 + 5 n + 3 ) − ( 2 n 2 + 5 n + 2 ) = 3 − 2 = 1 ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) − ( 2 n + 1 ) ( n + 2 ) = ( 2 n 2 + 5 n + 3 ) − ( 2 n 2 + 5 n + 2 ) = 3 − 2 = 1 (2n+3)(n+1)-(2n+1)(n+2)=(2n^(2)+5n+3)-(2n^(2)+5n+2)=3-2=1(2n + 3)(n + 1) - (2n + 1)(n + 2) = (2n^2 + 5n + 3) - (2n^2 + 5n + 2) = 3 - 2 = 1(2n+3)(n+1)−(2n+1)(n+2)=(2n2+5n+3)−(2n2+5n+2)=3−2=1.
a n + 1 − a n = 1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 1 − a n = 1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a_(n+1)-a_(n)=(1)/((n+2)(n+1))a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n + 2)(n + 1)}an+1−an=1(n+2)(n+1).
1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) > 0 1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) > 0 (1)/((n+2)(n+1)) > 0\frac{1}{(n + 2)(n + 1)} > 01(n+2)(n+1)>0 dla n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1n≥1 (bo ( n + 2 ) ( n + 1 ) > 0 ( n + 2 ) ( n + 1 ) > 0 (n+2)(n+1) > 0(n + 2)(n + 1) > 0(n+2)(n+1)>0), np. dla n = 1 n = 1 n=1n = 1n=1: 1 3 ⋅ 2 = 1 6 > 0 1 3 ⋅ 2 = 1 6 > 0 (1)/(3*2)=(1)/(6) > 0\frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} > 013⋅2=16>0.
Wniosek: Ciąg jest rosnący.

Metoda II: Analiza ilorazu a n + 1 a n a n + 1 a n (a_(n+1))/(a_(n))\frac{a_{n+1}}{a_n}an+1an (szczególnie dla ciągów geometrycznych)

Metoda ta sprawdza się doskonale dla ciągów geometrycznych, czyli takich, w których każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego i pewnej stałej q q qqq (ilorazu).
Krok 1: Zapisz wzór ciągu a n a n a_(n)a_nan i wyznacz a n + 1 a n + 1 a_(n+1)a_{n+1}an+1.
Krok 2: Oblicz iloraz a n + 1 a n a n + 1 a n (a_(n+1))/(a_(n))\frac{a_{n+1}}{a_n}an+1an i uprość go (ciąg musi mieć wyrazy dodatnie lub wszystkie ujemne, by metoda była sensowna).
Krok 3: Zbadaj wartość ilorazu:
Jeśli a n + 1 a n > 1 a n + 1 a n > 1 (a_(n+1))/(a_(n)) > 1\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1an+1an>1 dla każdego n n nnn, ciąg jest rosnący.
Jeśli 0 < a n + 1 a n < 1 0 < a n + 1 a n < 1 0 < (a_(n+1))/(a_(n)) < 10 < \frac{a_{n+1}}{a_n} < 10<an+1an<1 dla każdego n n nnn, ciąg jest malejący (przy założeniu a n > 0 a n > 0 a_(n) > 0a_n > 0an>0).
Jeśli a n + 1 a n = 1 a n + 1 a n = 1 (a_(n+1))/(a_(n))=1\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1an+1an=1 dla każdego n n nnn, ciąg jest stały.
Jeśli znak ilorazu jest ujemny, ciąg nie jest monotoniczny,
Przykład 8: Ciąg a n = 3 ⋅ ( 1 2 ) n a n = 3 ⋅ 1 2 n a_(n)=3*((1)/(2))^(n)a_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^nan=3⋅(12)n dla n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1n≥1.
a n + 1 = 3 ⋅ ( 1 2 ) n + 1 = 3 ⋅ ( 1 2 ) n ⋅ 1 2 a n + 1 = 3 ⋅ 1 2 n + 1 = 3 ⋅ 1 2 n ⋅ 1 2 a_(n+1)=3*((1)/(2))^(n+1)=3*((1)/(2))^(n)*(1)/(2)a_{n+1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot \frac{1}{2}an+1=3⋅(12)n+1=3⋅(12)n⋅12.
a n + 1 a n = 3 ⋅ ( 1 2 ) n + 1 3 ⋅ ( 1 2 ) n = ( 1 2 ) n + 1 ( 1 2 ) n = 1 2 a n + 1 a n = 3 ⋅ 1 2 n + 1 3 ⋅ 1 2 n = 1 2 n + 1 1 2 n = 1 2 (a_(n+1))/(a_(n))=(3*((1)/(2))^(n+1))/(3*((1)/(2))^(n))=(((1)/(2))^(n+1))/(((1)/(2))^(n))=(1)/(2)\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} = \frac{1}{2}an+1an=3⋅(12)n+13⋅(12)n=(12)n+1(12)n=12.
0 < 1 2 < 1 0 < 1 2 < 1 0 < (1)/(2) < 10 < \frac{1}{2} < 10<12<1 dla każdego n n nnn (np. n = 1 n = 1 n=1n = 1n=1: a 1 = 1.5 a 1 = 1.5 a_(1)=1.5a_1 = 1.5a1=1.5, a 2 = 0.75 a 2 = 0.75 a_(2)=0.75a_2 = 0.75a2=0.75, iloraz 0.75 1.5 = 1 2 0.75 1.5 = 1 2 (0.75)/(1.5)=(1)/(2)\frac{0.75}{1.5} = \frac{1}{2}0.751.5=12).
Wniosek: Ciąg jest malejący.
Przykład 9: Ciąg a n = ( − 2 ) n a n = ( − 2 ) n a_(n)=(-2)^(n)a_n = (-2)^nan=(−2)n dla n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1n≥1.
a n + 1 = ( − 2 ) n + 1 = ( − 2 ) n ⋅ ( − 2 ) a n + 1 = ( − 2 ) n + 1 = ( − 2 ) n ⋅ ( − 2 ) a_(n+1)=(-2)^(n+1)=(-2)^(n)*(-2)a_{n+1} = (-2)^{n+1} = (-2)^n \cdot (-2)an+1=(−2)n+1=(−2)n⋅(−2).
a n + 1 a n = ( − 2 ) n + 1 ( − 2 ) n = − 2 a n + 1 a n = ( − 2 ) n + 1 ( − 2 ) n = − 2 (a_(n+1))/(a_(n))=((-2)^(n+1))/((-2)^(n))=-2\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n} = -2an+1an=(−2)n+1(−2)n=−2.
− 2 < 0 − 2 < 0 -2 < 0-2 < 0−2<0 dla każdego n n nnn. Wyrazy: a 1 = − 2 a 1 = − 2 a_(1)=-2a_1 = -2a1=−2, a 2 = 4 a 2 = 4 a_(2)=4a_2 = 4a2=4, a 3 = − 8 a 3 = − 8 a_(3)=-8a_3 = -8a3=−8, a 4 = 16 a 4 = 16 a_(4)=16a_4 = 16a4=16.
Ciąg oscyluje ( − 2 − 2 -2-2−2 do 4 4 444 rośnie, 4 4 444 do − 8 − 8 -8-8−8 maleje), więc nie jest monotoniczny. Ujemny iloraz potwierdza brak monotoniczności z powodu zmiany znaków.

Podsumowanie

Poradnik zawiera dwie metody badania monotoniczności:
  • Metoda I (różnica a n + 1 − a n a n + 1 − a n a_(n+1)-a_(n)a_{n+1} - a_nan+1−an) jest uniwersalna i sprawdza się dla różnych ciągów, w tym liniowych ( 5 − n 5 − n 5-n5 - n5−n), kwadratowych ( n 2 + 1 n 2 + 1 n^(2)+1n^2 + 1n2+1, n 2 − 4 n + 5 n 2 − 4 n + 5 n^(2)-4n+5n^2 - 4n + 5n2−4n+5), wykładniczych ( 2 n 2 n 2^(n)2^n2n), homograficznych ( 2 n + 1 n + 1 2 n + 1 n + 1 (2n+1)/(n+1)\frac{2n+1}{n+1}2n+1n+1) czy oscylujących ( ( − 1 ) n ( − 1 ) n (-1)^(n)(-1)^n(−1)n).
  • Metoda II (iloraz a n + 1 a n a n + 1 a n (a_(n+1))/(a_(n))\frac{a_{n+1}}{a_n}an+1an) jest idealna dla ciągów geometrycznych ( 3 ⋅ ( 1 2 ) n 3 ⋅ 1 2 n 3*((1)/(2))^(n)3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n3⋅(12)n), ale wymaga uwagi przy ujemnych ilorazach ( ( − 2 ) n ( − 2 ) n (-2)^(n)(-2)^n(−2)n), które wskazują na oscylacje i brak monotoniczności.

Related Articles

Suma ciągu geometrycznego - video lekcja

Ciąg arytmetyczny i geometryczny - video lekcja

Granica ciągu - kompendium wiedzy - video lekcja

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA