Zakres materiału z video lekcji 1

1. Trochę historii.
2. Intuicyjne rozumienie granicy.
3. Co to jest granica właściwa i niewłaściwa?
4. Definicja granicy właściwej ciągu wraz ze szczegółowym omówieniem znaczenia każdego symbolu (epsilon, „prawie wszystkie wyrazy ciągu”, otoczenie liczby \(g\), itp.).
   \[ \lim_{n\to\infty} a_n=g \iff \forall_{\varepsilon>0}\ \exists_{n_0}\ \forall_{n>n_0}\ |a_n-g|<\varepsilon \]
5. Zadanie:

   Wykaż na podstawie definicji granicy ciągu, że granicą ciągu

   \[ a_n=\frac{n+2}{n+3} \]

   jest liczba \(1\).

6. Definicja granicy niewłaściwej ciągu wraz z omówieniem.
   \[ \lim_{n\to+\infty} a_n=+\infty \iff \forall_{M\in\mathbb{R}}\ \exists_{N}\ \forall_{n>N}\ a_n>M \]
7. Twierdzenia o granicach ciągu wraz z omówieniem i ważnymi wnioskami.
8. Symbole nieoznaczone i omówienie.

   Symbole nieoznaczone

   • \(\frac{0}{0}\)
   • \(\frac{\infty}{\infty}\)
   • \(\infty-\infty\)
   • \(0\cdot\infty\)
   • \(0^0\)
   • \(1^\infty\)
   • \(\infty^0\)

   Przykłady symboli oznaczonych \((a\in\mathbb{R})\)

   • \(\frac{1}{0^+}=+\infty\)
   • \(\frac{1}{0^-}=-\infty\)
   • \(\frac{a}{\infty}=0\)
   • \(\infty+\infty=\infty\)
   • \(a+\infty=\infty\)
   • \(a-\infty=-\infty\)
   • \(\infty\cdot\infty=\infty\)
   • \(\infty\cdot a=\infty,\ \text{gdy } a>0\)
   • \(\infty\cdot a=-\infty,\ \text{gdy } a<0\)
   • \(\infty^\infty=\infty\)
   • \(a^\infty=\infty,\ \text{gdy } a>1\)
   • \(a^{-\infty}=0,\ \text{gdy } a>1\)