Wzory Vietea - video lekcja
Funkcja kwadratowa - video lekcje Odsłon: 9686

Wzory Viete’a – użyteczne przekształcenia

Gotowe wzory i triki do zadań z parametrem oraz przykłady z wartością bezwzględną.

1

Wzory i przekształcenia (na pierwiastkach \(x_1, x_2\))

Wzory Viete’a i sposoby ich uzyskiwania w zadaniach z parametrem – m.in.:

  • Suma odwrotności pierwiastków równania
\[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} \]
  • Suma kwadratów pierwiastków równania
\[ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \]
  • Suma odwrotności kwadratów pierwiastków równania
\[ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2} =\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} \]
  • Suma sześcianów pierwiastków równania
\[ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) =(x_1+x_2)\big[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\big] \]
  • Suma odwrotności sześcianów pierwiastków równania
\[ \frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3} =\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1^3x_2^3} =\frac{(x_1+x_2)\big[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\big]}{(x_1x_2)^3} \]
  • Suma czwartych potęg pierwiastków równania
\[ x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2 =\big[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\big]^2-2(x_1x_2)^2 \]
  • Kwadrat różnicy pierwiastków równania
\[ (x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 \]
2

Jak poradzić sobie z wartością bezwzględną?

Załóżmy, że wartość bezwzględna z różnicy pierwiastków równania jest równa 5:

\[ |x_1-x_2|=5 \quad /(\ )^2 \] \[ (x_1-x_2)^2=25 \] \[ x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=25 \] \[ (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=25 \]

Inny przykład z wartością bezwzględną:
Załóżmy, że różnica wartości bezwzględnej pierwiastków równania równa się 5:

\[ |x_1|-|x_2|=5 \quad /(\ )^2 \] \[ x_1^2-2|x_1x_2|+x_2^2=25 \] \[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2|x_1x_2|=25 \]
3

Zadania

Zad. 1

Dla jakiego parametru \(p\) oraz \(q\) pierwiastkami funkcji \(f(x)\) są podane liczby?

\[ f(x)=x^2+(p+q)x+p^2-q^2 \] \[ x_1=4-2\sqrt{3},\qquad x_2=4+2\sqrt{3} \]

Zad. 2

Dana jest funkcja \(f(x)\). Wiedząc, że \(x_1, x_2\) są miejscami zerowymi tej funkcji, udowodnij podaną równość.

\[ f(x)=2\sqrt{5}\,x^2-4\sqrt{5}\,x+\sqrt{10} \] \[ (x_1-x_2)^2+4(x_1^2-x_2^2)=20-6\sqrt{2} \]
4

Lekcja wideo – wzory Viete’a i zadania z parametrem (PREMIUM)

W nagraniu znajdziesz omówienie przekształceń (suma odwrotności, sumy potęg, różnice pierwiastków, przypadki z wartością bezwzględną) oraz przykłady zadań. Dostęp w abonamencie PREMIUM.

Materiał wideo

Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM  👉 Abonament PREMIUM

Related Articles

Równania kwadratowe z wartością bezwzględną - video lekcja

Nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną - video lekcja

Równania i nierówności kwadratowe z parametrem - video lekcja

logo 2022 joomla footer