Funkcje
Różnowartościowość funkcji
Definicja funkcji różnowartościowej
Funkcja jest różnowartościowa, jeżeli dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości.
\[
x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)
\]
Oznacza to, że każdej wartości funkcji odpowiada dokładnie jeden argument.
Twierdzenie wykorzystywane w dowodach
W dowodach różnowartościowości stosujemy równoważną postać definicji:
\[
f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2
\]
Jest to tzw. dowód nie wprost.
Zakładamy równość wartości funkcji i wykazujemy, że argumenty muszą być równe.
Schemat dowodu różnowartościowości
- Założenie: \(f(x_1)=f(x_2)\)
- Teza: \(x_1=x_2\)
- Przekształcenia algebraiczne, np.:
- mnożenie na krzyż,
- upraszczanie wyrażeń,
- podnoszenie do potęgi,
- rozwiązywanie równania.
- Otrzymanie wyniku: \(x_1=x_2\)
Warunki dotyczące dziedziny
- Funkcja wymierna – mianownik nie może być równy zero.
- Funkcja z pierwiastkiem – wyrażenie pod pierwiastkiem musi spełniać warunek:
\[ x \ge 0 \]np.:\[ \sqrt{x+5} \Rightarrow x+5 \ge 0 \]
Zadania
Zad. 1. Wykaż, że funkcja
\[
f(x)=\frac{6-x}{x+3}
\]
jest różnowartościowa dla \(x \ne -3\).
Zad. 2. Wykaż, że funkcja
\[
f(x)=-4\sqrt{x+5}
\]
jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
1
🎬 Video lekcja
Dostęp do pełnej lekcji jest dostępny w abonamencie
PREMIUM.
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
