Twierdzenie Talesa video lekcja
Wideolekcja dotycząca twierdzenia Talesa oraz twierdzenia odwrotnego – wraz z przykładami zastosowań w zadaniach.
Najważniejsze wiadomości z lekcji
1) Twierdzenie Talesa (o odcinkach proporcjonalnych)
Jeżeli prosta jest równoległa do jednego boku trójkąta i przecina dwa pozostałe boki, to dzieli te boki proporcjonalnie.
Jeśli w trójkącie \(ABC\) punkt \(M\in AC\), \(N\in BC\) oraz \(MN\parallel AB\), to:
\[
\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NB}
\qquad\text{oraz}\qquad
\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{CB}=\frac{MN}{AB}.
\]
2) Skutek: podobieństwo trójkątów
- Gdy \(MN\parallel AB\), to trójkąty \(CMN\) i \(CAB\) są podobne.
- Z podobieństwa dostajesz równości ilorazów odpowiednich boków (te same „skale”).
- To jest najczęstszy „silnik” do obliczeń w zadaniach z Talesem.
3) Twierdzenie odwrotne
Jeśli prosta przecina dwa boki trójkąta i dzieli je proporcjonalnie, to jest równoległa do trzeciego boku.
Gdy \(M\in AC\), \(N\in BC\) i zachodzi np. \(\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NB}\),
to wtedy \(MN\parallel AB\).
4) Typowe kroki w zadaniach
- Zaznacz na rysunku, które odcinki są na tych samych bokach i gdzie jest równoległość.
- Zapisz proporcję z Talesa (albo podobieństwo trójkątów).
- Podstaw dane, ułóż równanie i oblicz brakujący odcinek.
Zadania z filmu
Zad. 1
Wyznaczanie brakującego odcinka.
Zad. 2
W trapezie \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\), przedłużono ramiona \(AD\) i \(BC\) do przecięcia się w punkcie \(E\).
Oblicz \(CE\), jeśli \(|AD|=2\,\text{dm}\), \(|BC|=4\,\text{dm}\), \(|DE|=3\,\text{dm}\).
Zad. 3
Na boku \(AC\) trójkąta \(ABC\) obrano punkt \(M\) tak, że \(\frac{AM}{MC}=\frac{3}{4}\).
Przez punkt \(M\) poprowadzono prostą, równoległą do boku \(AB\) trójkąta, która przecięła bok \(BC\) w punkcie \(N\).
Wiedząc, że \(|AC|=21\,\text{cm}\) i \(|AB|=18\,\text{cm}\), oblicz \(|MN|\) oraz \(\frac{CN}{CB}\).
